辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三上学期第三次模拟数学(理)试题

答题时间：120分钟 满分：150分 命题人、校对人：高三数学备课组

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若z2i，则A.1

4i zz1B.1 C.i

D.i

2.设集合Axx2x20，Bxlog2x2，则集合(CRA)B

A.x1x2 B.x0x2 C.x0x4 D．x1x4 3.已知各项为正数的等比数列{an}中，a21，a4a664，则公比q＝

A．2

B．3

C．4

D．5 4.若两个单位向量a，b的夹角为60，则2ab A．2

B．3

C．2 D．3 5.已知命题p：幂函数的图象必经过点(0,0)和点(1,1)； 命题q：函数f(x)x2+5x24的最小值为

5.下列命题为真命题的是 2A.pq B.(p)q C.(pq) D.p(q)

xy306.设变量x、y满足约束条件2xy60，则Z2xy的最小值为

y3A.-3 B.-2 C.0 D. 6

ππ

7.将函数y＝sin(6x＋4)图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移8个单位，所得函数的一条对称轴方程为 A．x4 B.x2 C.x35 D.x 8828．已知定义在(0,)上的函数f(x)xm，g(x)6lnx4x，设两曲线yf(x)与

yg(x)在公共点处的切线相同，则m值等于

A.5 B.3 C.3 D． 5

9.已知ABC为等腰三角形，满足ABAC3，BC2，若P为底BC上的动点，则

AP(ABAC)

A.有最大值8 B.是定值2 C.有最小值1 D.是定值4 10．函数f(x)e|x|2|x|1的图象大致为

11.如图直角坐标系中，角0、角0的终边分别交单位圆于A、B两

22点，若B点的纵坐标为，且满足S△AOBA.

B.

C.

31，则sin3cossin的值 42222 D.

|x1|,x0,12.设函数f(x)若关于x的方程f(x)a有四

|log4x|,x0,1个不同的解x1,x2,x3,x4,且x1x2x3x4,则x3(x1x2)2的取

x3x4值范围是 A.(1,] B.(1,) C.(1,) D.(,]

yOAxB727272第II卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．等差数列{an}、{bn}的前项和分别为和，若

aa11a19Sn2n1，则3_____. bbTn3n271514．已知向量a(1,2),b(tan,1),[0,]，且a//b，则角的值为 ． （用反三角函数形式表示）

15.已知函数fxexe2x，若关于x的不等式fxafx0恰有3个整数解，则实数a的取值范围为 ．

16.已知锐角A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于钝角A2B2C2的三个内角的正弦值，其中A222，若|B2C2|1，则22|A2B2|3|A2C2|的最大值为 .

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）

已知数列

为等差数列，数列

（Ⅰ）求数列（Ⅱ）令

18.（本小题满分12分）

已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且b2c2a22ac. （Ⅰ）求B；

（Ⅱ）若，求ABC的面积.

19.（本小题满分12分）

已知顶点是坐标原点的抛物线的焦点F在y轴正半轴上，圆心在直线y通项公式； ，求数列

的前项和

．

为等比数列，满足

1x上的圆2E与x轴相切，且E,F关于点M1,0对称．

（Ⅰ）求E和Γ的标准方程；

（Ⅱ）过点M的直线l与E交于A,B，与交于C,D，求证：CD2AB．

20．（本小题满分12分）

如图，在四面体ABCD中，BABC，BADBCD90． （Ⅰ）证明：BDAC；

（Ⅱ）若ABD60，BA2，四面体ABCD的体积为2，求二面角BACD的余弦值．

A B C D

21．（本小题满分12分） 已知f(x)(x1)ex12ax． 2 （Ⅰ）当ae时，求f(x)的极值；

（Ⅱ）若f(x)有2个不同零点，求a的取值范围.

选做题（请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分） 22.（本小题满分10分）选修4—5；极坐标与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知圆C是以极坐标系中的点(2,7)为圆心，3为半径的61xt2圆，直线l的参数方程为.

y23t2（Ⅰ）求C与l的直角坐标系方程；

（Ⅱ）若直线l与圆C交于M，N两点，求MON的面积.

23.（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲 已知函数f(x)|2x1|a|x1|

（Ⅰ）当a1时，解关于x的不等式f(x)4；

（Ⅱ）若f(x)|x2|的解集包含[,2]，求实数a的取值范围.

