广东省实验中学2012-2013学年高二上学期期末数学文试题

文 科 数 学

本试卷分基础检测与能力检测两部分，共4页．满分为150分，考试用时120分钟． 注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答卷和答题卡上，并用2B铅笔在答题卡上填涂学号．

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷交回．

第一部分 基础检测(共100分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的．

1．命题“xR,ex”的否定是（ ） A．x0xR,ex0x

xB．xR,ex D．x0xC．xR,ex

R,ex0x．

xy102．设实数x和y满足约束条件xy2，则z2x3y的最小值为（ ）

x4A．26

B．24 C．16

2 D．14

3．抛物线y2x的准线方程为（ ）

A．y

4．“为锐角”是“sin0”的（ ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．非充分非必要条件 D．充要条件

111 B．y C．y1 D．y 482x2y21(a0) 的渐近线方程为3x2y0 ，则a的值为( ) 5．设双曲线29aA．4 B．3 C．2 D．1

6． 在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），给出下列四条叙述：

7．给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是（ ）

A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④

①点P关于x轴的对称点的坐标是（x，－y，z） ②点P关于yOz平面的对称点的坐标是（x，－y，－z） ③点P关于y轴的对称点的坐标是（x，－y，z） ④点P关于原点的对称点的坐标是（－x，－y，－z） 其中正确的个数是（ ） A．3

B．2 C．1

D．0

x2y28．若双曲线1的弦被点（4，2）平分，则此弦所在的直线方程是（ ）

369 A．x2y0 B．x2y40 C．2x13y140 D．x2y80

x2y23a9．设F1,F2是椭圆E:22=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x上一点,

ab2△F2PF1是底角为300的等腰三角形,则E的离心率为（ ） A．

D．

1 2B．

2 3C．

3 44 5x2y21的左焦点为F1, 点P在椭圆上, 若线段PF1的中点M在y轴上, 则10．椭圆

259PF1（ ）

A．

941 B． C．6 D．7

55二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．

11．若圆心在x轴上、半径为2的圆O位于y轴左侧，且与直线xy0相切，则圆O的

方程是 .

12．某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积是 。

213．抛物线y2px(p0)上一点M到焦点F的距离MF2p.

则M的坐标是 .

三、解答题：本大题共3小题，共35分．解答应写出文字说明、证明过程或演算 14．(本题满分10分) 已知圆C方程为：x2y24.

（1）直线l过点P1,2，且与圆C交于A、B两点，若|AB|23，求直线l的方程; （2）过圆C上一动点M作平行于x轴(与x轴不重合)的直线m，设m与y轴的交点为N，

若向量OQOMON，求动点Q的轨迹方程.

x2y2315．(本题满分12分) 设椭圆C：221(ab0)经过点(0,4)，离心率为

5ab（1）求C的方程； （2）求过点(3,0)且斜率为

4的直线被C所截线段的中点坐标． 5E

B

16．（本小题满分13分） 如图，已知AB⊥平面ACD，

且F是CDDE∥AB，ADACDE2AB=2，

的中点．AF3 （1）求证：AF∥平面BCE； （2）求证：平面BCE⊥平面CDE； (3) 求此多面体的体积．

C

A F

D

第二部分 能力检测(共50分)

四、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．

17．下列有关命题的说法正确有_________________________(填写序号)

22① “若ambm,则ab”的逆命题为真；

22② 命题“若x3x20,则x1”的逆否命题为：“若x1,则x3x20”; ③ “命题pq为真”是“命题pq为真”的必要不充分条件；

④ 对于常数m,n，“mn0”是“方程mxny1的曲线是椭圆”的充分不必要条件.

18．在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为xy8x150,若直线ykx2上至少存在一

2222点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是____.

五、解答题：本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（本小题满分14分）如图,等边三角形OAB的边长为83,且其

三个顶点均在抛物线C：x2py(p0)上. （1）求抛物线C的方程;

EG是圆M在x（2）设圆M过D(0,2)，且圆心M在抛物线C上，

轴上截得的弦，试探究当M运动时，弦长EG是否为定值？为什么？

20．(本小题满分12分) 已知数列{an}的前n项和Snpq(p0,p1)，求证数列

n2{an}是等比数列的充要条件是q1.

21．(本小题满分14分) 一动圆与圆O1:(x1)y1外切，与圆O2:(x1)y9内

切.

（1）求动圆圆心M的轨迹L的方程；

（2）设过圆心O1的直线l:xmy1与轨迹L相交于A、B两点，请问ABO2（O2为圆

2222O2的圆心）的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程，若不存

在，请说明理由.

