初中数学代数与几何综合题

代数与几何综合题从内容上来说，是把代数中的数与式、方程与不等式、函数，几何中的三角形、四边形、圆等图形的性质，以及解直角三角形的方法、图形的变换、相似等内容有机地结合在一起，同时也融入了开放性、探究性等问题，如探究条件、探究结论、探究存在性等。经常考察的题目类型主要有坐标系中的几何问题（简称坐标几何问题），以及图形运动过程中求函数解析式问题等。

解决代数与几何综合题，第一，需要认真审题，分析、挖掘题目的隐含条件，翻译并转化为显性条件；第二，要善于将复杂问题分解为基本问题，逐个击破；第三，要善于联想和转化，将以上得到的显性条件进行恰当地组合，进一步得到新的结论，尤其要注意的是，恰当地使用分析综合法及方程与函数的思想、转化思想、数行结合思想、分类与整合思想等数学思想方法，能更有效地解决问题。

第一类：与反比例函数相关

1．（09北京）如图，点C为⊙O直径AB上一点，过点C的直线交⊙O 于点D、E两点，且∠ACD=45°，DFAB于点F，EGAB 于点G． 当点C在AB上运动时，设AFx，DEy，下列 图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）

C A 2mB 2．如图，在平面直角坐标系中 ,二次函数yax2(a0)的图象aD 经过正方形ABOC 的三个顶点 A、B、C ，则m 的值为 ．

3．（09延庆）阅读理解：对于任意正实数a，b，(ab)2≥0，

a2abb≥0，ab≥2ab，只有当ab时，等号成立．

第 1 页 共 10 页

结论：在ab≥2ab（a，b均为正实数）中，若ab为定值p，则ab≥2p， 只有当ab时，ab有最小值2p． 根据上述内容，回答下列问题： （1） 若m0，只有当m 时，m1有最小值 ． m12（2） 探索应用：已知A(3，0)，B(0，4)，点P为双曲线y(x0)上的任意一点，

x过点P作PCx轴于点C，PDy轴于D． 求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时 四边形ABCD的形状．

y D A 3 P

4．（08南通）已知双曲线y

O C x 4 B k1与直线yx相交

4x

于A、B两点．第一象限上的点M（m，n）（在k

上的动点．过点B作x

BD∥y轴交x轴于点D．过N（0，－n）作NC∥xA点左侧）是双曲线y轴交双曲线y

（第3题）

y ·M A D O · x kB 于点E，交BD于点C． x

C E N （1）若点D坐标是（－8，0），求A、B两点 坐标及k的值． （第4题）

（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积

为4，求直线CM的解析式．

（3）设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA=pMP，MB=qMQ，

求p－q的值．

28和y 在平面直角坐标系xOy第一象限中的图xx 5．（09.5西城）已知：反比例函数y象如图所示，点A在y与x轴平行，分别与y82的图象上，AB∥y轴，与y的图象交于点B，AC、BDxx28、y的图象交于点C、D. xx（1）若点A的横坐标为2，求梯形ACBD的对角线的交点F的坐标；

（2）若点A的横坐标为m，比较△OBC与△ABC的面积的大小；

（3）若△ABC与以A、B、D为顶点的三角形相似，请直接写出点A的坐标.

第 2 页 共 10 页

答案：（1） 点F的坐标为(2,17). 5（2）SOBCSABC. （3）点A的坐标为(2,4)

6．（07上海）如图，在直角坐标平面内，函数ym（x0，的图象经过A(1，4)，m是常数）xB(a，b)，其中a1．过点A作x轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D，

连结AD，DC，CB．

（1）若△ABD的面积为4，求点B的坐标； （2）求证：DC∥AB；

（3）当ADBC时，求直线AB的函数解析式． 答案：

（1）点B的坐标为 3，； （2）DC∥AB． （3）所求直线AB的函数解析式是y2x6或yx5

y A D B 43O C

x 二、与三角形相关

7．（07北京）在平面直角坐标系xOy中, 抛物线 y = mx2 + 23mx + n经过P (3, 5), A(0, 2)两点. (1) 求此抛物线的解析式;

(2) 设抛物线的顶点为B, 将直线AB沿y轴向下平移两个单位得到直线l, 直线l与抛物线的对称轴交于C点, 求直线l的解析式;

(3) 在(2)的条件下, 求到直线OB, OC, BC距离相等的点的坐标． 123x+ 2 答案：(1)抛物线的解析式为: y =x233(2)直线 l 的解析式为 y =

