工程力学 第12章 习题

12－1 对于建立材料在一般应力状态下的失效判据与设计准则，试选择如下合适的论述。 （A）逐一进行试验，确定极限应力；

（B）无需进行试验，只需关于失效原因的假说； （C）需要进行某些试验，无需关于失效原因的假说； （D）假设失效的共同原因，根据简单试验结果。 正确答案是 D 。

12－2 对于图示的应力状态（xy）若为脆性材料，试分析失效可能发生在：

（A）平行于x轴的平面； （B）平行于z轴的平面；

（C）平行于Oyz坐标面的平面； （D）平行于Oxy坐标面的平面。

正确答案是 C 。

12－3 对于图示的应力状态，若yx，且为韧性材料，试根

习题12-2、12-3图

据最大切应力准则，失效可能发生在：

（A）平行于y轴、其法线与x轴的夹角为45°的平面，或平行于x轴、其法线与y轴的夹角为45°的平面内；

（B）仅为平行于y轴、法线与z轴的夹角为45°的平面； （C）仅为平行于z轴、其法线与x轴的夹角为45°的平面； （D）仅为平行于x轴、其法线与y轴的夹角为45°的平面。 正确答案是 A 。

12－4 铸铁处于图示应力状态下，试分析最容易失效的是： （A）仅图c；

（B）图a和图b；

习题12-4、12-5图 （C）图a、b和图c；

（D）图a、b、c和图d。 正确答案是 C 。

12－5低碳钢处于图示应力状态下，若根据最大切应力准则，试分析最容易失效的是： （A）仅图d； （B）仅图c； （C）图c和图d； （D）图a、b和图d。 正确答案是 B 。

30 解：ra3rb3rd312223() rc3122 所以图c最危险。

12－6 韧性材料所处应力状态如图所示，根据最大切应力准则，试分析二者同时失效的条件是： （A），2/3； （B），4/3； （C）；

（D），2/3。 正确答案是 A 。

解：左图：r32422 右图：，， ∴r3 或r3()2

（1）

（2）

习题12-6图

（3）（由（1），此式舍去）

由（1）、（2），242

3 ∴，显然

2 ∴选：A。

注：原题供选择答案（D）矛盾，现改为：（D），23。

12－7 承受内压的两端封闭的圆柱状薄壁容器由韧性材料制成。试分析因压力过大表面出现裂纹时，t2m裂纹的可能方向是：

— 104 —

CDm 45B （A）沿圆柱纵向；

（B）沿与圆柱纵向成45°角的方向； （C）沿与圆柱纵向成30°角的方向； （D）沿环向。 正确答案是 B 。 解：设圆柱壁纵向应力为，则环向应力为2，径向应力近似为零。

1t，2m，30

20

22 裂纹的可能方向为沿ABDC面，平行于轴线与圆周切线方向成45°。

12－8 承受内压的两端封闭的圆柱状薄壁容器，由脆性材料制成。试分析因压力过大表面出现裂纹时，裂纹的可能方向是： （A）沿圆柱纵向；

（B）沿与圆柱纵向成45°角的方向； （C）沿圆柱环向；

（D）沿与圆柱纵向成30°角的方向。 正确答案是 A 。

12－9 当韧性材料和脆性材料制成的两个两端封闭的圆柱形薄壁容器因内压发生失效时，试分析断口特征是：

（A）二者断口均沿着纵截面； （B）二者断口均沿着横截面； （C）韧性材料容器断口平面平行于轴线并与圆周切线方向成45°角；脆性材料容器断口平面沿纵截面； （D）脆性材料容器断口平面平行于轴线并与圆周切线方向成45°角；韧性材料容器断口沿纵截面。 正确答案是 C 。 解：参见12-7解理由。

12－10 有人说，杆件受拉伸时有1[]的设计准则，现在又讲“对于韧性材料，应用最大切应力准

max13则或形状改变比能准则”。试问二者是否矛盾？从这里可以得到什么结论？

解：二者不矛盾，对于韧性材料，在平面拉伸时，10，230，r3r41[]。 12－11 对于纯切应力状态，若将设计准则写成[]，试确定两种情形下许用切应力[]与许用拉应力[]之间的关系： 1．脆性材料； 2．韧性材料。

