2020年九年级数学下期中试卷(带答案)

一、选择题

1．如果反比例函数y=A．（﹣C．（

k（k≠0）的图象经过点（﹣3，2），则它一定还经过（ ） xB．（﹣3，﹣2） D．（1，﹣6）

1，8） 21，12） 22．如图，用放大镜看△ABC，若边BC的长度变为原来的2倍，那么下列说法中，不正确的是（ ）．

A．边AB的长度也变为原来的2倍； C．△ABC的周长变为原来的2倍；

B．∠BAC的度数也变为原来的2倍； D．△ABC的面积变为原来的4倍；

3．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1:3（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度

AC之比），坝高BC3m，则坡面AB的长度是（ ）．

A．9m B．6m

C．63m D．33m

4．如图，在△ABC中，DE∥BC ，

AD1，DE=4，则BC的长是（ ） DB2

A．8 B．10 C．11 D．12

5．如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED＝∠

AEDEADAE，④，⑤AC2＝AD•AE，使△ADE与ACABABBC△ACB一定相似的有（ ）

B，②∠ADE＝∠C，③

A．①②④ A．1:3 （ ）

B．②④⑤ B．1:4

C．①②③④ C．1:6

D．①②③⑤ D．1:9

6．如果两个相似三角形对应边之比是1:3，那么它们的对应中线之比是（ ） 7．如图，在ABC中，DE//BC，AD9，DB3，CE2，则AC的长为

A．6

B．7

C．8

D．9

8．在△ABC中，若|sinA-A．45°

3|+(1-tanB)2=0，则∠C的度数是( ) 2C．75°

D．105°

B．60°

9．如图，△ABC与ADE相似，且ADEB，则下列比例式中正确的是（ ）

A．

AEAD BEDCB．

AEAB ABACC．

ADAB ACAED．

AEDE ACBC10．如图，一张矩形纸片ABCD的长BC＝xcm，宽AB＝ycm，以宽AB为边剪去一个最大的正方形ABEF，若剩下的矩形ECDF与原矩形ABCD相似，则

x的值为（ ） y

A．51 2B．51 2C．2

D．

21 211．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB=4，那么AP的长是（ ） A．252

B．25

C．251

D．52

2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，12．制作一块3m×

若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（ ） A．360元

B．720元

C．1080元

D．2160元

二、填空题

13．如图，矩形ABOC的面积为3，反比例函数y＝

k的图象过点A，则k＝_____． x

14．在ABC中，若B45，AB102，AC55，则ABC的面积是______． 15．如图，矩形ABCD的顶点A,C都在曲线y

k

（常数k0，x0）上，若顶点x

D的坐标为5,3，则直线BD的函数表达式是_.

16．若

a3ab＝，则＝__________. b4b217．若函数y＝(k－2)xk5是反比例函数，则k＝______.

18．如图，已知ADAE，请你添加一个条件，使得△ADC≌△AEB，你添加的条件是_____．（不添加任何字母和辅助线）

19．近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)呈反比例，其函数关系式为y近似眼镜镜片的焦距x0.3米，那么近视眼镜的度数y为______．

120.如果x20．如图是一个圆柱体的三视图，由图中数据计算此圆柱体的侧面积为________．（结果保留π）

三、解答题

21．如图，在△ABC中，BC＝6，sinA＝

3，∠B＝30°，求AC和AB的长． 5

22．计算：

（1）(3)203cos30

1（2）4tan45|5| 2（3）已知α为锐角，sin1522，计算2cos3tan12的值． 223．如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=36°，过点A作AD∥BC，与∠ABC的平分线交于点D，BD与AC交于点E，与⊙O交于点F． （1）求∠DAF的度数； （2）求证：AE2=EF•ED；

24．如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度(竖直高度与水平宽度的比)i＝1：2，且O、A、B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度．(测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式)

25．如图，已知点D是求证：

∽

；

求线段CD的长．

的边AC上的一点，连接，，．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】

分别计算各点的横纵坐标之积，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断． 【详解】 ∵反比例函数y=∴k=−3×2=−6，

k (k≠0)的图象经过点(−3,2)， x1×8=−4≠−6， 2−3×(−2)=6≠−6，

∵−

1×12=6≠−6， 21×(−6)=−6，

则它一定还经过(1,−6). 故答案选D. 【点睛】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练的掌握反比例函数图象上

点的坐标特征.

