2020年安徽省中考数学模拟试卷（11）
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1．（4分）|a|＝1，|b|＝4，且ab＜0，则a+b的值为（ ） A．3
B．﹣3
C．±3
D．±5
2．（4分）下列运算中，正确的是（ ） A．（﹣a2）4＝a6 C．4a•a＝4a
2
5
10
B．4a2+3a2＝12a2
𝑏𝑏
D．(−)3=−3
2𝑎8𝑎3
3．（4分）如图所示几何体的左视图正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）一元二次方程x2﹣3x+5＝0的根的情况是（ ） A．没有实数根 C．只有一个实数根
B．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
5．（4分）随着电子技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占有面积0.00000065mm2，0.00000065用科学记数法表示为（ ） A．6.5×107
B．6.5×106
﹣
C．6.5×108
﹣D．6.5×107
﹣
6．（4分）已知，在△ABC中，BC＞AB＞AC，根据图中的作图痕迹及作法，下列结论一定成立的是（ ）
A．AP⊥BC
B．∠APC＝2∠ABC C．AP＝CP
第1页（共23页）
D．BP＝CP
7．（4分）甲车队有汽车100辆，乙车队有汽车68辆，根据情况需要甲车队的汽车是乙车
队的汽车的两倍，则需要从乙队调x辆汽车到甲队，由此可列方程为（ ） A．100﹣x＝2（68+x） C．100+x＝2（68﹣x）
B．2（100﹣x）＝68+x D．2（100+x）＝68﹣x
8．（4分）如图，将Rt△ABC平移到△A′B′C′的位置，其中∠C＝90°，使得点C′与△ABC的内心重合，已知AC＝4，BC＝3，则阴影部分的周长为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
9．（4分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝﹣bx+a的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．（4分）定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角A的正对记作sadA，即sadA＝底边：腰．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝2∠B．则sinB•sadA＝（ ）
A．
21
B．1 C．√2 D．2
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 11．（5分）分解因式：（x2﹣2x）2﹣（2x﹣x2）＝ ． 12．（5分）函数𝑦=𝑥−1中自变量x的取值范围是 ．
第2页（共23页）
√1+2𝑥
13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与双曲线y=（k＞0，x＞0）交于点A．过点A作AC⊥x轴于点C，过双曲线上另一点B作BD⊥x轴于点D，作BE⊥AC于点E，连接AB．若OD＝3OC，则tan∠ABE＝ ．
14．（5分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝25°，O为AB的中点．将OA绕点O逆时针旋转θ°至OP（0＜θ＜180），当△BCP恰为轴对称图形时，θ的值为 ．
𝑘
𝑥
三．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分） 15．（8分）计算：√27−（﹣2）0+|1−√3|+2cos30°．
16．（8分）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的顶点均在格点上．
（1）画出与△ABC关于直线MN成轴对称的△A1B1C1； （2）画出将△ABC绕点O逆时针旋转90°所得的△A2B2C2； （3）△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称吗？若成轴对称，请画出对称轴．
四．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）
17．（8分）如图，直线l1：y1＝2x+2与直线l2：y2＝mx+8相交于点P（2，b）． （1）求b，m的值；
（2）直接写出当y1＜y2时，自变量x的取值范围．
第3页（共23页）
