山东省淄博市2020-2021学年高一上学期期末数学试题及答案

参照秘密级管理★启用前

普通高中高一期未质量检测

数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．

2．回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合Ax3x,13B{3,2,1,0,1,2}，则CRAB（ ）

A．{3,2} B．{3,2,1} C．{0,1,2} D．{1,0,1,2} 2．已知扇形的周长为8，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的面积为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8

3．下列函数是偶函数且在(0,)上单调递增的是（ ）

12xA．f(x)x B．f(x)3 C．f(x)log2|x| D．f(x)1 x44．用二分法求方程log2xx2的近似解时，可以取的一个区间是（ ） A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)

12135．已知a2,b3,cln5，则（ ） 2A．bca B．acb C．bac D．abc 6．函数f(x)x的图像大致是（ ） 1x2

A． B． C． D．

7．已知实数x3，则4x9的最小值是（ ） x3A．24 B．12 C．6 D．3

8．我们知道：yf(x)的图像关于原点成中心对称图形的充要条件是yf(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：yf(x)的图像关于(a,b)成中心对称图形的充要条件是yf(xa)b为奇函数．若

f(x)x33x2的对称中心为(m,n)，则

f(2019)f(2017)f(2015)（ ）

f(3)f(1)f(3)f(5)f(2017)f(2019)f(2021)A．8080 B．4040 C．2020 D．1010

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9．下列命题是真命题的有（ ） A．lg2lg13lg53 4xxB．命题“x0,21”的否定为“x0,21”

C．“”是“sinsin”成立的充分不必要条件

D．若幂函数f(x)x(R)经过点,2，则3

1810．若角为钝角，且sincos，则下列选项中正确的有（ ）

15A．sin44412 B．cos C．tan D．sincos 55325

11．设ab0,c0，则下列不等式成立的是（ ）

aac11c2c2 C． A．acbc B． D．ab abbbcab12．三元均值不等式：“当a,b,c均为正实数时，

abc3abc，即三个正数的算术平均数不小于它们3的几何平均数，当且仅当abc时等号成立．”利用上面结论，判断下列不等式成立的有（ ） A．若x0，则x2213 B．若0x1，则x2(1x) x91123x(1x) D．若，则 0x1x29C．若x0，则2x三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．函数f(x)121x2的值域为___________．

x23x,x0,14．已知函数f(x)若f(a)4，则实数a___________；

log2x,x0,15．若sin125_________（第一空2分，第，则sin___________，cos6353二空3分）；

16．已知函数f(x)2ax(a0),g(x)x4x1．若对任意x1[1,2]，总存在x2[1,2]，使得fx1gx2，则实数a的取值范围是__________．

x22四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知角终边上一点P(1,2)．

（1）求

sin2cos的值；

sincos119sin的值． 22（2）求cos18．（12分）已知集合A{x∣(xa)(x1)0}(aR),（1）当a1时，求AB；

Bx∣1log2x1．

（2）是否存在实数a，使得________成立？ 请在①ABB，②AB，③BRA这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中；若问题

中的实数a存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由． 19．（12分）已知函数g(x)asin2x3，最小值为0．

（1）求函数g(x)的解析式；

（2）求出g(x)在(0,)上的单调递增区间．

20．（12分）某乡镇为打造成“生态农业特色乡镇”，决定种植某种水果，该水果单株产量M(x)（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：

b(a0,bR)0,上的最大值为g(x)．若函数在区间625x23,0x2M(x)50x5，单株成本投入（含施肥、人工等）为30x元．已知这种水果的市场售价

,2x51x3为15元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为f(x)（单位：元）． （1）求f(x)的函数关系式；

（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 21．（12分）已知一元二次函数f(x)axx1(a0)． （1）若0a1，证明函数f(x)在区间,上单调递减；

