线性代数考试试卷及参考答案(A卷)

………………………………………………密………………………线……………………………………………… 院.部 班 级 姓名 学号 《 线性代数》考试试卷（B卷） 题号 分数 一 二 三 四 总分 得分 评卷人 一.填空题（每题4分，满分为20分） 1. A为33矩阵，A2, A(A1,A2,A3)，其中Aj(j1,2,3)是A的第j列，则A32A1,3A2,A1 . 2. 设A,B均为四阶方阵，已知A2,B1，则2AT(BTA)2＝ . 3. 设方阵A可逆, 交换A的第i行和第j行得到B,则AB1 . 4. 已知α1,α2,,αt是AXB的解，如果c1α1c2α2ctαt仍是AXB的解，则c1c2ct . 2225.当k满足条件 ，f(x1,x2,x3)2x1x22x1x2kx3是正定的. 得分 评卷人 二.选择题（每小题3分，满分为15分） 1. 设A,B是n阶矩阵, AO且ABO，则（ ）. (A)B=O; (B)A0或B0; (C)BAO; (D)ABA2B2. 2. 设A,B是n阶对称矩阵, 则下面4个结论不正确的是（ ）. 2(A)AB是对称矩阵； (B)AB是对称矩阵； TT (C)AB（m是正整数）是对称矩阵； (D)BAAB是对称矩阵. mm

2A2A4.设是非零方阵的一个特征值，则矩阵1 3有一个特征值等于（ ） 1(A)n43A(B)34(C)12(D)14An3.mn矩阵A1,2,,n，方程组AXB有解的充要条件是（ ）.

(A)1,2,,n线性无关； (B)1,2,,n,B线性相关； (C)1,2,,n,B线性无关； (D)1,2,,n与1,2,,n,B等价.

4. 设A是nn矩阵，则下列结论错误的是（ ）.

(A)AX=B无解时，A0； (B)AX=B有无穷多个解时，A0；

(C) 若A0，则AX=B无解； (D)AX=B有惟一解时，A0.

5.二次型f(x,x221,x23)x1x22x1x2的矩阵是（ ）.

（A）121112011001； （B）11；（C）010；110.

（D）000000得分 评卷人 三.计算下列各题（本题满分为55分）

12345222111. 已知行列式D53124527, 求A41A42A43和A44A45. 其中A4j(j1,2,3,4,5)1112243150D5中第4行第j列元素的代数余子式.（本题满分为10分）；

2

为

122.（本题满分为15分）已知矩阵A34.

.

111222,求A100.

333444x1x2x3x40x22x32x413.（本题满分为15分）问a、b取何值时无解？有唯一解？有无穷多解？

x(a3)2x2xb3423x12x23x3ax41并在有无穷多解时求出通解.

.

3

2002004.（本题满分为15分）已知A001与B0y0相似， 01x001（1）求x与y；

（2）求一个满足P1APB的可逆阵P.

得分 评卷人 四.证明（本题满分为10分）

设A是n阶矩阵，证明：对于任意的B，AXB都有解的充分必要条件是A0.

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线性代数试题

答案与评分标准

一、填空题

1、6 2、-128 3、Ei,j 4、1 5、k0 二、选择题

1、B 2、B 3、D 4、C 5、D 三、计算题

1、由已知条件得 解方程得

(1A411A421A43)(2A442A45)27, ………………(5分）

(2A412A422A43)(1A441A45)0.A41A42A439;A44A4518. ………………(10分）

122.将A写成两个矩阵的乘积，即A34111122221111, ……（5分） 33334444121111. ………………（10分） 34故 A100112211111111334412由于111110, 则 341122109911111099A10993344111222. ……（15分）

333444 A100

………………（15分）

5

1101110102213、B(A/b)012(a3)2b0323a1010001010122102a10002(a2)0b1011101221 02(a2)0b102a101111101221 （5分） 02a1000(a1)(a2)b1a2,且b1无解；

a2有唯一解；

a2,且b1有无穷多解。 ………………（9分）

a1时

11xxxx0xxxx01234112342x22x32x41*，x22x32x40

002x302x3001a2时

12x1x2x3x401 *k,kR ……（15分） x2x2x023412x302124、EA00010(2)(x1)0

001xx02,y,1是它的特征值，得 ……（5分）

y102x2x30P把2代入得：11 x22x30103x10把1代入得：P212

x2x3012

6

0x10把1代入得：P312 ……（10分）

x2x30121∴P0001212011，且使得PAPB. ……（15分） 212四、证：设AA1,A2,,An，则线性方程组AXB可写成

x1A1x2A2xnAnB.

,An线性表示，则n维向量组,An线性表示，这说明

,An的秩为n，即

若对于任意的B，AXB都有解，即任一n维向量都可由A1,A2,e1(1,0,e1,e2,,0)T,e20,1,,0,T,en0,0,,1可由A1,A2,T,en与A1,A2,,An等价. 等价的向量组有相同的秩，故A1,A2,A0； ……（5分）

反之，若A0，即A1,A2,,An的秩为n，则A1,A2,,An线性无关，故A1,A2,,An为n维向量空间的一个基，从而任一n维向量B都可由A1,A2,,An线性表示，即

x1A1x2A2xnAnB总是成立的，亦即AXB对于任意的B总有

解. ……（10分）

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