小升初几何图形部分(教师版)

时间：15分钟 满分5分 姓名_________ 测试成绩_________

1 （05年101中学考题）

求下图中阴影部分的面积：

2 （06年清华附中考题）

从一个长为8厘米，宽为7厘米，高为6厘米的长方体中截下一个最大的正方体，剩下的几何体的表面积

是_________平方厘米.

3 （06年三帆中学考试题）

有一个棱长为1米的立方体，沿长、宽、高分别切二刀、三刀、四刀后，成为60个小长方体(见左下图).这60个小长方体的表面积总和是______平方米.

4 （06年西城八中考题）

右上图中每个小圆的半径是1厘米，阴影部分的周长是_______厘米.（＝3.14）

5 (05年首师附中考题)

一千个体积为1立方厘米的小正方体合在一起成为一个边长为10厘米的大正方体，大正方体表面涂油漆后再分开为原来的小正方体，这些小正方体至少有一面被油漆涂过的数目是多少个？ 【附答案】

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1 【解】如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。

所以阴影面积：π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。

2 【解】最大正方体的边长为6，这样剩下表面积就是少了两个面积为6×6的，所以现在的面积为(8

×7+8×6+7×6) ×2-6×6×2=220.

3 【解】原正方体表面积：1×1×6＝6（平方米），一共切了2＋3＋4＝9（次），每切一次增加2个面：2平方米。所以表面积： 6＋2×9＝24（平方米）．

4 【解】可见大圆的半径是小圆的3倍，所以半径为3，那么阴影部分的周长就等于7的小圆的周长加

上1个大圆的周长，即7××2+×6=20。

5 【解】：共有10×10×10＝1000个小正方体，其中没有涂色的为(10－2)×(10－2)×(10－2)＝512个，所以至少有一面被油漆漆过的小正方体为1000－512＝488个。

第二讲 小升初专项训练 几何篇（二

1 与圆和扇形有关的题型

【例1】（★★）如下图，等腰直角三角形ABC的腰为10厘米；以A为圆心，EF为圆弧，组成扇形AEF；阴影部分甲与乙的面积相等。求扇形所在的圆面积。

【解】：等腰三角形的角为45度，则扇形所在圆的面积为扇形面积的8倍。而扇形面积为等腰三角形面积：

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S＝1/2

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×10×10＝50。则：圆的面积为400。

【例2】（★★★）草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊（见左下图）。问：这只羊能够活动的范围有多大？

【解】：（此题十分经典）如右上图所示，羊活动的范围可以分为A，B，C三部分，

所以羊活动的范围是

【例3】（★★）在右图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4，求两个阴影部分的面积差。

【解】：我们只要看清楚阴影部分如何构成则不难求解。左边的阴影是大扇形减去小扇形，再扣除一个长方形中的不规则白色部分，而右边的阴影是长方形扣除这块不规则白色部分，那么它们的差应为大扇形减去小扇形，再减去长方形。则为：π/4×4×4－π/4×2×2－4×2＝3×3.14－8＝1.42。

【例4】（★★★）如图，ABCD是正方形，且FA=AD=DE=1，求阴影部分的面积。（取π＝3）

【解】：先看总的面积为1/4的圆，加上一个正方形，加上一个等腰直角三角形，然后扣除一个等腰直角三角形，一个1/4圆，一个45度的扇形。那么最终效果等于一个正方形扣除一个45度的扇形。为1×1－1/8×3×1＝5/8

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【例5】（★★★）如下图，AB与CD是两条垂直的直径，圆O的半径为15厘米，

【解】：225平方厘米

＝225（平方厘米）

与立体几何有关的题型

小学阶段，我们除了学习平面图形外，还认识了一些简单的立体图形，如长方体、正方体（立方体）、直圆柱体，直圆锥体、球体等，并且知道了它们的体积、表面积的计算公式，归纳如下。见下图。

在数学竞赛中，有许多几何趣题，解答这些趣题的关键在于精巧的构思和恰当的设计，把形象思维和抽象思维结合起来。

2 求不规则立体图形的表面积与体积

【例6】（★★）用棱长是1厘米的正方块拼成如下图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米？

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【解】： [方法一]：

[思 路]：整体看待面积问题。

解：不管叠多高，上下两面的表面积总是3×3；再看上下左右四个面，都是2×3+1， 所以，总计9×2+7×4=18+28=46。 [方法二]：

[思 路]：所有正方体表面积减去粘合的表面积

解：从图中我们可以发现，总共有14个正方体，这样我们知道总共的表面积是：6×14=64，但总共粘合了18个面，这样就减少了18×1=18，所以剩下的表面积是64-18=46。

