专题22 三角形中位线定理应用问题
1．三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 2．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 3.对三角形中位线的深刻理解
（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.
（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的
11，每个小三角形的面积为原三角形面积的. 24（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.
【例题1】（2020•福建）如图，面积为1的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△
DEF的面积是（ ）
A．1 【答案】D
【解析】根据三角形的中位线定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． ∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
B． 21
C．
3
1
D．
4
1
∴DE=AC，DF=BC，EF=AB，
𝐷𝐹𝐵𝐶
𝐸𝐹𝐴𝐵
𝐷𝐸𝐴𝐶
12
121212∴===，
∴△DEF∽△ABC，
𝑆△𝐷𝐸𝐹𝑆△𝐴𝐵𝐶
∴=（
𝐷𝐸𝐴𝐶
）＝（）=4，
2
2
1
2
1
∵等边三角形ABC的面积为1，
14
∴△DEF的面积是. 【对点练习】（2019内蒙古赤峰）如图，菱形ABCD周长为20，对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，则OE的长是（ ）
A．2.5 【答案】A．
【解析】∵四边形ABCD为菱形， ∴CD＝BC＝
＝5，且O为BD的中点，
B．3
C．4
D．5
∵E为CD的中点， ∴OE为△BCD的中位线， ∴OE＝CB＝2.5。
【点拨】掌握菱形特点，根据三角形中位线定理解决问题。
【例题2】（2020•临沂）如图，在△ABC中，D、E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，H为AF与DG的交点．若
AC＝6，则DH＝ ．
【解析】1．
【分析】由三等分点的定义与平行线的性质得出BE＝DE＝AD，BF＝GF＝CG，AH＝HF，DH是△AEF的中位线，易证△BEF∽△BAC，得
𝐸𝐹𝐴𝐶
=
𝐵𝐸𝐴𝐵
，解得EF＝2，则DH=EF＝1．
1
2【解析】∵D、E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC， ∴BE＝DE＝AD，BF＝GF＝CG，AH＝HF， ∴AB＝3BE，DH是△AEF的中位线，
1
∴DH=2EF， ∵EF∥AC， ∴△BEF∽△BAC，
𝐸𝐹𝐴𝐶
𝐵𝐸𝐴𝐵
𝐸𝐹6
𝐵𝐸3𝐵𝐸
∴=，即=，
解得：EF＝2，
1
1
∴DH=2EF=2×2＝1，
【对点练习】（2019广西梧州）如图，已知在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F、G分别是AD、AE的中点，且FG＝2cm，则BC的长度是 cm．
【答案】8．
【解析】利用三角形中位线定理求得FG＝DE，DE＝BC．
如图，∵△ADE中，F、G分别是AD、AE的中点， ∴DE＝2FG＝4cm，
∵D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴BC＝2DE＝8cm
【点拨】连续两次应用三角形中位线定理处理本题，是关键。
【例题3】（2020湖南岳阳模拟）D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点．O是△ABC所在平面上的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形.