18．（8分）小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB，高为74米，为测量居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为37°，大厦底部B的俯角为48°．
（1）求∠ACB的度数；
（2）求小明家所在居民楼与大厦之间的距离．
（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin48°≈≈10）
11
3
5453477
，cos48°≈，tan48°1011
五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）
19．（10分）如图，AB是⊙O的直径，半径OD与弦AC垂直，若∠A＝∠D，求∠1的度数．
20．（10分）为了贯彻“减负增效”精神，掌握九年级600名学生每天的自主学习情况，某校学生会随机抽查了九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间．根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图（图1，图2），请根据统计图中的信息回答下列问题：
第4页（共23页）
（1）本次调查的学生人数是 人；
（2）图2中α是 度，并将图1条形统计图补充完整；
（3）请估算该校九年级学生自主学习时间不少于1.5小时有 人；
（4）老师想从学习效果较好的4位同学（分别记为A、B、C、D，其中A为小亮）随机选择两位进行学习经验交流，用列表法或树状图的方法求出选中小亮A的概率．
六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
21．（12分）某商店出售一种商品，其原价为m元，现有如下调价方案，通过列式子计算答题：
（1）一种是先提价10%，在此基础上又降价10%；另一种是先降价10%，在此基础上又提价10%．用这两种方案调价的结果是否一样？调价后的结果是不是都恢复了原价？ （2）甲先在原价的基础上提价10%，在此基础上又提价10%；乙在原价的基础上提价20%，两人调价后的结果是否一样？谁的高？
（3）丙先在原价的基础上降价10%，在此基础上又降价10%；丁在原价的基础上降价20%，两人调价后的结果谁的高？为什么？
（4）在原价的基础上提价a%可得算式为 ，在此基础上又提价a%得算式为 ，再提价a%可得算式为 ．按此规律，若提价n次，则调价后的结果是 ．
七．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
22．（12分）某商场分两次购进纪念卡进行销售，若第一次购进纪念卡的单价比第二次购进纪念卡的单价少2元，两次购货分别用了80元和100元，且第一次购进纪念卡的数量与第二次购进纪念卡的数量相同．该商场对该种纪念卡进行试销，规定试销期间销售单价不低于平均成本单价，且获利不得高于60%，经试销发现销量y（件）与销售单价x（元）
第5页（共23页）
符合一次函数y＝﹣x+21．
（1）求两次分别购进纪念卡的单价分别为多少？平均成本单价是多少？
（2）若该商场获得利润为w元，写出利润w与销售单价x元之间的关系式，销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润？最大利润为多少元？ 八．解答题（共1小题，满分14分，每小题14分） 23．（14分）问题探究：
（1）如图①，△ABC为等腰三角形，AB＝AC＝a，∠BAC＝120°，则△ABC的面积为 （用含a的代数式表示）
（2）如图②，△AOD与△BOC为两个等腰直角三角形，两个直角顶点O重合，OA＝OB＝OC＝OD＝a．若△AOD与△BOC不重合，连接AB，CD，求四边形ABCD面积最大值． 问题解决：
如图③，点O为某电视台所在位置，现要在距离电视台5km的地方修建四个电视信号中转站，分别记为A、B、C、D．若要使OB与OC夹角为150°，OA与OD夹角为90°（∠AOD与∠BOC不重合且点O、A、B、C、D在同一平面内），则符合题意的四个中转站所围成的四边形面积有无最大值？如果有，求出最大值，如果没有，请说明理由．
第6页（共23页）
2020年安徽省中考数学模拟试卷（11）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1．（4分）|a|＝1，|b|＝4，且ab＜0，则a+b的值为（ ） A．3
B．﹣3
C．±3
D．±5
【解答】解：∵|a|＝1，|b|＝4， ∴a＝±1，b＝±4， ∵ab＜0，
∴a+b＝1﹣4＝﹣3或a+b＝﹣1+4＝3， 故选：C．
2．（4分）下列运算中，正确的是（ ） A．（﹣a2）4＝a6 C．4a•a＝4a
【解答】解：（A）原式＝a8，故A错误； （B）原式＝7a2，故B错误； （C）原式＝4a7，故C错误； 故选：D．
3．（4分）如图所示几何体的左视图正确的是（ ）
2
5
10
B．4a2+3a2＝12a2