2．B

解析：B 【解析】 【分析】

根据相似三角形的判定和性质，可得出这两个三角形相似，相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． 【详解】

解：∵用放大镜看△ABC，若边BC的长度变为原来的2倍， ∴放大镜内的三角形与原三角形相似，且相似比为2 ∴边AB的长度也变为原来的2倍，故A正确； ∴∠BAC的度数与原来的角相等，故B错误； ∴△ABC的周长变为原来的2倍，故C正确； ∴△ABC的面积变为原来的4倍，故D正确； 故选B 【点睛】

本题考查了相似三角形的性质，相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．

3．B

解析：B 【解析】

由图可知，BC:AC1:3，tanBAC∴BAC30，

1， 3BC36m∴． sin3012故选B． AB4．D

解析：D 【解析】 【分析】 根据

AD1DEADAD1=，可得=，再根据DE∥BC，可得=； DB2BCABAB3接下来根据DE=4，结合上步分析即可求出BC的长. 【详解】 ∵

AD1=， DB2∴

AD1=， AB3∵在△ABC中，DE∥BC，

DEAD1==. BCAB3∵DE=4， ∴BC=3DE=12. 故答案选D. 【点睛】

∴

本题考查了平行线分线段成比例的知识，解题的关键是熟练的掌握平行线分线段成比例定理.

5．A

解析：A 【解析】

①AEDB，且DAECAB， ∴ADE∽ACB，成立． ②ADEC且DAECAB， ∴ADE∽ACB，成立． ③④

AEDE，但AED比一定与B相等，故ADE与ACD不一定相似． ABBCADAE且DAECAB， ACAB∴ADE∽ACB，成立．

⑤由AC2ADAE，得

ACAE无法确定出ADE， ADAC故不能证明：ADE与ABC相似． 故答案为A．

点睛：本题考查了相似三角形的判定定理:(1)两角对应相等的两个三角形相似;(2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;(3)三边对应成比例的两个三角形相似;(4)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.

6．A

解析：A 【解析】

∵两个相似三角形对应边之比是1:3， ∴它们的对应中线之比为1:3. 故选A.

点睛: 本题考查相似三角形的性质，相似三角形的对应边、对应周长，对应高、中线、角平分线的比，都等于相似比,掌握相似三角形的性质及灵活运用它是解题的关键.

7．C

解析：C 【解析】 【分析】

根据平行线分线段成比例定理，由DE∥BC得的值即可 【详解】 ∵DE//BC， ∴

ADAE，然后利用比例性质求EC和AEDBECADAE9AE，即， DBEC32∴AE6，

∴ACAEEC628． 故选：C． 【点睛】

此题考查平行线分线段成比例，解题关键在于求出AE

8．C

解析：C 【解析】 【分析】

先根据非负数的性质求出sinA及tanB的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A及∠B的值，由三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】 ∵|sinA−

3|+(1−tanB)2=0， 23，tanB=1， 2∴sinA=∴∠A=60°，∠B=45°，

-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°∴∠C=180°． 故选C． 【点睛】

（1）非负数的性质：几个非负数的和等0，这几个非负数都为0；（2）三角形内角和等于180°.

9．D

解析：D 【解析】 【分析】

利用相似三角形性质：对应角相等、对应边成比例，可得结论. 【详解】

由题意可得，△ABC∽△ADE，所以故选D. 【点睛】

AEDE， ACBC在书写两个三角形相似时，注意顶点的位置要对应，即若△ABC∽△ABC，则说明点A的对应点为点A'，点B的对应点B，点C的对应点为点C.

10．B

解析：B 【解析】 【分析】

根据相似多边形对应边的比相等，可得到一个方程，解方程即可求得． 【详解】

∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝xcm， ∵四边形ABEF是正方形， ∴EF＝AB＝ycm， ∴DF＝EC＝（x﹣y）cm， ∵矩形FDCE与原矩形ADCB相似， ∴DF：AB＝CD：AD， 即：

xyy yx∴

x5+1＝， y2故选B． 【点睛】

本题考查了相似多边形的性质、矩形的性质、翻折变换的性质；根据相似多边形对应边的比相等得出方程是解决本题的关键．

11．A

解析：A 【解析】

根据黄金比的定义得：

AP5151 ，得AP4252 .故选A. 2AB212．C

解析：C 【解析】 【分析】

根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，计算即可．

【详解】 3m×2m=6m2，

6=20元/m2， ∴长方形广告牌的成本是120÷

将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍， 则面积扩大为原来的9倍，

6=54m2， ∴扩大后长方形广告牌的面积=9×

20=1080元， ∴扩大后长方形广告牌的成本是54×故选C． 【点睛】

本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．

二、填空题

13．-3【解析】【分析】根据比例系数k的几何含义：在反比例函数y=的图象中任取一点过这一个点向x轴和y轴分别作垂线与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|即可解题【详解】解：∵矩形ABOC的面积为3∴|k|

解析：-3 【解析】 【分析】

根据比例系数k的几何含义：在反比例函数y=

k的图象中任取一点,过这一个点向x轴和yx轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|即可解题． 【详解】

解：∵矩形ABOC的面积为3, ∴|k|=3. 3. ∴k=±

又∵点A在第二象限, ∴k<0, ∴k=−3. 故答案为：−3. 【点睛】

本题考查了反比例函数系数k的几何意义,反比例函数图象上点的坐标特征,属于简单题,熟悉反比例函数的图像和性质是解题关键.

