2019年石景山区初三一模数学试卷及答案

数学 试 卷

考 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题．满分100分，考试时间120分钟．2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 生 3．试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．在答题卡上， 须 选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 知 4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共16分，每小题2分）

第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． ．．为北京冬奥组委办公区．将130000用科学记数法表示应为 （A）13104

（B）1.3105

（C）0.13106

（D）1.3107

2．如图是某几何体的三视图，该几何体是 （A）三棱柱 （B）三棱锥 （C）长方体 （D）正方体

1．在北京筹办2022年冬奥会期间，原首钢西十筒仓一片130000平方米的区域被改建

3．实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是

（A）a2 a–4–3–2–10bc1234（D）abc0 （B）b1 （C）ac0 4．下列图案中，是中心对称图形的为 （A）（B）（C）（D）

5．如图，直线AB∥CD，直线EF分别与AB，CD 交于点E，F，EG平分∠BEF，交CD于点G， 若170，则2的度数是 （A）60 （C）50

（B）55 （D）45

C2AE1BFGD6．为了保障艺术节表演的整体效果，某校在操场中标记了几个关键位置，如图是利用 平面直角坐标系画出的关键位置分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为

2，则表示x轴、y轴的正方向，表示点A的坐标为1,1，表示点B的坐标为3，其他位置的点的坐标正确的是

北0 （A）C1，1 （B）D3，5 （C）E2，2 （D）F5，EDCABF7．下面的统计图反映了我国五年来农村贫困人口的相关情况，其中“贫困发生率”是 指贫困人口占目标调查人口的百分比．

10000800060004000200002014201520162017701755754335304616602018年份2014  2018年年末全国农村贫困人口统计图人数/万人2014  2018年年末全国农村贫困发生率统计图贫困发生率/%10864202014201520167.25.74.53.120171.72018年份（以上数据来自国家统计局）

根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是 ．．．

（A）与2017年相比，2018年年末全国农村贫困人口减少了1386万人 （B）2015 ~2018年年末，与上一年相比，全国农村贫困发生率逐年下降 （C）2015~2018年年末，与上一年相比，全国农村贫困人口的减少量均超过

1000万

（D）2015~2018年年末，与上一年相比，全国农村贫困发生率均下降1.4个百分点

8．如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB可以看作是 由△OCD经过两次图形的变化（平移、轴对称、旋转） 得到的，这个变化过程不可能是 ．．．（A）先平移，再轴对称 （B）先轴对称，再旋转 （C）先旋转，再平移 （D）先轴对称，再平移

二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．写出一个大于2且小于3的无理数：.

10．右图所示的网格是正方形网格，点P到射线OA的距离

为m，点P到射线OB的距离为n，则mn． （填“>”，“=”或“<”）

Oy3A21–3–2–1–1–2D–3CO1B23xAPB11．一个不透明盒子中装有3个红球、5个黄球和2个白球，这些球除了颜色外无其他差

别．从中随机摸出一个球，恰好是红球的概率为. 12.若正多边形的一个内角是135，则该正多边形的边数为. 13．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的

点，DE∥BC．若AE6，EC3，DE8， 则BC．

BDAEC1m114．如果m2m30，那么代数式m2的值是．

mm

15．我国古代数学著作《算法统宗》中记载了“绳索量竿”问题，其大意为：现有一根

竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就

比竿短5尺．求绳索和竿的长度．设绳索长x尺，竿长y尺，可列方程组为.

16．如图，AB是⊙O的一条弦，P是⊙O上一动点 （不与点A，B重合），C，D分别是AB，BP的中点． 若AB= 4，∠APB= 45°，则CD长的最大值为．

PODACB

三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，

第27，28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．下面是小立设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．

已知：如图1，直线l及直线l外一点A． 求作：直线AD，使得AD∥l．

作法：如图2，

①在直线l上任取一点B，连接AB； ②以点B为圆心，AB长为半径画弧， 交直线l于点C；

③分别以点A，C为圆心，AB长为半径 画弧，两弧交于点D（不与点B重合）； ④作直线AD．

所以直线AD就是所求作的直线． 根据小立设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明．（说明：括号里填推理的依据）

证明：连接CD．

∵AD=CD=BC=AB，

∴四边形ABCD是（）．

∴AD∥l（）．

18．计算：2cos301223．

0Al图1

ABCl图2

x13x3，19．解不等式组： x5. x≥220．关于x的一元二次方程x2m3xm20． （1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．

21．如图，在△ABC中，ACB90，D为AB边上一点，连接CD，E为CD中点，

连接BE并延长至点F，使得EF＝EB，连接DF交AC于点G，连接CF． （1）求证：四边形DBCF是平行四边形； （2）若A30，BC4，CF6，

求CD的长.