解：纯剪应力状态时1b，20，3b

1．对于脆性材料，用最大拉应力理论的失效判据：bb 则选[][]

r11[]，即1[]

由 []，即[][]

用最大伸长线应变理论b(0b)b，b0.5b，则选[]0.5[]，与最大剪应力理论相同。 2．对于韧性材料，用最大剪应力理论： 1s，20，3s r3132[]，即 由 []，即[]1[] 21[] 2 由失效判据：s(s)s，∴s0.5s，则选：[]0.5[]

用歪形能理论失效判据 r4 则选[]11s [(12)2(23)2(31)2]3ss，s2313[]

1[]0.577[]

由[]，则[]3 12－12 构件中危险点的应力状态如图所示。试选择合适的准则对以下两种情形作强度校核： 1．构件为钢制

— 105 —

习题12-12图

x= 45MPa，y= 135MPa，z= 0，xy= 0，

拉伸许用应力[]= 160MPa。 2．构件材料为铸铁

x= 20MPa，y= -25MPa，z= 30MPa，xy= 0，[]= 30MPa。 解：1．r313135MPa[]强度满足。 2．r1130MPa[]强度满足。

12－13 对于图示平面应力状态，各应力分量的可能组合有以下几种情形，试按最大切应力准则和形状改变比能准则分别计算此几种情形下的计算应力。 1．x= 40MPa，y= 40 MPa，xy= 60 MPa； 2．x= 60MPa，y80MPa，xy40MPa； 3．x40MPa，y= 50 MPa，xy= 0； 4．x= 0，y= 0，xy= 45 MPa。 解： 1． xy2(xy22)2xy4060

习题12-13图

1= 100 MPa，2= 0，320MPa r313120MPa r4 2． 1(10022021202)111.4MPa 22(xyxy22)2xy10702402

1= 70.6 MPa，2= 0，390.6MPa r313161.2MPa

1(70.6290.62161.22)140MPa 2 3． 1= 50 MPa，2= 0，340MPa r4 r390MPa

1(502402902)78.1MPa 2 4． 45MPa，

∴ 1= 45 MPa，2= 0，345MPa r390MPa r41(452452902)77.9MPa（r43xy77.9MPa） 2 12－14 钢制零件上危险点的平面应力状态如图所示。已知材料的屈服应力s= 330MPa。试按最大切 r4应力准则，确定下列情形下是否发生屈服，并对于不屈服的情形确定它们的安全因数。 1．0= 207 MPa； 2．0= 248 MPa； 3．0= 290 MPa。 解：1．0= 207 MPa xy22 ∴ 1= 0，2104MPa，3310MPa

(xy2)2xy207103

r3310MPas

3301.065 310 2． 0= 248 MPa；248103

ns

习题12-14、12-15图

∴ 1= 0，2145MPa，3351MPa r3351MPas

— 106 —

3． 0= 290 MPa。

290103

∴ 1= 0，2187MPa，3393MPa r3393MPas

12－15 试根据形状改变比能准则，重解习题12－14。 解：1．r4 ns11[(12)2(23)2(31)2](104220623102)273MPas 223301.21 2731(145220623512)306MPas 2330 ns1.08

306 2． r41(187220623932)341MPas 2 12－16 钢制构件上危险点的平面应力状态如图所示。已知材料的屈服应力为s= 300 MPa。试按形状 3． r4改变比能准则，确定下列情形下是否发生屈服，并对于不发生屈服的情形确定它们的安全因数。 1．0= 60 MPa； 2．0= 120 MPa； 3．0= 130 MPa。 解：1．0= 60 MPa xy2(xy22)2xy19050260219078.1

∴ 1= 268 MPa，2= 112 MPa，3= 0

1(156211222682)233MPas 23001.29 ns233 2．0= 120 MPa r4 1905021202190130 ∴ 1= 320 MPa，2= 60 MPa，3= 0