122018-2019学年东北育才高中部高三年级第三次模拟考试

数学（理科）答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.C 2.B 3.A 4.D 5.B 6.C 7.A 8.D 9.D 10.C 11.B 12.A 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．

1129 14．artan 14．e21, 16. 10 1302三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解：

a22，a5a914

．

数列

的前n项和

，

，

．

．

c2a2b2ac218.解：（1）由已知得cosB 2ac2ac2由B0,π，得B=（2）由cosAπ. 443，A0,π得，sinA1cos2A， 5572， 10在△ABC中，sinCsin(BA)sinBcosAcosBsinA由正弦定理所以S△ABCaba5得，bsinB，

sinAsinBsinA31absinC 2157272. 23106p19.解：（1）设的标准方程为x22py，则F0,．

2已知E在直线y1x上，故可设E2a,a． ................................................................... 1分 22a021,因为E,F关于M1,0对称，所以p

2a0，2解得a1,………………3分

p2.所以的标准方程为x24y． .......................................................................................... 4分 因为E与x轴相切，故半径ra1，所以E的标准方程为x2y11． .... 5分

22（2）设l的斜率为k，那么其方程为ykx1， ......................................................... 6分 则E2,1到l的距离dk1k21，所以AB21d222k． .......................... 7分 k212x4y,2由消去y并整理得：x4kx4k0． ykx1设Cx1,y1,Dx2,y2，则x1x24k,x1x24k， 那么CDk21x1x2k21x1x2224x1x24k21k2k． ................ 9分

所以

CDAB2216k2+1k2k8kk2122k21k2kk2k=2． .......................................... 11分 k所以CD2AB，即CD2AB．........................................................................... 12分 20。解：（1）如图，作Rt△ABD斜边BD上的高AE，连结CE．

2BADBCD90，因为BABC，所以Rt△ABD≌Rt△BCD．可得CEBD．所

以BD平面AEC，于是BDAC．

…………（6分）

A z x B E C y D

（2）在Rt△ABD中，因为BA2，ABD60，所以BD4，AE3，CE3，△AEC的面积S3sinAEC．因为BD平面AEC，四面体ABCD的体积2，所以213sinAEC42，sinAEC1，AEC90，所以AE平面BCD． 32

…………（8分）

以EB，EC，ED为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz．则A(0,0,3)，

B(1,0,0)，C(0,3,0)，D(3,0,0)，AB(1,0,3)，AC(0,3,3)，

AD(3,0,3)．

设m(x1,y1,z1)是平面BAC的法向量，则mAB0mAC0，即x13z103y13z10，可取

m(3,1,1)．

3y23z20nAC0设n(x2,y2,z2)是平面DAC的法向量，则，即，可取

nAD03x23z20n(1,3,3)．

因为cosm,nmn105，二面角BACD的平面角为钝角，所以二面角|m||n|35105． 35xBACD的余弦值为（21）解：（Ⅰ）当ae时 f(x)x(ee)，……………1分

令f(x)0得x0或1，x0，f(x)0，f(x)为增函数,0x1，f(x)0x1，

f(x)0，f(x)为增函数……………3分

∴f(x)极大值f(0)1，f(x)极小值f(1)（Ⅱ）f(x)x(exa)

e……………4分 210当a0时，f(x)(x1)ex，只有个零点x1;……………5分 20当a0时，exa0

x(,0)，f(x)0，f(x)为减函数,x(0,)，f(x)0，f(x)为增函数 a0，∴当x0，x0(0,1)，使f(x0)0,当x0时，2121212xxx∴e1 ∴(x1)ex1，∴f(x)(x1)eaxx1axaxx1

222f(x)极小值f(0)1而f(1)取x1分

112a∴f(0，x)f(x)10af(x)0()0,∴函数有2个零点…………71f30当a0时，f(x)x(exa),令f(x)0得x0，xln(a)

①ln(a)0，即a1时,当x变化时 f(x)，f(x)变化情况是

x f(x) f(x) (,0) 0 0 1 (0,ln(a)) ln(a) 0 (ln(a),)   ∴f(x)极大值f(0)1,∴函数f(x)至多有一个零点，不符合题意; ……………8分 ②a1时，ln(a)0，f(x)在(,)单调递增,∴f(x)至多有一个零点，不合题意…………9分

③当ln(a)0时，即以a(1,0)时,当x变化时f(x)，f(x)的变化情况是

x fx fx (8,ln(a)) ln(a) 0 (ln(a),0) 0 (0,)   0 1  ∴x0，a0时,f(x)(x1)e点……………11分

x12ax0,f(0)1,∴函数fx至多有个零2综上：a的取值范围是(0,).……………12分

…………（12分）

22.解：（1）(2,7)所对应的直角坐标系下的点为(3，∴圆C的直角坐标系方程为：1)，6(x3)2(y1)23；l的直角坐标系方程为：y23x，即3xy20.

（2）圆心到直线l的距离为d22|3(3)12|1，

211MNd2212. 22弦长MN2rd23122，∴SMON23.（Ⅰ）(,][2,)————————————————5分 （Ⅱ）ax133x对x[,2]恒成立

23121x1时，a(1x)33xa3 21x2时，a(x1)33xa3

综上：a3—————————————————————10分