14．75或25【解析】【分析】过点作于点通过解直角三角形及勾股定理可求出的长进而可得出的长再利用三角形的面积公式即可求出的面积【详解】解：过点作垂足为如图所示在中；在中∴∴或∴或25故答案为：75或25

解析：75或25 【解析】

【分析】

过点A作ADBC于点D，通过解直角三角形及勾股定理可求出AD，BD，CD的长，进而可得出BC的长，再利用三角形的面积公式即可求出ABC的面积． 【详解】

解：过点A作ADBC，垂足为D，如图所示．

在RtABD中，ADABsinB10，BDABcosB10； 在RtACD中，AD10，AC55， ∴CDAC2AD25，

∴BCBDCD15或BCBDCD5，

1BCAD75或25． 2故答案为：75或25．

∴SABC

【点睛】

本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角形的面积，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD，BC的长度是解题的关键．

15．【解析】【分析】利用矩形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征得到A（3）C（5）所以B（）然后利用待定系数法求直线BD的解析式【详解】∵D（53）∴A（3）C（5）∴B（）设直线BD的解析式为y=m 解析：y【解析】 【分析】

利用矩形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征得到A（B（

3x 5kk，3），C（5，），所以35kk，），然后利用待定系数法求直线BD的解析式． 35【详解】

∵D（5，3）， ∴A（∴B（

kk，3），C（5，）， 35kk，）， 35设直线BD的解析式为y=mx+n， 把D（5，3），B（

kk，）代入得 3535mn＝3m＝5， k，解得kmn＝53n＝0∴直线BD的解析式为y故答案为y【点睛】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=

3x． 53x． 5k（k为常数，k≠0）的图象x是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了矩形的性质．

16．【解析】【分析】由比例的性质即可解答此题【详解】∵∴a=b∴=故答案为【点睛】此题考查了比例的基本性质熟练掌握这个性质是解答此题的关键

7解析：

4【解析】 【分析】

由比例的性质即可解答此题. 【详解】 ∵

a3， b43b， 4∴a=

37abbbb=4 ， ∴4bbb7 4【点睛】

故答案为

此题考查了比例的基本性质，熟练掌握这个性质是解答此题的关键.

17．-2【解析】【分析】根据反比例函数的定义列出方程解出k的值即可【详解】解：若函数y＝(k－2)是反比例函数则解得k＝﹣2故答案为﹣2

解析：-2 【解析】

【分析】

k2-5=-1根据反比例函数的定义列出方程，解出k的值即可．

k-20【详解】

解：若函数y＝(k－2)xk25是反比例函数，

k2-5=-1则 k-20解得k＝﹣2， 故答案为﹣2．

18．或或【解析】【分析】根据图形可知证明已经具备了一个公共角和一对相等边因此可以利用ASASASAAS证明两三角形全等【详解】∵∴可以添加此时满足SAS；添加条件此时满足ASA；添加条件此时满足AAS故

解析：ABAC或ADCAEB或ABEACD. 【解析】 【分析】

根据图形可知证明ADC≌AEB已经具备了一个公共角和一对相等边，因此可以利用ASA、SAS、AAS证明两三角形全等． 【详解】

∵AA ，ADAE，

∴可以添加ABAC ，此时满足SAS； 添加条件ADCAEB ，此时满足ASA； 添加条件ABEACD，此时满足AAS，

故答案为：ABAC或ADCAEB或ABEACD； 【点睛】

本题考查了全等三角形的判定，是一道开放题，解题的关键是牢记全等三角形的判定方法．

19．400【解析】分析：把代入即可算出y的值详解：把代入故答案为400点睛：此题主要考查了反比例函数的定义本题实际上是已知自变量的值求函数值的问题比较简单

解析：400 【解析】

分析：把x0.3代入y详解：把x0.3代入

120，即可算出y的值． x120， xy400，

故答案为400．

点睛：此题主要考查了反比例函数的定义，本题实际上是已知自变量的值求函数值的问题，比较简单．

20．24π【解析】解：由图可知圆柱体的底面直径为4高为6所以侧面积=4π×6=24π故答案为24π点睛：本题考查了立体图形的三视图和学生的空间想象能力圆柱体的侧面积公式根据主视图判断出圆柱体的底面直径与