1 r4(26026023202)295MPas

23001.02 ns295 3．0= 130 MPa

1905021302190139 ∴ 1= 329 MPa，2= 51 MPa，3= 0

习题12-16、12-17图

1(27825123292)307MPas 2

12－17 试根据最大切应力准则重解习题12－16。 解：1．r313268MPas r43001.12 268 2． r3= 320 MPa

ns 3． r3= 329 MPa

12－18 铝合金制成的零件上危险点处的平面应力状态如图所示。材料的屈服应力s= 250MPa。试按下列准则分别确定其安全因数。 1．最大切应力准则； 2．形状改变比能准则。

— 107 —

解：xy2210539 1= 144 MPa，2= 66 MPa，3= 0

(xy2)2xy90120901202()362 22 1． r3= 144 MPa ns3 2． r4 ns42501.736 1441(7826621442)125 22502.0 125

12－19 铝合金制成的零件上危险点的平面应力状态如图所示。已知材料的屈服应力s= 250MPa。试按下列准则分别确定其安全因数。 1．形状改变比能准则； 2．最大切应力准则。

12030120302()3624583.2 22 1= 128.2 MPa，338.2MPa，2= 0 解：1(166.4238.22128.22)151MPa 2250 ns41.656

151 2． r3=166.4 MPa 1． r4 ns32501.50 166.4

习题12-19图

12－20 铝合金制成的零件上某一点处的平面应力状态如图所示，其屈服应力s= 280MPa。试按最大切应力准则确定。

1．屈服时的y的代数值； 2．安全因数为1.2时的y值。 1．解： ①设：1 280y280y280y2((80y280y280y2)21002 )21002

3= 0 r3()21002s280

得 y= 230 MPa ②设：180y280y2(80y2)21002

习题12-20图

2= 0 3(80y2)21002

r32(80y2)21002280

得 y116MPa

∴ y= 230 MPa或y116MPa

— 108 —

2．解：r380y2(80y2)21002280，y= 168 MPa 1.2280，y40MPa 1.2 或 r3132(80y2 ∴ y= 168 MPa或y40MPa

2)2100 12－21 铝铸件中危险点处的应力状态如图所示。已知材料的拉伸和压缩强度极限分别为b= 80MPa和b= 200 MPa。试用莫尔准则确定是否发生失效，并确定其安全因数。

3232()27521676.7 22 ∴ 1= 92.7 MPa，2= 0，360.7MPa 解：（a）b80(60.7)117MPa 1-392.7200b nb （b）800.6841，失效 11710100101002()6025575 22 ∴ 1= 130 MPa，2= 0，320MPa 1 nbb-b

习题12-21图

313080(20)138MPa 200800.5801，失效 13812－22 铸铁制零件上的某些点处可能为图a、b、c所示三种应力状态。已知铸铁的拉伸和压缩强度极

限分别为b= 52MPa和b= 124MPa。试按照莫尔准则，确定三种应力状态中0分别为何值时发生失效。

解：（a）10，2 1

02习题12-22图

，30

b31052MPa，∴052MPa -b （b）10，20，3 1 002

b052()1.21052MPa 30-1242b5243.0MPa 1.21 （c）102，20，30

b52(0)0.919052MPa 1-302124b 05256.7MPa 0.919

12－23 两种应力状态分别如图a和b所示，若二者的、数值分别相等，且||||。试： 1．应用最大切应力准则分别计算两种情形下的计算应

— 109 —

力r3；

2．应用形状改变比能准则，判断何者较易发生屈服，并写出它们的设计准则。 解： 1．（a）()22

22 r32()22242 2 （b）2，3 1 r3

2．（a）r4232[]



习题12-23图

1[()242()2]232[] 2 用形状改变比能，相当应力相同。

12－24 薄壁圆柱形锅炉容器的平均直径为1250mm，最大内压强为23个大气压（1个大气压0.1MPa），在高温下工作时材料的屈服应力s= 182.5MPa。若规定安全因数为1.8，试按最大切应力准则设计容器的壁 （b）r4厚。 解：1 r3pDpD，2，30 2t4tpD1[]s