221（2）若函数f(x)在区间[1,4]上的最小值为2，求实数a的值．

22．（12分）函数f(x)的定义域为D，若x0D，满足fx0x0，则称x0为f(x)的不动点． 已知函数f(x)33x,0x1,g(x)f(f(x))．

log3x,1x3（1）试判断g(x)不动点的个数，并给予证明；

（2）若“x0,2,g(x)1log3(1x)log3(xk)”是真命题，求实数k的取值范围． 3

普通高中高一期未质量检测数学参考答案

一、单项选择题

1．D；2．B；3．C；4．B；5．C；6．A；7．A；8．B；

二、多项选择题：

9．AC；10．BD；11．AD；12．AC；

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．,；14．1或16；15．,121511；16．0,． 52四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．解：（1）因为终边上一点P(1,2)，所以tany2， 2分 x且

sin2costan24． 5分

sincostan1（2）已知角终边上一点P(1,2)，则r|OP|12225， 6分 所以siny225， 7分 r55cosx15， 8分 r555119． 10分 cossinsincos225∣(x1)(x1)0}(,1)(1,)， 18．解：（1）若a1，则A{x解不等式1log2x1，得

11x2,B,2， 22所以AB(1,2]； 4分

（2）显然B1,2， 2若选①ABB，则BA，

当a1时，集合A(,1)(a,)，

要使BA，则需a12，所以1a12； 7分 当a1时，集合A(,a)(1,)，此时BA 10分

所以若选①，则实数a的取值范围为a12； 12分 若选②AB，

当a1时，集合A(,1)(a,)，

要使AB，则需a2，所以a2； 7分 当a1时，集合A(,a)(1,)，此时BA,ABB 所以若选②，则实数a的取值范围为a2； 12分 若选③BRA,B12,2，

当a1时，集合A(,1)(a,),CRA[1,a]，

要使BRA，则需a2，所以a2； 6分

当a1时，集合A(,1)(1,)，此时CRA{1}，不满足题意； 当a1时，集合A(,a)(1,)，此时CRA[a,1],BRA所以若选③，则实数a的取值范围为a2； 12分 19．解：（1）由题意知，若x0,2，则62x676， 所以sin2x162,1， 2分 ab3又因为a0，所以a12ab0，得2； 4分

b1所以g(x)2sin2x61； 6分 （2）因为x(0,)，所以

1362x66， 8分

分

8分 10分

10

正弦函数ysinx在区间13,66313上的单调递增区间为,和,， 10分 6226此时即

62x62或

3132x， 266得0x6或

2x， 32和, 12分 63所以g(x)在(0,)上的递增区间为0,另解：当2k22x62k2,kZ，

得到k3xk6,kZ 7分

当k0时，3x6； 8分

当k1时，

27x， 9分 362和, 12分 63所以g(x)在(0,)上的递增区间为0,20．解：（1）由题意得：f(x)15M(x)30x，

155x2330x,0x275x230x225,0x2f(x)（每段解析式正确2分） 4分 750x50x30x25,2x530x25,2x5151x1x75x230x225,0x2,（2）由（1）中f(x)750x

30x25,2x5.1x2175x222,0x2,5得f(x) 6分

8053025(1x),2x5.1x（i）当0x2时，f(x)maxf(2)465； 8分

（ii）当2x5时，f(x)805302525(1x)805302(1x)505 11分 1x1x当且仅当

251x1x时，即x4时等号成立． 因为465505，所以当x4时，f(x)max505，

所以当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是505元 12分 21．解：（1）设x11x22， 则fx1fx2ax21x11ax22x21x1x2ax1x21， 因为x1x2，得x1x20； 因为x112,x122，得x1x21， 且0a1，得ax1x2a1，即ax1x210； 所以fx1fx20成立，即fx1fx2； 函数f(x)在区间,12上单调递减； 6分

（2）当a0时，二次函数的对称轴为x112a，且

2a0， 函数f(x)ax2x1在区间[1,4]上单调递减， 此时f(x)minf(4)16a32，得a116，不符合题意； 7分 当0a118时，二次函数的对称轴为x12a，且