解析：24π 【解析】

解：由图可知，圆柱体的底面直径为4，高为6，所以，侧面积=4π×6=24π．故答案为24π．

点睛：本题考查了立体图形的三视图和学生的空间想象能力，圆柱体的侧面积公式，根据主视图判断出圆柱体的底面直径与高是解题的关键．

三、解答题

21．AC＝5．AB＝4+33． 【解析】 【分析】

过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△BCD中利用锐角三角函数和勾股定理求出CD、BD，然后在Rt△ACD中，利用锐角三角函数和勾股定理求出AC、AD,即可. 【详解】

解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，

在Rt△BCD中，sinB＝sin30°＝∴CD＝

1CD＝． 2BC13×6＝3，BD＝BC＝33， 22在Rt△ACD中，

CD3＝， AC55CD∴AC＝＝5．

3sinA＝

∴AD＝AC2CD2＝5232＝4， ∴AB＝AD+BD ＝4+33． 【点睛】

本题考查了锐角三角函数和勾股定理．构造直角三角形是解决本题的关键． 22．（1）【解析】 【分析】

（1）先计算乘方和三角函数值，再计算加减法即可； （2先计算乘方和三角函数值、绝对值，再计算加减法即可； （3）先由特殊角的三角函数值计算出α，再代入求值即可. 【详解】

解：（1）原式＝3﹣1+3＝2+＝

7．（2）7；（3）﹣1+3． 23 23 27． 21+5 （2）原式＝4﹣2×＝4﹣2+5 ＝7．

（3）∵α为锐角，sin15∴α﹣15°＝45°． ∴α＝60°．

∴2cos3tan12 ＝﹣2×+3×3﹣23 ＝﹣1+33﹣23 ＝﹣1+3． 【点睛】

本题考查了含特殊角的三角函数值的四则运算，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键. 23．（1）36°；（2）证明见解析 【解析】 【分析】

（1）求出∠ABC、∠ABD、∠CBD的度数，求出∠D度数，根据三角形内角和定理求出∠BAF和∠BAD度数，即可求出答案；

（2）求出△AEF∽△DEA，根据相似三角形的性质得出即可. 【详解】 （1）∵AD∥BC， ∴∠D=∠CBD，

2， 212∵AB=AC，∠BAC=36°，

1×（180°﹣∠BAC）=72°， 2∴∠AFB=∠ACB=72°， ∵BD平分∠ABC，

∴∠ABC=∠ACB=

1172°=36°∠ABC=×，

22∴∠D=∠CBD=36°，

∴∠ABD=∠CBD=

=108°∴∠BAD=180°﹣∠D﹣∠ABD=180°﹣36°﹣36°， =72°∠BAF=180°﹣∠ABF﹣∠AFB=180°﹣36°﹣72°， =36°∴∠DAF=∠DAB﹣∠FAB=108°﹣72°； （2）∵∠CBD=36°，∠FAC=∠CBD， =∠D， ∴∠FAC=36°∵∠AED=∠AEF， ∴△AEF∽△DEA，

AEED， EFAEED. ∴AE2=EF×

【点睛】

∴

本题考查了圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．

24．电视塔OC高为1003米，点P的铅直高度为【解析】 【分析】

过点P作PF⊥OC，垂足为F,在Rt△OAC中利用三角函数求出OC=1003,根据山坡坡度＝1：2表示出PB＝x， AB＝2x, 在Rt△PCF中利用三角函数即可求解. 【详解】

过点P作PF⊥OC，垂足为F．

在Rt△OAC中，由∠OAC＝60°，OA＝100，得OC＝OA•tan∠OAC＝1003（米）， 过点P作PB⊥OA，垂足为B． 由i＝1：2，设PB＝x，则AB＝2x． ∴PF＝OB＝100+2x，CF＝1003﹣x． 在Rt△PCF中，由∠CPF＝45°， ∴PF＝CF，即100+2x＝1003﹣x， ∴x＝100313（米）．

10031001003100 ，即PB＝米． 33

【点睛】

本题考查了特殊的直角三角形,三角函数的实际应用,中等难度,作出辅助线构造直角三角形并熟练应用三角函数是解题关键. 25．（1）参见解析；（2）5． 【解析】 【分析】

（1）利用两角法证得两个三角形相似；

（2）利用相似三角形的对应线段成比例求得CD长． 【详解】

（1）∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A（公共角）， ∴△ABD∽△ACB；

（2）由（1）知：△ABD∽△ACB， ∵相似三角形的对应线段成比例 ，∴解得：CD＝5．

=

，即＝

，