𝑏𝑏
D．(−2𝑎)3=−3
8𝑎3
A． B． C． D．
【解答】解：从几何体的左面看所得到的图形是：
故选：A．
4．（4分）一元二次方程x2﹣3x+5＝0的根的情况是（ ） A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
第7页（共23页）
C．只有一个实数根 【解答】解： ∵x2﹣3x+5＝0，
D．有两个不相等的实数根
∴△＝（﹣3）2﹣4×1×5＝9﹣20＝﹣11＜0， ∴该方程无实数根， 故选：A．
5．（4分）随着电子技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占有面积0.00000065mm2，0.00000065用科学记数法表示为（ ） A．6.5×107
B．6.5×106
﹣﹣
C．6.5×108
﹣D．6.5×107
﹣
【解答】解：0.00000065＝6.5×107． 故选：D．
6．（4分）已知，在△ABC中，BC＞AB＞AC，根据图中的作图痕迹及作法，下列结论一定成立的是（ ）
A．AP⊥BC
B．∠APC＝2∠ABC C．AP＝CP
D．BP＝CP
【解答】解：如图所示：MN是AB的垂直平分线， 则AP＝BP， 故∠PBA＝∠BAP， ∵∠APC＝∠B+∠BAP， ∴∠APC＝2∠ABC． 故选：B．
7．（4分）甲车队有汽车100辆，乙车队有汽车68辆，根据情况需要甲车队的汽车是乙车队的汽车的两倍，则需要从乙队调x辆汽车到甲队，由此可列方程为（ ） A．100﹣x＝2（68+x） C．100+x＝2（68﹣x）
B．2（100﹣x）＝68+x D．2（100+x）＝68﹣x
第8页（共23页）
【解答】解：设需要从乙队调x辆汽车到甲队， 由题意得100+x＝2（68﹣x）， 故选：C．
8．（4分）如图，将Rt△ABC平移到△A′B′C′的位置，其中∠C＝90°，使得点C′与△ABC的内心重合，已知AC＝4，BC＝3，则阴影部分的周长为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【解答】解：连接AC′、BC′，A′C′、B′C′交AB于D、E，如图， 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴AB=√32+42=5，
∵将Rt△ABC平移到△A′B′C′的位置， ∴AC∥A′C′，BC∥B′C′，
∴∠CAC′＝∠DC′A，∠CBC′＝∠BC′E， ∵点C′为△ABC的内心，
∴∠CAC′＝∠DAC′，∠CBC′＝∠EBC′， ∴∠CAC′＝∠DAC′，∠CBC′＝∠EBC′， ∴DC′＝DA，EB＝EC′，
∴阴影部分的周长＝DC′+DE+EC′＝DA+DE+EB＝AB＝5． 故选：A．
9．（4分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝﹣bx+a的图象可能是（ 第9页（共23页）
）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、对于直线y＝﹣bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＜0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，对称轴x=−
𝑏
＞0，在y轴的右侧，符合题意，图形正确． 2𝑎B、对于直线y＝﹣bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．
C、对于直线y＝﹣bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，对称轴=−2𝑎＜0，应位于y轴的左侧，故不合题意，图形错误，
D、对于直线y＝﹣bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＜0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误． 故选：A．
10．（4分）定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角A的正对记作sadA，即sadA＝底边：腰．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝2∠B．则sinB•sadA＝（ ）
𝑏
A．
21
B．1 C．√2 D．2
【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵∠A＝2∠B，
∴∠B＝∠C＝45°，∠A＝90°， ∴BC=√2AC，
第10页（共23页）
∴sin∠B•sadA=故选：B．
𝐴𝐶𝐵𝐶•=1， 𝐵𝐶𝐴𝐶