2a4， 函数f(x)ax2x1在区间[1,4]上单调递减， 此时f(x)minf(4)16a32，得a116，符合题意； 8分 3分

当

18a12时，二次函数的对称轴为x112a，且12a4， 函数f(x)ax2x1的最小值为f(x)4a1min4a2， 得a112，不符合题意； 9分 当a12时，二次函数的对称轴为x12a，且012a1， 函数在区间[1,4]上单调递增，

f(x)minf(1)a2，不符合题意； 10分

所以当函数f(x)在区间[1,4]上的最小值为2时，实数a116． 另解：若函数f(x)在区间[1,4]上的最小值为2，

即不等式ax2x12在区间[1,4]上恰好成立（能取到等号），

2等价于不等式a31x1x在区间[1,4]上恰好成立， 8分

构造函数g(t)3t2tt11x4,1

不等式成立只需要a等于函数g(t)3t2t在区间1,14上的最大值；显然函数g(t)3t2t在区间1,11上的最大值为g41416， 所以实数a116． 12分 22．解：（1）g(x)f(f(x))， 若0x23，则133x3，所以g(x)log3(33x)， g(x)xlog3(33x)x1log3(1x)x，

12分 10分

因为函数h(x)xlog3(1x)1在0,是单调递增的，

23123111h(0)10,hlog311log321log30，

23222所以h(x)在0,内存在唯一零点； 2分

23若

2x1，则033x1，所以g(x)33(33x)9x6， 33； 3分 4g(x)x9x6x，解得x若1x3，则0log3x1，所以g(x)33log3x，

g(x)x33log3xx；(x)x3log3x3在(1,3]是单调递增的，

(3)30,3log3log3640，

3333所以(x)x3log3x3在(1,3]内有唯一零点； 5分 综上所述，g(x)有3个不动点． 6分

44514（2）由（1）可知，当x0,2,g(x)f(f(x))log3(33x)， 3若“x0,2,g(x)1log3(1x)log3(xk)”是真命题 32，使不等式g(x)1log3(1x)log3(xk)成立 323log31xlog3(kx)成立， 1x就是x0,等价于x0,,1xkx2即x0,，不等式组1x成立，

3xk0(1x)2k(1x)20， xk0

kk28kk281x1解得， 8分 22xk因为x0,22k，保证，所以 xk033kk282kk280， 因为k122kk28k2k281(k)0，

22kk28所以kx1 10分

2kk281022所以，解得：k1．

3k23所以实数k的取值范围是2,1 12分 32,g(x)f(f(x))log3(33x)， 3解法2：由（1）可知，当x0,若“x0,2,g(x)1log3(1x)log3(xk)”是真命题 32，使不等式g(x)1log3(1x)log3(xk)成立 323log31xlog3(kx)成立， 1x就是x0,等价于x0,,等价于x0,1x2kx成立， ，使1x3且xk0也成立 8分

1x22kx(1x)k，设y(1x)， 1x1x1x

1x2x0,，使kx成立

1x3只要ymaxk即可，函数y22(1x)在0,上单调递减， 1x3所以ymax1，所以1k， 10分

22x0,，使xk0在区间0,成立，

33只需要(xk)max0即可，即k220k 33所以实数k的取值范围是2,1 12分 32,g(x)f(f(x))log3(33x) 3解法3：由（1）可知，当x0,若“x0,2,g(x)1log3(1x)log3(xk)”是真命题 32，使不等式g(x)1log3(1x)log3(xk)成立 323log31xlog3(kx)成立， 1x就是x0,等价于x0,,它的否定是：x0,或x0,1x2,loglog3(kx)恒成立， 31x32（原不等式不存在）注意：命题否定的意义 ,xk0，．．．．．．．

3即log31x2log3(kx)在0,上恒成立， 1x323或者xk0在0,上恒成立， 8分

若log31x2log3(kx)在0,上恒成立 1x3

2(1x)k22(1x)， 则1x在0,上恒成立，设y1x3xk0只需要ymaxk且(xk)min0即可， 所以k1， 10分

若xk0在0,上恒成立，则k232， 3所以，k1或k2， 11分 3所以当2k1时， 32，使不等式g(x)1log3(1x)log3(xk)成立 32,1 12分 3所以x0,实数k的取值范围是