AGDEBFC22．如图，AB是⊙O的直径，过⊙O上一点C作⊙O的切线CD，过点B作BE⊥CD

于点E，延长EB交⊙O于点F，连接AC，AF． （1）求证：CEDEBC1AF； 2（2）连接BC，若⊙O的半径为5，tanCAF2，

求BC的长．

23．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数yFOAk6， x0的图象经过点A1，x，0． 直线ymx2与x轴交于点B1（1）求k，m的值；

2n作平行于x轴的直线，交直线ymx2于点C，交 （2）过第二象限的点Pn，函数ykx0的图象于点D. x①当n1时，判断线段PD与PC的数量关系，并说明理由； ②若PD≥2PC，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．

Ay7654321B–7–6–5–4–3–2–1O–1

12x–2–3

24．如图，Q是AB上一定点，P是弦AB上一动点，C为AP中点，连接CQ，过

点P作PD∥CQ交AB于点D，连接AD，CD．

已知AB8cm，设A，P两点间的距离为xcm，C，D两点间的距离为ycm． （当点P与点A重合时，令y的值为1.30）

小荣根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小荣的探究过程，请补充完整：

（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，得到了y与x的几组对应值：

ACPBQDx/cm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y/cm 1.30 1.79 1.74 1.66 1.63 1.69 2.08 2.39 （2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各组对应值为坐标的点，画出该函

数的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：当DA⊥DP时，AP的长度约为cm．

25．为了调查学生对垃圾分类及投放知识的了解情况，从甲、乙两校各随机抽取40名

学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了 整理、描述和分析．下面给出了部分信息．

a．甲、乙两校40名学生成绩的频数分布统计表如下： （成绩x 50≤x<60 4 6 60≤x<70 11 3 70≤x＜80 13 15 80≤x＜90 10 14 90≤x≤100 2 2 说学校 明：成

甲 乙 绩80分及以上为优秀，70~79分为良好，60~69分为合格，60分以 下为不合格）

b．甲校成绩在70≤x＜80这一组的是： 70

70

70

71

72

73

73

73

74

75

76

77

78

c．甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数如下： 学校 甲 乙 平均分 74.2 73.5 中位数 n 76 众数 85 84 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中n的值；

（2）在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属学校排在前20名，由表中

数据可知该学生是校的学生（填“甲”或“乙”），理由是； （3）假设乙校800名学生都参加此次测试，估计成绩优秀的学生人数．

26．在平面直角坐标系xOy中，直线ykx1(k0)经过点A(2,3)，与y轴交于点B，

与抛物线yax2bxa的对称轴交于点C(m,2). （1）求m的值；

（2）求抛物线的顶点坐标；

（3）N(x1,y1)是线段AB上一动点，过点N作垂直于y轴的直线与抛物线交于点

．若x2x1x3恒成立，结合函数的P(x2,y2),Q(x3,y3)（点P在点Q的左侧）图象，求a的取值范围．

27．如图，在等边△ABC中，D为边AC的延长线上一点(CDAC)，平移线段BC，

使点C移动到点D，得到线段ED，M为ED的中点，过点M作ED的垂线，交BC 于点F，交AC于点G． （1）依题意补全图形； （2）求证：AG = CD；

（3）连接DF并延长交AB于点H，用等式表示

线段AH与CG的数量关系，并证明．

28．在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点分别为A(0,1)，B(1,0)，C(0,1)，

BEMCDAD(1,0)．对于图形M，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为正方形ABCD

边上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M的 “正方距”，记作d(M)． （1）已知点E(0,4)，

①直接写出d(点E)的值；

②直线ykx4(k0)与x轴交于点F，当d线段EF取最小值时，求k的取 值范围；

（2）⊙T的圆心为T(t,3)，半径为1．若d(T)6，直接写出t的取值范围．

石景山区2019年初三统一练习暨毕业考试

数学试卷答案及评分参考

阅卷须知：

1. 为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要

考生将主要过程正确写出即可。

2. 若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分。 3. 评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 题号 答案 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．答案不唯一，如：5 10．>

11．

1 B 2 A 3 C 4 C 5 B 6 B 7 D 8 C 3 1012．8

13．12 14．3

xy515．x

y5216．22

三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23 - 26题，每小题6分，

第27，28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．解：（1）补全的图形如图所示：

BClAD………………2分

（2）菱形；四条边都相等的四边形是菱形； 菱形的对边平行． 18．解：原式=2………………4分 ………………5分

3+2313 2………………4分 ………………5分

=332．

19．解：解不等式x13(x3)，得x4． 解不等式x≥x5，得x≥5． 22………………………………2分 ………………………………4分 ………………………………5分