[方法三]：直接数数。

[思 路]：通过图形，我们可以直接数出总共有46个面，每个面面积为1，这样总共的表面积就是46。

【例7】（★★★）在边长为4厘米的正方体木块的每个面中心打一个边与正方体的边平行的洞．洞口是边长为1厘米的正方形，洞深1厘米（如下图）． 求挖洞后木块的表面积和体积．

【解】：提示：大正方体的边长为4厘米，挖去的小正方体边长为1厘米，说明大正方体木块没被挖通，因此，每挖去一个小正方体木块，大正方体的表面积增加“小洞内”的4个侧面积。 6个小洞内新增加面积的总和： 1×1×4×6＝24（平方厘米），

原正方体表面积：4×6＝96（平方厘米），挖洞后木块表面积：96＋24＝120（平方厘米），体积：4－3

1×6＝58（立方厘米）．

答：挖洞后的表面积是120平方厘米，体积是58立方厘米．

【例8】（★★★）如图是一个边长为2厘米的正方体。在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方体小洞；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为1/2厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，边长为1/4厘米。那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？

2

3

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【解】： [方法一]：

[思 路]：立体图形的好处就是可以直观视觉，虽然图形被挖去，但6个面看过去是都还是面积不变的，

特别是从上往下看是，3个正方形的下底面正好和剩下的面积等于原来的面积，这样就只增加了3个小正方体的各自侧面。

解：原正方体的表面积是2×2×6=24平方厘米，增加的面积1×4+(共面积为24+1×4+(

1111×)×4+(×)×4，所以总224411111×)×4+(×)×4=29 22444[方法二]：

[思 路]：原正方体的表面积是2×2×6=24平方厘米，在顶部挖掉一个边长为1厘米的正方体小洞后，原大正方体的顶部表面被掉了一个1×1的小正方形，但是内部增加了5个1×1的面，所以总共增加了4个1×1的面，即正方形小洞的4个侧面-同样，再往下挖掉一个边长为又增加4个

1的正方体后，大正方体的表面积2111×的小正方形的面积.最后挖掉一个边长为厘米的正方体后，大正方体的表面积又增加22411了4个×的小正方体的面积.所以最终大正方体的表面积

4411111=24+1×4+(×)×4+(×)×4=29

22444[总 结]：立体图形中一定要学会想象，特别是这种面积分开时，我们仍可以看成相连的，这就要求学生

必须学会如何看待面积的变化。 3 水位问题

【例9】（★★）一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如下图．已知它的容积为26.4π立方厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米．瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米．问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？

分析 由题意，液体的体积是不变的，瓶内空余部分的体积也是不变的，因此可知液体体积是空余部分体积的3倍（6÷2）．

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62.172立方厘米＝62.172毫升 ＝0.062172升．

答：酒精的体积是62．172立方厘米，合0．062172升．

【例10】（★★）一个高为30厘米，底面为边长是10厘米的正方形的长方体水桶，其中装有

1容积的2水，现在向桶中投入边长为2厘米2厘米3厘米的长方体石块，问需要投入多少块这种石块才能使水面恰与桶高相齐？

【解】：所装入石块的体积应等于桶的容积的一半.投入石块：

（10×10×15）÷（2×2×3）=125（块）.

4 计数问题

【例11】（★★★★）右图是由22个小正方体组成的立体图形，其中共有多少个大大小小的正方体？由两个小正方体组成的长方体有多少个？ 【解】：正方体只可能有两种：

由1个小正方体构成的正方体，有22个；

由8个小正方体构成的2×2×2的正方体，有4个。

所以共有正方体 22＋4=26（个）。

由两个小正方体组成的长方体，根据摆放的方向可分为下 图所示的上下位、左右位、前后位三种，其中上下位有13个，左右位有13个，前后位有14个，共有13＋13＋14=40（个）。

【例12】有甲、乙、丙3种大小的正方体，棱长比是1：2：3。如果用这三种正方体拼成尽量小的一个正方体，且每种都至少用一个，则最少需要这三种正方体共多少？

【解】： 设甲的棱长是1，则乙的棱长是2，丙的棱长是3。一个甲种木块的体积是1*1*1=1；一个乙种木块的体积是2*2*2=8；一个丙种木块的体积是3*3*3=27。

3+2=5。则这三种木块拼成的最小正方体的棱长是5。体积是5*5*5=125。 需要丙种木块1块，乙种木块1+1*2+2*2=7块。 甲种木块的体积是27，乙种木块的体积是8*7=56。 125-27-56=42。需要甲种木块42/1=42块。 1+7+42=50块。

5 三维视图的问题

【例13】现有一个棱长为1cm的正方体，一个长宽为1cm高为2cm的长方体，三个长宽为1cm高为3cm

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的长方体。下列图形是把这五个图形合并成某一立体图形时，从上面、前面、侧面所看到的图形。试利用下面三个图形把合并成的立体图形（如例）的样子画出来，并求出其表面积。 例：