3x 3 (3) 到直线OB、OC、BC距离相等的点的坐标分别为: M1(

第 3 页 共 10 页

23, 0)、 M2 (0, 2)、 M3(0, 2)、M4 (23, 0). 38． (08北京)平面直角坐标系xOy中，抛物线y = x2 + bx + c与x轴交于A, B两点(点A在点B的左侧), 与y轴交于点C, 点B的坐标为(3, 0), 将直线 y = kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B, C两点. (1) 求直线BC及抛物线的解析式;

(2) 设抛物线的顶点为D, 点P在抛物线的对称轴上, 且APD =ACB, 求点P的坐标; (3) 连结CD, 求OCA与OCD两角和的度数.

答案：(1) 直线BC的解析式为 y = x + 3. 抛物线的解析式为 y = x2  4x + 3.

(2)点P的坐标为 (2, 2) 或 (2, 2).

(3) OCA与OCD两角和的度数为45. 9．（10.6密云） 已知：如图，抛物线yx2mx2m2(m0)与x 轴交于A、B两点，点A在点B的左边，C是抛物线 上一动点（点

C与点A、B不重合），D是OC中点，连结BD并延长，交AC于

点E．

（1）求A、B两点的坐标（用含m的代数式表示）； （2）求

CE的值； AECED（3）当C、A两点到y轴的距离相等，且S物线和直线BE的解析式．

8时， 求抛5CE2． AE3416x 33答案：（1）A（m，0），B（2m，0）． （2）

（3）抛物线的解析式为 yx22x8．直线BE的解析式为 y210．（崇文09）如图，抛物线yaxbx3与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C，且OBOC3OA．（I）求抛物线的解析式； （II）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P,A,C为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出P点坐标，若

不存在，请说明理由； （III）直线y1x1交y轴于D点，E为抛物线顶3第 4 页 共 10 页

点．若DBC，CBE,求的值． 答案： （I）yx22x3 （II）P1(0,1)P2(9,0)，P3(0,0)

3（III）DBOOBC45．

11. (11.6东城) 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边OA在y轴的

正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝AB＝2，OC＝3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F．

y （1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；

E （2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长； （3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），A B 且PQ＝1，要使四边形BCPQ的周长最小，求出P、Q

D 两点的坐标．

224xx2． 33224282（2）由yxx2＝(x1)． CF＝FM＋CM

33337＝． 32（3）点P的坐标为（1，）

3答案：（1）y

O F C x 三、与面积有相关

12．（11.6通县）已知如图，ABC中，ACBC，BC与x轴平行，点A在x轴上，点C在y轴上，抛物线yax5ax4经过ABC的三个顶点， （1）求出该抛物线的解析式；

（2）若直线ykx7将四边形ACBD面积平分，求此直线的解析式.

（3）若直线ykxb将四边形ACBD的周长和面积同时分成相等的两部分，请你确

定ykxb中k的取值范围.

2第 5 页 共 10 页

13．（11.6顺义）已知，如图，抛物线yax2bx4(a0)与y轴交于点C，与x轴交于点A，B，点A的坐标为(4，0)，对称轴是x1． （1）求该抛物线的解析式；

（2）点M是线段AB上的动点，过点M作MN∥AC，分别交y轴、BC于点P、N，连接CM．当△CMN的面积最大时，求点M的坐标； （3）在（2）的条件下，求

SCPN的值. SABC四、与最值相关

14．（09石景山）平面直角坐标系中有一张矩形纸片OABC，O为坐标原点，A点坐标为（10，0），C点坐标为（0，6），D是BC边上的动点（与点B、C不重合）．如图②,将△COD沿OD翻折，得到△FOD；再在AB边上选取适当的点E，将△BDE沿DE翻折，得到△GDE，并使直线DG，DF重合．

