三角形旋转

三角形旋转

三角形旋转问题考察旋转变换，三角形全等，三角形相似，三角形面积，线段长度的最值，综合性非常强。

（2011浙江宁波3分）如图，⊙O1 的半径为１，正方形ABCD的边长为6， 点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P点，O1O2 =8．若将⊙O1 绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O1与正方形ABCD的边 只有一个公共点的情况一共出现

(A)3次 (B)5次 (C)6次 (D)7次 【答案】B。

【考点】直线与圆的位置关系，正方形的性质

【分析】∵⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P点，

设O1O2交圆O1于M，∴PM=8－3－1=4。∴圆O1与以P为圆心，以4为半径的圆相外切。

∴在旋转过程中，⊙O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现5次。 故选B。

问题：证明边相等 思路：三角形全等 问题：求周长最值

思路：和存在性问题结合。列出周长函数解析式，配方法求出最值

(2012四川省南充市，21，8分) 在Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B.

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（1）求证：MA=MB;

（2）连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB的周长是否存在最小值.若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.

解析：（1）连接OM.证明⊿AMO ≌⊿AMO即可.（2）在Rt⊿AOB中，运用勾股定理得到求AB长的式子，转化成二次函数的问题，运用二次函数的最值求解. 答案：（1）证明：连接OM.

∵⊿PQR是等腰之间三角形且M是斜边PQ的中点， ∴MO=MQ，∠MOA=∠MOAMQB=450. ∵∠AMO+∠OMB=900，∠OMB+∠AMO =900. ∴∠AMO =∠AMO. ∴⊿AMO ≌⊿AMO. ∴MA=MB.

（2）解：由（1）中⊿AMO ≌⊿AMO得AO=BQ. 设AO=x，则OB=4-x. 在Rt⊿OAB中，

ABOA2OB2x2+(4-x)2=2(x-2)2+8.

∴当x=2时，AB的最小值为22， ∴⊿AOB的周长的最小值为22+4.

点评：本题以直角三角形为基本图形，综合考查了全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、勾股定理和二次函数的性质等知识点.考查了学生综合运用数学知识以及转化的数学思想解决问题的能力.对于几何知识与二次函数的综合，是学生解题的难点之一.难度较大

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例1.【2012义乌市23题】在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°， 将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．

（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数； （2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积； （3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC 绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长 度的最大值与最小值．

考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质。 解答：解：

（1）由旋转的性质可得： ∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1， ∴∠CC1B=∠C1CB=45°， ∴∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B=45°+45°=90°． （2）∵△ABC≌△A1BC1， ∴BA=BA1，BC=BC1，∠ABC=∠A1BC1， ∴

，∠ABC+∠ABC1=∠A1BC1+∠ABC1，

∴∠ABA1=∠CBC1， ∴△ABA1∽△CBC1． ∴

，

∵S△ABA1=4，∴S△CBC1=

；

（3）过点B作BD⊥AC，D为垂足， ∵△ABC为锐角三角形， ∴点D在线段AC上， 在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=

，

①如图，当P在AC上运动至垂足点D， △ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1 在线段AB上时，EP1最小，最小值为：

3

EP1=BP1﹣BE=BD﹣BE=

﹣2；

②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B 旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延 长线上时，EP1最大，最大值为： EP1=BC+AE=2+5=7．

例2.【2012•益阳】已知：如图1，在面积为3的正方形ABCD 中，E、F分别是BC和CD边上的两点，AE⊥BF于点G，且 BE=1．

（1）求出△ABE和△BCF重叠部分（即△BEG）的面积； （2）现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB′E′（如图2）， 使点E落在CD边上的点E′处，问△ABE在旋转前后与△BCF 重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由．

考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形。 专题： 几何综合题。

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分析： （1）由正方形ABCD的面积等于3，即可求得此正方形的边长，由在△BGE与△ABE

中，∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°，可证得△BGE∽△ABE，由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案； （2）首先由正切函数，求得∠BAE=30°，易证得Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′，可得AB′与AE在同一直线上，即BF与AB′的交点是G，然后设BF与AE′的交点为H，可证得△BAG≌△HAG，继而证得结论． 解答：

（1）解：∵正方形面积为3， ∴AB=，在△BGE与△ABE中， ∵∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°，

∴△BGE∽△ABE，∴

又∵BE=1，∴AE=AB+BE=3+1=4， ∴S△BGE=

×S△ABE=

=

．

2

2

2

，

（2）解：没有变化．理由：∵AB=∴tan∠BAE=

=

，∠BAE=30°，

，BE=1，

∵AB′=AD，∠AB′E′=∠ADE'=90°，AE′公共， ∴Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′， ∴∠DAE′=∠B′AE′=∠BAE=30°， ∴AB′与AE在同一直线上，即BF与AB′的交点 是G，设BF与AE′的交点为H， 则∠BAG=∠HAG=30°，而∠AGB=∠AGH=90°， AG公共，∴△BAG≌△HAG， ∴S四边形GHE′B′=S△AB′E′﹣S△AGH=S△ABE﹣S△ABG=S△BGE． ∴△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积 没有变化

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点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及

三角函数等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．

求角度：旋转变换产生全等三角形，产生相等的角和相等的边，相等的边构成等腰三角形又产生相等的角，对应边的夹角都等于旋转角，利用这些角度的知识来求一些角度。 求面积：已知（或者没有）一个三角形的面积，求另一个三角形的面积。因为三角形旋转产生很多相等的角，所以很大可能产生相似三角形。求出相似三角形的相似比，面积比等于相似比的平方。如果是直角三角形，可以直接求。

重叠面积是否变化：首先转化为剩下部分的面积是否变化的问题，注意点的特殊位置。找到全等三角形或相同面积的三角形，从而把三角形面积转化为三角形的面积。 求线段最值：线段的一端固定，另一端是动点而且随着三角形旋转起来，线段的长度会变化。当线段两端点和旋转中心共线时，出现最值。

证明三角形全等：旋转过程中的边相等，角相等，相等的角加上（或减去）公共角（或相等的角）构成新的相等角，相交线想到对顶角相等，直角三角形想到等角（同角）的余角相等。

证明三角形相似：找到两组相等角，或者夹角相等，两边成比例，这两种方法居多。 求两点距离：构造直角三角形，这两点的线段通常是斜边。分别求出两条直角边的长度，利用勾股定理求出两点距离。

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例3.【2012成都20题】如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角 形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合． 将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段 EF与射线CA相交于点Q．

（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE； （2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并 求当BP=a ，CQ=

9a时，P、Q两点间的距离 (用含a的代数式表示)． 2

考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；旋转的性质。 解答：

（1）证明： ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠B=∠C=45°，AB=AC， ∵AP=AQ，∴BP=CQ， ∵E是BC的中点，∴BE=CE， 在△BPE和△CQE中， ∵

，

∴△BPE≌△CQE（SAS）；

（2）解： ∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形， ∴∠B=∠C=∠DEF=45°， ∵∠BEQ=∠EQC+∠C， 即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C， ∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，∴∠BEP=∠EQC， ∴△BPE∽△CEQ，∴

，

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a，

∵BP=a，CQ=a，BE=CE，∴BE=CE=∴BC=3

a，∴AB=AC=BC•sin45°=3a，

∴AQ=CQ﹣AC=a，PA=AB﹣BP=2a， 连接PQ，在Rt△APQ中，PQ=

=a．

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