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）分解因式：（x2﹣2x）2﹣（2x﹣x2）＝ x（x﹣2）（x﹣1）2 ． 【解答】解：（x2﹣2x）2﹣（2x﹣x2）， ＝（x2﹣2x）2+（x2﹣2x）， ＝（x2﹣2x）（x2﹣2x+1）， ＝x（x﹣2）（x﹣1）2 12．（5分）函数𝑦=
√1+2𝑥𝑥−1中自变量x的取值范围是 x≥−且x≠1 ．
1
2【解答】解：由题意得：x﹣1≠0且1+2x≥0， ∴x≥−2且x≠1， 故答案为：x≥−且x≠1．
13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与双曲线y=𝑥（k＞0，x＞0）交于点A．过点A作AC⊥x轴于点C，过双曲线上另一点B作BD⊥x轴于点D，作BE⊥AC于点E，连接AB．若OD＝3OC，则tan∠ABE＝
13𝑘
1
21
．
【解答】解：如图．∵直线y＝x过点A， ∴可设A（a，a），
∵AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，OD＝3OC， ∴B点横坐标为3a．
∵双曲线y=𝑥（k＞0，x＞0）过点A、点B， ∴B点纵坐标为
13
𝑎⋅𝑎3𝑎𝑘
=a，
3
1
∴B（3a，a）．
在直角△ABE中，∵∠AEB＝90°，BE＝3a﹣a＝2a，AE＝a−3a=3a，
2
𝐴𝐸3𝑎1
∴tan∠ABE=𝐵𝐸=2𝑎=3．
12
故答案为．
3
1
第11页（共23页）
14．（5分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝25°，O为AB的中点．将OA绕点O逆时针旋转θ°至OP（0＜θ＜180），当△BCP恰为轴对称图形时，θ的值为 50°或65°或80° ．
【解答】解：∵△BCP恰为轴对称图形， ∴△BCP是等腰三角形， 如图1，连接AP，
∵O为斜边中点，OP＝OA， ∴BO＝OP＝OA， ∴∠APB＝90°， 当BC＝BP时， ∴∠BCP＝∠BPC，
∴∠BCP+∠ACP＝∠BPC+∠APC＝90°， ∴∠ACP＝∠APC， ∴AC＝AP， ∴AB垂直平分PC， ∴∠ABP＝∠ABC＝25°， ∴θ＝2×25°＝50°，
第12页（共23页）
当BC＝PC时，如图2，连接CO并延长交PB于H， ∵BC＝CP，BO＝PO， ∴CH垂直平分PB， ∴∠CHB＝90°， ∵OB＝OC，
∴∠BCH＝∠ABC＝25°， ∴∠CBH＝65°， ∴∠OBH＝40°， ∴θ＝2×40°＝80°， 当PB＝PC时，如图3，
连接PO并延长交BC于G，连接OC， ∵∠ACB＝90°，O为斜边中点， ∴OB＝OC， ∴PG垂直平分BC， ∴∠BGO＝90°， ∵∠ABC＝25°， ∴θ＝∠BOG＝65°，
综上所述：当△BCP恰为轴对称图形时，θ的值为50°或65°或80°， 故答案为：50°或65°或80°．
第13页（共23页）
三．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分） 15．（8分）计算：√27−（﹣2）0+|1−√3|+2cos30°． 【解答】解：原式＝3√3−1+√3−1+2×＝3√3−1+√3−1+√3， ＝5√3−2．
16．（8分）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的顶点均在格点上．
（1）画出与△ABC关于直线MN成轴对称的△A1B1C1； （2）画出将△ABC绕点O逆时针旋转90°所得的△A2B2C2； （3）△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称吗？若成轴对称，请画出对称轴．
√32，
【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示． （2）△A2B2C2如图所示．
第14页（共23页）
（3）成轴对称图，对称轴是直线l或直线l′，如图所示． 四．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）
17．（8分）如图，直线l1：y1＝2x+2与直线l2：y2＝mx+8相交于点P（2，b）． （1）求b，m的值；
（2）直接写出当y1＜y2时，自变量x的取值范围．
【解答】解：（1）∵直线l1：y1＝2x+2与直线l2：y2＝mx+8相交于点P（2，b）． ∴P（2，b）在y1＝2x+2上，即b＝2×2+2＝6， ∴P（2，6）．
∵P（2，6）在y2＝mx+8上， ∴2m+8＝6，m＝﹣1． ∴b＝6，m＝﹣1；
（2）当y1＜y2时，自变量x的取值范围是x＜2．
18．（8分）小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB，高为74米，为测量居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为37°，大厦底部B的俯角为48°．
