2013数学高考试卷

2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)

数 学 (文科)

注意事项：

1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前考生将自己的姓名\\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。

2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题。每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合M{x|3x1}，N{3,2,1,0,1}，则MN（ ）

（A）{2,1,0,1} （B）{3,2,1,0} （C）{2,1,0} （D）{3,2,1} 【答案】C

【解析】因为M{x3x1}，N{3,2,1,0,1},所以MN{2,1,0}，选C.

2、

2（ ） 1i（A）22 （B）2 （C）2 （D）1 【答案】C 【解析】

222(1i)2(1i)1i，所以2，选C. 1i(1i)(1i)21ixy10,3、设x,y满足约束条件xy10,，则z2x3y的最小值是（ ）

x3,（A）7 （B）6 （C）5 （D）3 【答案】B

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2zx。作出可行域如图,平移直332z2z2z线yx，由图象可知当直线yx经过点B时，直线yx的截距最大，此

333333【解析】由z=2x-3y得3y=2x-z，即y时z取得最小值，由xy10x3)代入直线z=2x-3y得得，即B(3,4,

x3y4z32346，选B.

4、ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知b2，B面积为（ ）

（A）232 （B）31 （C）232 （D）31 【答案】B 【解析】因为B6，C，则ABC的46,C4,所以A7.由正弦定理得12bsin6csin4，解得c22。所以三角形的面积为

117bcsinA222sin.因为 2212sin73221231sin()()，所以 123422222221231bcsinA22()31，选B. 2222x2y2P是C上的点，5、设椭圆C:221(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2，PF2F1F2，

abPF1F230，则C的离心率为（ ）

（A）

1133 （B） （C） （D）

3263【答案】D

【解析】因为PF2F1F2,PF1F230,所以PF22ctan302343c,PF1c。又33PF1PF2c13633c2a，所以，即椭圆的离心率为，选D. 33a33第2页 共11页

22，则cos()（ ） 341112（A） （B） （C） （D）

63236、已知sin2【答案】A

1cos2()1cos(2)421sin2，所以【解析】因为cos2()4222211sin231，选A. cos2()42267、执行右面的程序框图，如果输入的N4，那么输出的S（ ）

111111（A）1 （B）1

23423243211111111（C）1 （D）1

23452324325432【答案】B

【解析】第一次循环，T1,S1,k2；第二次循环，T第三次循环，T11,S1,k3；22111,S1,k4，第四次循环，232231111T,S1,k5，此时满足条件输出

234223234111S1，选B.

2232348、设alog32，blog52，clog23，则（ ）

（A）acb （B）bca （C）cba （D）cab 【答案】D

【解析】因为log32111，log521，又log231，所以c最大。又log23log2511，即ab，所以cab，选D. log23log251log23log25，所以

9、一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，

(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为

（ ）

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(A)

(B)

(C)

(D)

【答案】A

【解析】在空间直角坐标系中，先画出四面体OABC的直观图，以zOx平面为投影面，则

得到正视图(坐标系中红色部分),所以选A.

B两点。10、设抛物线C:y24x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，若|AF|3|BF|，

则l的方程为（ ）

（A）yx1或yx! （B）y33(x1)或y(x1) 3322(x1)或y(x1) 22（C）y3(x1)或y3(x1) （D）y【答案】C

2

【解析】抛物线y=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=-1，设A（x1，y1），B（x2，y2），则因为|AF|=3|BF|，所以x1+1=3（x2+1），所以x1=3x2+2 因为|y1|=3|y2|，x1=9x2，所以x1=3，x2=

1，当x1=3时，y1212，所以此时y11223，3若y123，则A(3,23),(B,123,此时kAB3,此时直线方程为y3(x1)。若)33123),此时kAB3,此时直线方程为y3(x1)。y123，则A(3,23),B(,33所以l的方程是y3(x1)或y3(x1)，选C.