【解】：立体图形的形状如下图所示。（此题十分经典） 从上面和下面看到的形状面积都为9cm2，共18cm2； 从两个侧面看到的形状面积都为7cm2，共14cm2； 从前面和后面看到的形状面积都为6cm2，共12cm2； 隐藏着的面积有2cm2。

一共有18＋16＋12＋2＝48（cm2）。

6 其他常考题型

【例14】（★★★）有两种不同形状的纸板，一种是正方形的，另一种是长方形的，正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是1∶2.用这些纸板做成一些竖式和横式的无盖纸盒.正好将纸板用完.问在所做的纸盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是多少？

【解】：由于纸盒无盖，所以一个竖式纸盒有一个正方形和4个长方形，一个横式纸盒有2个正方形和3个长方形，那么一个竖式纸盒和两个横式纸盒共有5个正方形和10个长方形，这时所用的正方形纸板与长方形纸板的比恰是1∶2，也就是说按照每做一个竖式纸盒，再做两个横式纸盒的比例做纸盒，就可以把两种不同形状的纸板用完.因此，在所做的纸盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是1∶2. 【例15】左下图是一个正方体，四边形APQC表示用平面截正方体的截面。请在右下方的展开图中画出四边形APQC的四条边。

【解】：把空间图形表面的线条画在平面展开图上，只要抓住四边形APQC四个顶点所在的位置这个关键，再进一步确定四边形的四条边所在的平面就可容易地画出。

（1）考虑到展开图上有六个顶点没有标出，可想象将展开图折成立体形，并在顶点上标出对应的符号，见左下图。

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（2）根据四边形所在立体图形上的位置，确定其顶点所在的点和棱，以及四条边所在的平面： 顶点：A—A，C—C，P在EF边上，Q在GF边上。边AC在ABCD面上，AP在ABFE面上，QC在BCGF面上，PQ在EFGH面上。

（3）将上面确定的位置标在展开图上，并在对应平面上连线。需要注意的是，立体图上的A，C点在展开图上有三个，B，D点在展开图上有二个，所以在标点连线时必须注意连线所在的平面。连好线的图形如右上图

小结

本讲主要接触到以下几种典型题型：

1）与圆和扇形有关的题型。参见例1，2，3，4，5

2）求不规则立体图形的表面积与体积。参见例6，7，8 3）水位问题。参见例9，10 4）计数问题。参见例11，12 5）三维视图的问题。参见例13 6）其他常考题型。参见例14，15

【课外知识】

剪正方体

此题旨在培养同学们的空间想象力和动手能力

将一个正方体（图1）剪开可以展成一些不同的平面图形（图2）。

图1正方体

（1） （2） （3） 9 / 18 4）

Page 9 （

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图2 正方体的平面展开图 其中的图2的（1），（2）都是“带状图”，好像是一条完整的削下来的苹果皮。仔细观察（1），（2）两个图可以发现，图中的每个小正方形都有两个边与其它的正方形“共用”，除了两头的两个正方形以外。再观察图（3）和图（4），由于这两个图中每个都有一个正方形（粉色）有两条以上的边（图（3）有3条，图（4）有4条）与周围的正方形“共用”。所以图（3）和图（4）都不是“带状图”。

问题1：运用你的空间想象力或者动手将图2的四个图折成正方体。

问题2：除了图（1）和图（2）以外还有两个正方体的平面展开图也是“带状图”，你能找出来吗？ 答案：

作业题

（注：作业题--例题类型对照表，供参考）

题1，2，3，4—类型1；题5—类型4；题6，7—类型2；题8—类型6

1、（★★）如下图，求阴影部分的面积，其中OABC是正方形.

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解：10.26

＝9 × 3.14-18＝10.26。

2、（★★★）如下图所示，求阴影面积，图中是一个正六边形，面积为1040平方厘米，空白部分是6个半径为10厘米的小扇形。

解：412平方厘米

所要求的阴影面积是用正六边形的面积减去六个小扇形面积正六边

可求得，需要知道半径和扇形弧的度数，由已知正六边形每边所对圆心角为60°，那么∠AOC＝120°，又知四边形ABCD是平行四边形，所以∠ABC＝120°，这样就得求出扇形的面积。

＝1040—628＝4１2（平方厘米）

3、（★★★）如右图，将直径AB为3的半圆绕A逆时针旋转60°，此时AB到达AC的位置，求阴影部分的面积（取π=3）.