（1）求∠ACB的度数；
（2）求小明家所在居民楼与大厦之间的距离．
第15页（共23页）
（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin48°≈≈
11） 1035453477
，cos48°≈，tan48°1011
【解答】解：（1）由图知∠ACB＝37°+48°＝85°；
（2）设CD＝x米． 在Rt△ACD中，tan37°=则=
43
𝐴𝐷𝑥3
𝐴𝐷
， 𝐶𝐷，
∴AD=4x； 在Rt△BCD中， tan48°=
11𝐵𝐷𝐵𝐷
，则=， 𝐶𝐷10𝑥
∴BD=10x． ∵AD+BD＝AB， ∴x+10x＝74，
4解得：x＝40，
答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度是40米． 五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）
19．（10分）如图，AB是⊙O的直径，半径OD与弦AC垂直，若∠A＝∠D，求∠1的度数．
3
11
11
第16页（共23页）
【解答】解：∵半径OD与弦AC垂直， ̂=𝐶𝐷̂， ∴𝐴𝐷
∴∠1＝∠ABD，
∵半径OD与弦AC垂直， ∴∠ACB＝90°， ∴OD∥BC， ∴∠1＝∠D， ∵∠A＝∠D， ∴∠A＝∠1＝∠ABD， ∵∠A+∠ABC＝90°， ∴3∠1＝90°， ∴∠1＝30°．
20．（10分）为了贯彻“减负增效”精神，掌握九年级600名学生每天的自主学习情况，某校学生会随机抽查了九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间．根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图（图1，图2），请根据统计图中的信息回答下列问题： （1）本次调查的学生人数是 40 人；
（2）图2中α是 54 度，并将图1条形统计图补充完整；
（3）请估算该校九年级学生自主学习时间不少于1.5小时有 330 人；
（4）老师想从学习效果较好的4位同学（分别记为A、B、C、D，其中A为小亮）随机选择两位进行学习经验交流，用列表法或树状图的方法求出选中小亮A的概率．
第17页（共23页）
【解答】解：（1）∵自主学习的时间是1小时的有12人，占30%， ∴12÷30%＝40，
故答案为：40； …（2分） （2）
640
×360°＝54°，
故答案为：54； 40×35%＝14； 补充图形如图： 故答案为：54；
（3）600×40=330； …（2分） 故答案为：330；
（4）画树状图得：
14+8
∵共有12种等可能的结果，选中小亮A的有6种， ∴P（A）=12=2．…（2分）
6
1
第18页（共23页）
六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
21．（12分）某商店出售一种商品，其原价为m元，现有如下调价方案，通过列式子计算答题：
（1）一种是先提价10%，在此基础上又降价10%；另一种是先降价10%，在此基础上又提价10%．用这两种方案调价的结果是否一样？调价后的结果是不是都恢复了原价？ （2）甲先在原价的基础上提价10%，在此基础上又提价10%；乙在原价的基础上提价20%，两人调价后的结果是否一样？谁的高？
（3）丙先在原价的基础上降价10%，在此基础上又降价10%；丁在原价的基础上降价20%，两人调价后的结果谁的高？为什么？
（4）在原价的基础上提价a%可得算式为 （1+a%）m ，在此基础上又提价a%得算
2
式为 （1+a%）m ，再提价a%可得算式为 （1+a%）3m ．按此规律，若提价n次，
则调价后的结果是 （1+a%）nm ．
【解答】解：（1）方案一：先提价10%为：（1+10%）m＝110%m， 再降价10%后价钱为：110%m×（1﹣10%）＝99%m； 方案二：先降价10%为（1﹣10%）m＝90%m， 再提价10%后价钱为90%m×（1+10%）＝99%m， 不是恢复原价；
（2）甲：先提价10%为110m%，在此基础上又提价10%为121m%； 乙：在原价的基础上提价20%，为120m%， 所以甲高；
（3）丙：先降价10%为90m%，再降价10%后价钱为81m%； 丁：在原价的基础上降价20%为80m%，
第19页（共23页）
所以丙高；
（4）在原价的基础上提价a%可得算式为（1+a%）m，在此基础上又提价a%得算式为（1+a%）2m，再提价a%可得算式为（1+a%）3m．按此规律，若提价n次，则调价后的结果是（1+a%）nm，
故答案为：（1+a%）m；（1+a%）2m；（1+a%）3m；（1+a%）nm． 七．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