∴原不等式组的解集为x≥5．

20．（1）证明：依题意，得m34m2

m26m94m8

m1．

22∵m1≥0， ∴≥0．

∴方程总有两个实数根．

（2）解：解方程，得x11，x2m2， ∵方程的两个实数根都是正整数，

∴m2≥1． ∴m≥1．

∴m的最小值为1．

21．（1）证明：∵点E为CD中点， ∴CE＝DE．

∵EF＝BE，

∴四边形DBCF是平行四边形．

（2）解：∵四边形DBCF是平行四边形，

∴CF∥AB，DF∥BC．

………………………………2分

………………………………3分 ………………………………4分

………………………………5分

FCGADEB………………………………2分

∴FCGA30，CGFCGDACB90．

在Rt△FCG中，CF =6，

∴FGCF3，CG33． ∵DFBC4， ∴DG1． 在Rt△DCG中，

12………………………………3分

………………………………4分

由勾股定理，得CD27．

………………………………5分

22．（1）证明：连接CO并延长交AF于点G． ∵CD是⊙O的切线， ∴ECO90．

∵AB是⊙O的直径， ∴AFB90． ∵BECD， ∴CEF90．

∴四边形CEFG是矩形．

∴GFCE，CGF90． ∴CGAF．

DEBC………1分 OFAG………………………………2分

1AF． 21∴CEAF．

2∴GF（2）解：∵CGAF， ∴CFCA．

∴CBACAF．

∴tanCBAtanCAF2．

∵AB是⊙O的直径，

∴ACB90．

………………………………3分

………………………………4分

在Rt△CBA中，设BCx，AC2x， 则AB5x=52． ∴BCx25．

23．解：（1）∵函数y………………………………5分

k， x0的图象G经过点A（-1，6）

xy7654DC3P2112x∴k6．…………… 1分

∵直线ymx2与x轴交于点B（-1，0）， ∴m2． ……………………… 2分

（2）①判断：PD=2PC．理由如下：……… 3分

当n1时，点P的坐标为(-1,2)，

∴点C的坐标为(-2,2)，点D的坐标为(-3,2)．

∴PC=1，PD=2．

∴PD=2PC．…………… 4分

②1≤n0或n≤3．…………… 6分

AB–7–6–5–4–3–2–1O–1–2–324．解：（1）1.85． （2）

y/cm

4

3

2 1

O

（3）3.31． 25．解：（1）72.5． ………………………………1分 12345678x/cm…4分 ………………………………6分 ………………………………2分 （2）甲；这名学生的成绩为74分，大于甲校样本数据的中位数72.5分，小于 乙校样本数据的中位数76分，所以该学生在甲校排在前20名，在乙校排 在后20名，而这名学生在所属学校排在前20名，说明这名学生是甲校的

……………………………4分 学生．

（3）在样本中，乙校成绩优秀的学生人数为14+2=16．

假设乙校800名学生都参加此次测试，估计成绩优秀的学生人数为

800

16320． 40……………………………6分

26．解：（1）∵ykx1(k0)经过点A(2,3)，

……………………………1分

∴k1．

∵直线yx1与抛物线yax2bxa的对称轴交于点Cm,2， ∴m1．

……………………………2分

（2）∵抛物线yax2bxa的对称轴为x1，

∴b1，即b2a． 2a∴yax22axa

a(x1)2．

∴抛物线的顶点坐标为1,0．

………………………………4分

（3） 当a0时，如图，

若抛物线过点B(0,1)，则a1．

y4ANQ 结合函数图象可得0a1． 3 当a0时，不符合题意．

P2 综上所述，a的取值范围是0a1．

1 ………………………………6分 B

–1O

–1 27．（1）补全的图形如图1所示．…………… 1分 （2）证明：△ABC是等边三角形， ABBCCA．

ABCBCACAB60．

由平移可知ED∥BC，ED=BC．………… 2分 ADEACB60． BGMD90，

EDG2DMDE．…………… 3分 DEBCAC， DGAC．

AGCD．…………… 4分

（3）线段AH与CG的数量关系：AH = CG．

证明：如图2，连接BE，EF．

EDBC,ED∥BC，

123xAGFMCD图1

…………… 5分

AGHBEFMCD四边形BEDC是平行四边形． BECD，CBEADEABC． GM垂直平分ED，

EFDF．

DEFEDF．

ED∥BC，

BFEDEF，BFHEDF． BFEBFH． BFBF，

△BEF≌△BHF．…………… 6分 BEBHCDAG． ABAC， AHCG． …………… 7分

图2

28．解：（1）①5．

②如图， F2–5–4

………………………………2分 y54E321A–3B–2–1O–1CD123F145xd点E5．

d(线段EF)的最小值是5．

符合题意的点F满足d点F≤5．

当d点F=5时，BF1DF25．

点F1的坐标为4,0，点F2的坐标为4,0．

k1或k1．

结合函数图象可得k≤-1或k≥1． ………………………………5分

（2）3t3．

………………………………7分