完全数公式推理

第一步：我们把完全数写成连续自然数之和：

有任意完全数N = 2^(n-1)×(2^n-1)；

我们计算连续自然数相加，当从1加到这个完全数N的梅森尼数2^n-1时，我们用求和公式来计算这个连续自然数相加之和：

首数是 1

尾数是 2^n-1

项数是 2^n-1

代入求和公式：Q=[1+(2^n-1)]/2 × (2^n-1) =2^(n-1) ×(2^n-1)

请注意，连续自然数相加从1加到 2^n-1 ，其和的表达式与特性系数为n的完全数N的表达式完全相同。也就是说，完全数可以写成连续自然数相加，其连续自然数的最后一个数正是这个完全数的梅森尼数 2^n-1。证毕。

第二步：我们把无穷连续自然数分组。P为任意奇数。

每一组的首数是 （P^2 +1）/2 - P …… （2）

每一组的尾数是 （P^2 -1）/2 + P …… （3）

用此公式计算每一组内连续自然数之和Q：

Q =（首数+尾数）/2 × 项数

= [（P^2+1）/2 - P + （P^2-1）/2 + P ]/2

× {[（P^2-1）/2 + P ]- [（P^2+1）/2 - P ] + 1}

= P^2/2 × 2P = P^3

此结果表示：按此规则将连续自然数分组后每一组内连续自然数之和为该奇数P的3次方。举例：

P 首数 尾数 所占区间 区间内全部自然数之和

1 0 1 0 ～ 1 1=1^3

3 2 7 2 ～ 7 27=3^3

5 8 17 8 ～ 17 125=5^3

7 18 31 18 ～ 31 343=7^3

9 32 49 32 ～ 49 729=9^3

17 128 161 128～161 4913＝17^3

第三步：在连续奇数的分组的公式中计算任意奇数P所占据连续自然数组的首数与其

前一个奇数（P-2）所占据连续自然数组的尾数之差Δ。

Δ=[( P^2+1)/2 – P] – {[(P-2)^2-1]/2 + (P-2)}

= P^2/2 + 1/2 – P –(P^2/2 – 4P/2 + 4/2 – 1/2 + P – 2)

= P^2/2 + 1/2 – P –P^2/2 + 2P –2 + 1/2 - P + 2

= 1

本计算结果表明，任意奇数P所占据连续自然数组的首数与其前一个奇数（P-2）所占据连续自然数组的尾数之差等于1，也就是说这两个数组既不重叠，也无间隔。

第四步：我们把无穷连续自然数写成连续奇数的立方和。

通过以上的计算，我们得到了一个很完美的连续自然数分组：

(0,1) (2,3,4,5,6,7) (8,9,…,15,16,17) (18,19,…，29,30,31) (32,33, …，47,48,49) (50,51, … ) …… （4）

每一个括号内连续自然数之和是：1^3，3^3，5^3，7^3，9^3，……，

这就证明了无穷连续自然数相加可以写成连续奇数的立方数相加。

第五步：确定任意完全数N写成连续奇数立方和的项数。

完全数N写成连续奇数的立方和，这连续奇数立方的项数是A6 ：

A6 ＝ 2^[(n-1)/2] (n是完全数N的特性系数)

例如完全数8128（n = 7 ）

A6 ＝2^[(n-1)/2] ＝2^[(7-1)/2]＝2^3＝8；

即：完全数8128可以写成8个连续奇数的立方数相加。

第六步：确定任意完全数N写成连续奇数立方和的最后一个奇数。

连续奇数的立方数相加的最后1个奇数是A7：

A7 ＝2^[(n+1)/2] - 1

例如完全数8589869056（n = 17），其连续奇数立方数中最后1个奇数是：

A7 ＝2^[(n+1)/2] - 1＝2^[(17+1)/2] - 1＝2^9 – 1＝511；

即完全数8589869056=1^3+3^3+5^3+7^3+9^3+……+507^3+509^3+511^3

第七步：完全数N分解成连续自然数相加，其最后一个数是它的梅森尼数(2^n-1)。现在我们来证明，这个完全数N写成连续奇数立方数相加的形式后最后一个奇数所占区域里的最后一个数也是这个完全数的梅森尼数，

我们令其最后一个奇数Pi= 2^[(n+1)/2] - 1（n是任意完全数N的特性系数）

我们计算连续奇数立方数相加最后一个奇数Pi= 2（n+1)/2 - 1 在分组式（4）中所占据连续自然数区域中最后一个数：

由（3）式得到，这最后一个数是：

我们把连续自然数相加写成连续奇数的立方数相加：

S = 1^3+3^3+5^3+7^3+9^3 ……

我们令其最后一个奇数是Pi= 2^[(n+1)/2] - 1（n是任意完全数的特性系数）

于是有：

S = 1^3+3^3+5^3+7^3+9^3 + …… + ｛2^[(n+1)/2] - 1 ｝^3

我们计算连续奇数立方数相加最后一个奇数Pi= 2^[(n+1)/2] - 1 在分组式（4）中所占据连续自然数区域中最后一个数：

由（3）式得到，这最后一个数是：

Q = （P^2-1）/2 + P

= <｛2^[(n+1)/2] – 1｝^2- 1>/2 + {2^[(n+1)/2] – 1}

=<{2^[(n+1)/2]}^2-2*{2^[(n+1)/2]}+1-1>/2+{2^[(n+1)/2]– 1}

= [2^(n+1)]/2- 2^[(n+1)/2] +2^[(n+1)/2] – 1

= 2^n-1

我们这就计算出，连续奇数立方数相加，当最后一个奇数数值是 2^[(n+1)/2] - 1的时候，这最后一个奇数在连续自然数组（4）式中所占区域的最后一个数同样也是特性系数为n的完全数的梅森尼数2^n-1。

再说得简单和明白一点，那就是说，完全数可以写成连续自然数相加，而这个连续自然数又可以写成连续奇数的立方和。