解：整个阴影部分被线段CD分为Ⅰ和Ⅱ两部分，以AB为直径的半圆被弦AD分成两部分，设其中AD右侧的部分面积为S，由于弓形AD是两个半圆的公共部分，去掉AD弓形后，两个半圆的剩余部分面积相等.即Ⅱ=S，由于：

Ⅰ+S=60°圆心角扇形ABC面积

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4、（★★★）如下图，两个半径相等的圆相交，两圆的圆心相距正好等于半径，AB弦约等于17厘米，半径为10厘米，求阴影部分的面积。

解：阴影部分由两个相等的弓形组成，我们只需要求出一个弓形面积，然后二倍就是要求的阴影面积了.由已知若分别连结AO1，AO2，BO1，BO2，O1O2，如图所示，就可以得到两个等边三角形（各边长等于半径），则∠AO2O1＝∠BO2O1＝60°，即∠AO2B＝120°。

这样就可以求出以O2为圆心的扇形AO1BO2的面积，然后再减去三角形AO2B的面积，就得到弓形面积，三角形AO2B的面积就是二分之一底乘高，底是弦AB，高是O1O2的一半。

5、（★★）2100个边长为1米的正方体堆成一个实心的长方体.它的高是10米，长、宽都是大于10（米）的整数，问长方体长宽之和是几米？

解：长方体体积是2100立方米，高为10米，所以底面积为210平方米.

210=1×210=2×105=3×70＝5×42=6×35＝7×30=10×21=14×15.可见，长为15米，宽为14米，长宽之和是15+14=29米.

6、（★★）有一个正方体，边长是5.如果它的左上方截去一个边长分别是5、3、2的长方体（如下图），求它的表面积减少的百分比是多少？

解：原立方体的表面积=5×5×6=150.减少的表面积是两块3×2长方形

7、（★★）如下图，在棱长为3的正方体中由上到下，由左到右，由前到后，有三个底面积是1的正方形高为3的长方体的洞，求所得形体的表面积是多少？

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解：没打洞之前正方体表面积共 6 × 3 × 3= 54，打洞后，表面积减少 6又增加 6×4（洞的表面积）.即所得形体的表面积是54-6＋24=72.

8、（★★★）现有一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是5厘米的长方体无盖铁皮盒（焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好），你做出铁皮盒容积是多少立方厘米？ 解：如图，可有如下三种情况比较后可知：

焊

上

（1）30×10×5=1500立方厘米 （2）35×10×5=1750立方厘米 （3）20×20×5=2000立方厘米 最后一个容积最大。

小升初图形问题练习题

1、右图是一个直角等腰三角形,直角边长2厘米,图中阴影部分面积是 平方厘米.

2

2.三角形ABC是直角三角形,阴影部分①的面积比阴影部分②的面积小28平方厘米. AB长40厘米, BC长 厘米. C

②

①

B A

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3、ABC是等腰直角三角形. D是半圆周的中点, BC是半圆的直径,已知: AB=BC=10,那么阴影部分的面积是多少?(圆周率3.14)

10 B A

D C 4.右图中的正方形的边长是2厘米,以圆弧为分界线的甲、乙两部分的面积差(大减小)是 平方厘米.(取3.14)

甲 乙

2

5、已知正方形的边长为10，求图中阴影部分的面积是（ ）平方厘米。（2002年）

2222

6、下图中大长方形分别被分成面积为12㎝，36㎝，24㎝，48㎝，则图中阴影部分的面积（ ）㎝2

7、 如图，△AEF与△BED的面积和是2平方厘米，AE=ED,BD=2DC,则△ABC的面积是（ ）平方厘米。

22

8、 如图，梯形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，△AOB与△BOC的面积分别是25cm和35cm,梯形的面

积是（ ）

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9、如下图，正方形ABCD边长为lO厘米，BO长8厘米。AE=____厘米。

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10. E是平行四边形ABCD的CD边上的一点，BD、AE相交于点F，已知三角形AFD的面积是6，三角形DEF的面积是4，求四边形BCEF的面积为多少？

A6D4ECFB

11、如图，有四个长方形的面积分别是1平方厘米、2平方厘米、3平方厘米和4平方厘米，组合成一个大的长方形，求图中阴影部分的面积。

AEGHDBFC

12、 如图，在面积为1的三角形ABC中，DC=3BD,F是AD的中点，延长CF交AB边于E,求三角形AEF和三角形CDF的面积之和。

AEFBCD

13、 如图，BD是梯形ABCD的一条对角线，线段AE与梯形的一条腰DC平行，A

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E与BD相交于O点.已知三角形BOE的面积比三角形AOD的面积大4平方米，并且EC=ABCD的面积.

2 BC. 求梯形514、如图，已知CD＝5，DE＝7，EF＝6，直线AB将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG的面积是____________

ECDFGA

B15、求下右图阴影部分的面积。（单元：厘米）

16、如图，已知F是平行四边形ABCD的边DC中点，若三角形EFC，ABE，AFD的面积分别为3平方厘米，4平方厘米，5平方厘米，平行四边形ABCD的面积是整数。则三角形AEF的面积是多少平方厘米?

17、如下图,在长方形ABCD中,AD=3厘米,AE=AB.求阴影部分的

面积.

（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）

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