【答案】见解析。
【解析】证明：∵D、E分别是AB、AC边的中点， ∴DE∥BC，且DE=BC，
同理，GF∥BC，且GF=BC，
∴DE∥GF且DE=GF，
∴四边形DEFG是平行四边形。
【对点练习】如图，已知平行四边形ABCD中，E为AD中点，CE交BA延长线于点F。求证：AB＝AF。
【答案】见解析。
【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥BC AD=BC
∵E是AD的中点，∴DE=AE。 ∴AE=
11AD=BC 22∴AE是三角形BCF的中位线。 ∴E是FC的中点，A是FB中点 ∴FA=AB。
【点拨】本题证明方法多，利用全等三角形判定定理和性质定理，结合平行四边形特点也可以解决问题。
一、选择题
1．（2020•内江）如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC的中点，S四边形BCED＝15，则S△ABC＝（ ）
A．30 【答案】D
12B．25 C．22.5 D．20
【解析】先根据三角形中位线的性质，证得：DE∥BC，DE=BC，进而得出△ADE∽△ABC，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求得答案． ∵D、E分别是AB、AC边上的中点，
12∴DE∥BC，DE=BC， ∴△ADE∽△ABC，
𝑆△𝐴𝐷𝐸𝑆△𝐴𝐵𝐶
∴=（
𝐷𝐸𝐵𝐶
）=，
2
14∴S△ADE：S四边形BCED＝1：3， 即S△ADE：15＝1：3， ∴S△ADE＝5， ∴S△ABC＝5+15＝20．
2．（2020•辽阳）如图，在△ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是CN的中点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D．若BC＝4，则CD的长为 ．
【答案】2
12【解析】依据三角形中位线定理，即可得到MN=BC＝2，MN∥BC，依据△MNE≌△DCE（AAS），即可得到CD＝MN＝2．
∵M，N分别是AB和AC的中点， ∴MN是△ABC的中位线，
1
2∴MN=BC＝2，MN∥BC， ∴∠NME＝∠D，∠MNE＝∠DCE， ∵点E是CN的中点， ∴NE＝CE，
∴△MNE≌△DCE（AAS）， ∴CD＝MN＝2．
3．（2020•泰安）如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（ ）
A．√2+1 【答案】B
B．√2+ 12C．2√2+1 D．2√2− 12【解析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，
OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论．
如图，
∵点C为坐标平面内一点，BC＝1， ∴C在⊙B的圆上，且半径为1， 取OD＝OA＝2，连接CD，
∵AM＝CM，OD＝OA， ∴OM是△ACD的中位线，
12∴OM=CD，
当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大， ∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°， ∴BD＝2√2， ∴CD＝2√2+1，
∴OM=CD=√2+，即OM的最大值为√2+. 4．（2019辽宁抚顺）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（ ）
1
21212
A．8 【答案】D．
【解析】直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC，DE＝BC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．
B．12
C．14
D．16
解：∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE∥BC，DE＝BC，
∴△ADE∽△ABC， ∵
＝，
∴＝，
∵△ADE的面积为4， ∴△ABC的面积为：16。
5．（2019湖北襄阳）如图，AD是⊙O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行四边形，AC与OB相交于点P，下列结论错误的是（ ）
A．AP＝2OP 【答案】A．
【解析】∵AD为直径， ∴∠ACD＝90°，
∵四边形OBCD为平行四边形， ∴CD∥OB，CD＝OB， 在Rt△ACD中，sinA＝
＝，
B．CD＝2OP
C．OB⊥AC D．AC平分OB
∴∠A＝30°， 在Rt△AOP中，AP＝∵OP∥CD，CD⊥AC，
∴OP⊥AC，所以C选项的结论正确； ∴AP＝CP，
∴OP为△ACD的中位线，
∴CD＝2OP，所以B选项的结论正确； ∴OB＝2OP，
∴AC平分OB，所以D选项的结论正确． 二、填空题
OP，所以A选项的结论错误；
6．（2020铜仁市模拟）如图，∠ACB=9O°，D为AB中点，连接DC并延长到点E，使CE=CD，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F．若BF=10，则AB的长为 ．
【答案】8
【解析】先根据点D是AB的中点，BF∥DE可知DE是△ABF的中位线，故可得出DE的长， 根据CE=CD可得出CD的长，再根据直角三角形的性质即可得出结论．
∵点D是AB的中点，BF∥DE， ∴DE是△ABF的中位线． ∵BF=10， ∴DE=BF=5．
∵CE=CD，
∴CD=5，解得CD=4．
∵△ABC是直角三角形， ∴AB=2CD=8．
【点拨】本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键． 三、解答题
7.如图，在ABCD中，点E是AD的中点，BE的延长线与CD的延长线相交于点F
(1)求证：△ABE≌△DFE；
(2)试连结BD、AF，判断四边形ABDF的形状，并证明你的结论． 【答案】见解析。
【解析】(1) 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CF。 ∴∠1=∠2，∠3=∠4 。∵E是AD的中点，∴ AE=DE。 ∴△ABE ≌△DFE（AAS）。
(2)四边形ABDF是平行四边形。证明如下： ∵△ABE ≌△DFE，∴AB=DF。
又AB∥CF．∴四边形ABDF是平行四边形。
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