高二文科数学解答：

一．选择题

1 D 2 D 3 B 4 A 5 C 6 C 7 D 8 A 9 C 10 A 11.(x2)2y22；12.

403p4；13.(,3p)； 17.②③; 18. 32314.解（Ⅰ）①当直线l垂直于x轴时，则此时直线方程为x1，l与圆的两个交点坐标为

1,3和1,3，其距离为23 满足题意 ……… 1分

②若直线l不垂直于x轴，设其方程为y2kx1，即kxyk20 设圆心到此直线的距离为d，则2324d，得d1 …………3分 ∴

21|k2|k12，

k34，故所求直线方程为

3xy45

综上所述，所求直线为3x4y50或x1 …………5分 （Ⅱ）设点M的坐标为x0,y0（y00），Q点坐标为x,y

则N点坐标是0,y0 …7分 ∵OQOMON，

∴x,yx0,2y0 即x0x，

20202y0y …………9分 2y2x2y24(y0) ∴Q点的轨迹方程是1(y0) 10分 ∵xy4，∴x441616

15. (1)将(0,4)代入椭圆C的方程得2＝1，∴b＝4. …… 2分

b

22

c3a－b9169

又e＝＝得2＝，即1－2＝，∴a＝5，…… 5分

a5a25a25

22xy

∴C的方程为＋＝1. …… 6分

2516

44

(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，…… 7分

55

4

设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，

5

22

xx－3得＋＝1 …… 8分 2525

3－413＋41

，即x2－3x－8＝0. …… 10分 解得x1＝，x2＝，

22

x1＋x23y1＋y226

∴AB的中点坐标x＝＝，y＝＝(x1＋x2－6)＝－.

22255

36

，－. …… 12分 即中点为52

16.解：（1）取CE中点P，连结FP、BP， ∵F为CD的中点， ∴FP∥DE，且FP=又AB∥DE，且AB=分

又∵AF平面BCE，BP ∴AF∥平面BCE …………4分

（2）∵AF3CD2，所以△ACD为正三角形，∴AF⊥CD …………5分 ∵AB⊥平面ACD，DE//AB ∴DE⊥平面ACD 又AF平面ACD ∴DE⊥AF 又AF⊥CD，CD∩DE=D ∴AF⊥平面CDE …………7分 又BP∥AF ∴BP⊥平面CDE

又∵BP平面BCE ∴平面BCE⊥平面CDE ………9分 (3)此多面体是一个以C为定点，以四边形ABED为底边的四棱锥，

1DE. 21且AB=FP，∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP．…2DE. ∴AB∥FP，

2SABED(12)23，………10分 2面ABDE面ADC等边三角形AD边上的高就是四棱锥的高………12分

1VCABDE333 …………13分

312)………3分 19.解： (1)由题意知B（43，抛物线C方程是x4y………5分

（2）设圆的圆心为M(a,b)，∵圆M过D(0,2)，

∴圆的方程为 (xa)(yb)a(b2) ……………………………7分 令y0得：x2ax4b40 设圆与x轴的两交点分别为(x1,0)，(x2,0)

M222222yx2=4y方法1：不妨设x1x2，由求根公式得

EAxGo2a4a216b162a4a216b16x1，x2………9分

22∴x1x24a216b16 又∵点M(a,b)在抛物线x4y上，∴a4b，………10分 ∴ x1x2164，即EG＝4---------------------------------13分

∴当M运动时，弦长EG为定值4…………………………………………………14分 〔方法2：∵x1x22a，x1x24b4 ∴

22(x1x2)2(x1x2)24x1x2(2a)24(4b4)4a216b16

222 又∵点M(a,b)在抛物线x4y上，∴a4b， ∴ (x1x2)16 x1x24

∴当M运动时，弦长EG为定值4〕 20.证明：①必要性：

a1=S1=p+q. …………1分

－

当n≥2时，an=Sn－Sn－1=pn1(p－1)

pn(p1)∵p≠0,p≠1,∴n1=p…………3分

p(p1)若{an}为等比数列，则

a2an1p(p1)=p ∴=p, …………5分 pqa1an∵p≠0，∴p－1=p+q，∴q=－1…………6分

②充分性

当q=－1时，∴Sn=pn－1(p≠0,p≠1)，a1=S1=p－1…………7分

－－

当n≥2时，an=Sn－Sn－1=pn－pn1=pn1(p－1)

－

∴an=(p－1)pn1 (p≠0,p≠1) …………9分

an(p1)pn1=p为常数…………11分 an1(p1)pn2∴q=－1时，数列{an}为等比数列.即数列{an}是等比数列的充要条件为q=－1. …12分 21.解：（1）设动圆圆心为M(x，y)，半径为R．

由题意，得MO1R1，MO23R， ∴MO1MO24． …………3分 由椭圆定义知M在以O1，O2为焦点的椭圆上，且a2，c1，

∴b2a2c2413．

y A1 O2O1 O1x x2y21． ……6分 ∴动圆圆心M的轨迹L的方程为43(2) 设A(x1,y1)、B(x2,y2)(y10,y20),

B 则S△ABO211O1O2y1O1O2y2y1y2, ……8分 22xmy1由x2y2,得(3m24)y26my90,

1343m6m213m6m21解得y1,y2, …………10分 223m43m4∴S△ABO2有S△ABO212m21222tm1,令,则,且t1mt1, 23m412t12t121,令f(t)3t, 22t3(t1)43t13t1t1113t1(t2t1)(3)0 t2t1t1t2123, 4设1t1t2,f(t2)f(t1)3t2f(t2)f(t1) f(t)在[1,)上单调递增,有f(t)f(1)4,S△ABO2此时t1,m0 ∴存在直线l:x1,ABO2的面积最大值为3. …………14分