11、已知函数f(x)x3ax2bxc，下列结论中错误的是（ ） （A）x0R，f(x0)0

（B）函数yf(x)的图象是中心对称图形

（C）若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(,x0)单调递减

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（D）若x0是f(x)的极值点，则f'(x0)0 【答案】C

)【解析】若c0则有f(00，所以A正确。由f(x)x3ax2bxc得

，所以f(x)cx3ax2bx，因为函数yx3ax2bx的对称中心为（0,0）

f(x)x3ax2bxc的对称中心为(0,c),所以B正确。由三次函数的图象可知，若x0是

f(x)的极小值点，则极大值点在x0的左侧，所以函数在区间（-∞, x0）单调递减是错误的，D正确。选C.

12、若存在正数x使2x(xa)1成立，则a的取值范围是（ ）

（A）(,) （B）(2,) （C）(0,) （D）(1,) 【答案】D

x【解析】因为20，所以由2x(xa)1得xa1x2，在坐标系中，作出函数x2x的图象，当x0时，g(x)2x1，所以如果存在x0，使f(x)xa,g(x)22x(xa)1，则有a1，即a1，所以选D.

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是_______。 【答案】

1 52【解析】从5个正整中任意取出两个不同的数，有C510种，若取出的两数之和等于5，则有(1,4),(2,3)，共有2个，所以取出的两数之和等于5的概率为

21。 105（14）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AEBD_______。 【答案】2

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【解析】在正方形中，AEAD1DC,BDBAADADDC,所以222111AEBD(ADDC)(ADDC)ADDC22222。

222（15）已知正四棱锥OABCD的体积为径的球的表面积为________。

【答案】24

32，底面边长为3，则以O为球心，OA为半2【解析】设正四棱锥的高为h，则(3)h1323232，解得高h。则底面正方形的对22角线长为

236，所以OA(3226)()26,所以球的表面积为224(6)224.

)(的图象向右平移（16）函数ycos(x2ysin(2x)的图象重合，则_________。

35【答案】

6【解析】函数ycos(2x)，向右平移向左平移

2个单位后，与函数

2个单位，得到ysin(2x3)，2(is即ynx)32个单位得到函数ycos(2x)，ysin(2x3)向左平移

2个单位，得

ysin[2(x)]sin(2x)sin(2x)cos(2x)

23332355cos(2x)，即。

66三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

已知等差数列{an}的公差不为零，a125，且a1,a11,a13成等比数列。 （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）求a1a4+a7a3n2；

第6页 共11页

（18）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，。

（Ⅰ）证明：BC1//平面ACD11；

（Ⅱ）设AA求三棱锥CA 1ACCB2，AB22，1DE的体积。

（19）（本小题满分12分）

A1B1ADBEC1C经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的

产品，每1t亏损300元。根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如

100X150）右图所示。经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品。以X（单位：t，

表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润。 （Ⅰ）将T表示为X的函数；

（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；

（20）(本小题满分12分)

在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为22，在y轴上截得线段长为23。

（Ⅰ）求圆心P的轨迹方程； （Ⅱ）若P点到直线yx的距离为

（21）（本小题满分12分）

已知函数f(x)x2ex。 （Ⅰ）求f(x)的极小值和极大值；

（Ⅱ）当曲线yf(x)的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围。

2，求圆P的方程。 2第7页 共11页

请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，做答时请写清题号。 （22）（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲 如图，CD为ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，且BCAEDCAF，B、E、F、C四点共圆。

（Ⅰ）证明：CA是ABC外接圆的直径；

（Ⅱ）若DBBEEA，求过B、E、F、C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值。

（23）（本小题满分10分）选修4——4；坐标系与参数方程

x2cost,P、Q已知动点都在曲线C:（t为参数）上，对应参数分别为t=与t=2y2sint（02），M为PQ的中点。

（Ⅰ）求M的轨迹的参数方程；

（Ⅱ）将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点。

（24）（本小题满分10分）选修4——5；不等式选讲 设a、b、c均为正数，且abc1，证明：

1a2b2c21 （Ⅰ）abbcac；（Ⅱ）

3bca

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