22．（12分）某商场分两次购进纪念卡进行销售，若第一次购进纪念卡的单价比第二次购进纪念卡的单价少2元，两次购货分别用了80元和100元，且第一次购进纪念卡的数量与第二次购进纪念卡的数量相同．该商场对该种纪念卡进行试销，规定试销期间销售单价不低于平均成本单价，且获利不得高于60%，经试销发现销量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y＝﹣x+21．
（1）求两次分别购进纪念卡的单价分别为多少？平均成本单价是多少？
（2）若该商场获得利润为w元，写出利润w与销售单价x元之间的关系式，销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润？最大利润为多少元？
【解答】解：（1）设第二次购进纪念卡的单价为a元，则第一次购进纪念卡的单价为（a﹣2）元． 根据题意，得
80𝑎−2
=
100𝑎
，
解得a＝10，
经检验：a＝10是分式方程的解． ∴a﹣2＝8． （10+8）÷2＝9．
答：两次分别购进纪念卡的单价分别为8元和10元．平均成本单价是9元． （2）根据题意，得 w＝（x﹣9）（﹣x+21） ＝﹣x2+30x﹣189 ＝﹣（x﹣15）2+36
根据函数的顶点式可知，当x＝15时，取得最大值， 但由于9≤x≤9（1+60%），即9≤x≤14.4＜15，
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所以当x＝14.4时，商城可获得最大利润，最大利润为 w＝﹣（14.4﹣15）2+36＝35.64．
答：利润w与销售单价x元之间的关系式为w＝﹣x2+30x﹣189， 销售单价定为14.4元时，商场可获得最大利润，最大利润为35.64元． 八．解答题（共1小题，满分14分，每小题14分） 23．（14分）问题探究：
（1）如图①，△ABC为等腰三角形，AB＝AC＝a，∠BAC＝120°，则△ABC的面积为
√32
𝑎 （用含a的代数式表示） 4（2）如图②，△AOD与△BOC为两个等腰直角三角形，两个直角顶点O重合，OA＝OB＝OC＝OD＝a．若△AOD与△BOC不重合，连接AB，CD，求四边形ABCD面积最大值． 问题解决：
如图③，点O为某电视台所在位置，现要在距离电视台5km的地方修建四个电视信号中转站，分别记为A、B、C、D．若要使OB与OC夹角为150°，OA与OD夹角为90°（∠AOD与∠BOC不重合且点O、A、B、C、D在同一平面内），则符合题意的四个中转站所围成的四边形面积有无最大值？如果有，求出最大值，如果没有，请说明理由．
【解答】解：问题探究：
（1）如图①，过A作AD⊥BC于D，则 Rt△ABD中，AD=2AB=2a，BD=2a， ∴BC=√3a，
∴△ABC的面积=2BC×AD=2×√3a×2a=4𝑎2， 故答案为：
√32
𝑎； 4
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11√3111√3
（2）如图②，过点C作CE⊥OD于E，则CE≤CO， 当点E与点O重合时，CE＝CO＝a，
此时∠COD＝90°，即△COD是等腰直角三角形， ∴∠AOB＝360°﹣3×90°＝90°， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴四边形ABCD是正方形， ∵OA＝OB＝OC＝OD＝a， ∴AB＝BC＝CD＝AD=√2a，
∴四边形ABCD面积最大值为：（√2a）2＝2a2；
问题解决：四边形ABCD面积有最大值．
如图所示，将△COD绕着点O按顺时针方向旋转150°，得到△BOE， ∵OB与OC夹角为150°，OA与OD夹角为90°， ∴∠AOB+∠COD＝120°， ∴∠AOB+∠BOE＝120°， 即∠AOE＝120°，
过A作AG⊥OB于G，过E作EF⊥OB于F，连接AE交OB于H，则AG≤AH，EF≤EH，
∴当点G、点F、点H重合时，AG+EF＝AE（最大），而OB长不变，故此时四边形ABEO的面积最大，且OB⊥AE， 又∵OA＝OE，
∴等腰三角形AOE中，OH平分∠AOE， ∴∠AOB＝60°，∠COD＝60°， 又∵OA＝OB＝OC＝OD＝5， ∴△AOB和△COD都是等边三角形，
∵△AOB和△COD的面积都为：×5×2√3=4√3，
2△AOD的面积为：×5×5=2，
2
1
25
1
5
25
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△BOC的面积为：×5×
2
1
525=， 2425
25
25
25
75
∴四边形ABCD的面积=4√3×2+2+4=2√3+4．
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