（1）图①中，若△COD翻折后点F落在OA边上，求直线DE的解析式．

（2）设（1）中所求直线DE与x轴交于点M，请你猜想过点M、C且关于y轴对称的抛

物线与直线DE的公共点的个数，在图①的图形中，通过计算验证你的猜想． （3）图②中，设E（10，b），求b的最小值．

答案：（1）直线DE的解析式：y=-x+12 图① 图②

12x6只有一个公共点 2411（3）b1(m5)211 当m5,b最小值

666（2）直线DE:y=-x+12与抛物线:y

y15．已知抛物线yaxbx2的图像经过点A和点B． （1）求该抛物线的解析式；

(2) 把(1)中的抛物线先向左平移1个单位，再向上或向下

第 6 页 共 10 页

O62BA14x平移多少个单位能使抛物线与直线AB只有一个交点? 求出此时抛物线的解析式；

5个单位，再向下平移t个单位（t>0），此时，抛物线2与x轴交于M、N两点，直线AB与y轴交于点P，当t为何值时，过M、N、P三点的圆

（3）将（2）中的抛物线向右平移的面积最小？最小面积是多少？

答案：（1）抛物线的解析式为yx23x2.(2) 析式为y(x) （３）当t5时，过M、N、P三点的圆的面积最小，最小面积为9

16．（09海淀）如图13，在平面直角坐标系xOy中，直线y1223x2分别交x轴、y3轴于C、A两点.将射线AM绕着点A顺时针旋转45°得到射线AN.点D为AM上的动点，点B为AN上的动点，点C在∠MAN的内部. （1） 求线段AC的长；

（2） 当AM∥x轴，且四边形ABCD为梯形时，求△BCD的面积； （3） 求△BCD周长的最小值；

（4） 当△BCD的周长取得最小值，且BD=答案：（1） AC=4.

（2）当AM∥x轴，且四边形ABCD为梯形时，S△BCD= 23-2. （3）∴△BCD的周长的最小值为42. （4）

五、与四边形及圆相关

17．(12.1年西城)已知：在如图1所示的平面直角坐标系xOy中，A，C两点的坐标分别为

52时,△BCD的面积为 . 34. 3A(2,3)，C(n,3)（其中n＞0），点B在x轴的正半轴上．动点P从点O出发，在四

边形OABC的边上依次沿O—A—B—C的顺序向点C移动，当点P与点C重合时停止运动．设点P移动的路径的长为l，△POC的面积为S，S与l的函数关系的图象如图2所示，其中四边形ODEF是等腰梯形．

（1）结合以上信息及图2填空：图2中的m= ； （2）求B，C两点的坐标及图2中OF的长；

（3）在图1中，当动点P恰为经过O，B两点的抛物线W的顶点时， ① 求此抛物线W的解析式；

第 7 页 共 10 页

② 若点Q在直线y1上方的抛物线W上，坐标平面内另有一点R，满足以B，

P，Q，R四点为顶点的四边形是菱形，求点Q的坐标．

答案：（1）中的m=13． （2）OF2xDDE21335． （3）符合题意的点Q的坐标是Q1(0,0)，Q2(2264,42619)．

18.（12.年1石景山）如图，矩形ABCO是矩形ABCO绕点B顺时针旋转得到的．其中

点O',C在x轴负半轴上，线段OA在y轴正半轴上，B点的坐标为1,3． （1）如果二次函数yaxbxca0的图象经过O、O两点且图象顶点M的纵

2''''坐标为1．求这个二次函数的解析式； （2）求边OA所在直线的解析式；

（3）在（1）中求出的二次函数图象上是否存在点P，使得SPO'M请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

2答案：（1）yx2x （2）y''3SCO'D,若存在，

48x 33（3）P1317717 ， ，223-17717 ． P2，22

19．（12.1怀柔）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，

第 8 页 共 10 页

1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧）. 已知A点坐

标为（0，3）.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D， 如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；

（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和PAC的最大面积.

1122答案：（1）抛物线为y(x4)1x2x3. 44 (2) 答：l与⊙C相交.

y D A O 27. 43此时，P点的坐标为（3，）.

4（3）PAC的面积最大为

B C x

(第19题) 20．（11.6朝阳）在△ABC中，D为AB边上一点，过点D作DE∥BC交AC于点E，以

DE为折线，将△ADE翻折，设所得的△A’DE与梯形DBCE重叠部分的面积为y. (1)如图(甲)，若∠C=90°，AB=10，BC=6，

AD1，则y的值为 ； AB3(2)如图(乙)，若AB=AC=10，BC=12，D为AB中点，则y的值为 ； (3)若∠B=30°，AB=10，BC=12，设AD=x. ①求y与x的函数解析式；

②y是否有最大值，若有，求出y的最大值；若没有，请说明理由.

第 9 页 共 10 页

BDBDBA'ADECA'EA

C 图(甲) 图(乙)

答案：（1）

83. （2）12. 2（3） ySDA'ESMA'N910x20310．当x203时，y值最大，最大值是10．

第 10 页 共 10 页

A'AEC备用图