2tns12p 习题12-24解图

壁厚：tpDns2.312501.8pD14.2mm 2[]2s2182.5 12－25 平均直径D = 1.8m、壁厚= 14mm的圆柱形容器，承受内压作用。若已知容器为钢制，其屈

服应力s= 400MPa，要求安全因数ns = 6.0。试分别应用以下准则确定此容器所能承受的最大内压力。 1．用最大切应力准则； 2．用形状改变比能准则。

pDpD 解：1，2，30

24pD 1． r3[]s

2ns p2s2144001.037MPa Dns18006.0pD2pD2s1pD2[()()() 2442ns 2． r4

3pDs 4ns p4s3Dns414400318006.01.197MPa

12－26 薄壁圆柱形容器受外压力作用，已知压力p = 15MPa，圆柱外径D = 80mm，材料的许用应力[]= 160MPa。试按形状改变比能准则确定容器壁厚。

pDpD 解：1．10，2，3

42 r4

pD2pD21pD2[()()()[] 24423pD[] 4习题12-26图

3pD31580 3.25mm

4[]4160

— 110 —

2． 115MPa，2 r4 令xpDpD，3 42pD2pD2pD1[(15)()(15)2[] 2442pD，则上式变为： 4 (x15)2x2(2x15)22[]2 x = 99.774

pDpD1580 3.00mm x，4x499.7744 考虑压力容器内表面10，所以仍取= 3.25mm。

12－27 图示结构中，所有梁的材料、弯曲刚度、梁长等均完全相同；所有杆AB的长度、拉压刚度等亦完全相等。在图示四种加载条件下杆AB的稳定工作安全因数nw(a)、nw(b)、nw(c)、nw(d)之间的关系有如下结论，试判断哪一结论是正确的。

（A）nw(a)＝nw(b)＝nw(c)＝nw(d)； （B）nw(a)≠nw(b)≠nw(c)≠nw(d)； （C）nw(a)＝nw(b)＜nw(c)＜nw(d)； （D）nw(a)＝nw(b)＞nw(c)＞nw(d)。 正确答案是 C 。

解：全部考虑轴力引起的变形影响

Fa 图a-1：wAwBN

EAa3aa(FPFN)l(FNFP)l3FNa 3EI3EIEA

FPa FN （1） 3aI12Al3 图b-1：

b3(2FPFN)l

习题12-27图

EI , lFPAFNEI , lFNBFP(a-1) (b-1) (c-1) (d-1)

3EIbFNb3FNl3EIbFNaEA

FP （2） 3aI12Al3EI , l2FPAFNc3c3b(FPFN)lFNlFNa 图c-1： 3EI3EIEAFPc FN （3） 3aI23Ald3dd(FPFN)l(FNFP)l3FNa 图d-1： 3EI3EIEAEI , lFNBEI , lFPAFN ∵1dFN0 （4）

EI , lEI , lFNB3Ia3Ia3Ia3Ia3Ia0,∴133,∴2313 32lAAl2lAAl2lAdcabFNFNFNFN,∴选 (C)。

aFNFPA讨论：若不计轴力变形影响，则

dFN0，结论也相同。

bFNcFP，FN1FP，2FNEI , lFNBa ∵ FNxc FNxd FNx2l3AFPabFNxFNx 3I23alA0

— 111 —

1FPbFNx 3Ia

FP

dcba 即：FNxFNxFNxFNx

12－28 根据压杆稳定设计准则，压杆的许可载荷[FP]将按下列四种规律中的哪一种变化？ （A）增加一倍； （B）增加两倍； （C）增加1/2倍；

（D）[FP]随着A的增加呈非线性变化。 正确答案是 D 。 由于icr[n]st当横截面面积A增加一倍时，试问[FP]A。

lI，柔度

iAπ2E 而临界应力cr2或crsR2

crab

所以，cr5a不存在线性关系，[FP]cr[n]stA5A非线性关系，选D。

12－29 图示压杆两端为球铰约束，截面如图所示，为

200mm×125mm×18mm的不等边角钢。杆长l = 5m，材料为Q235钢，其弹性模量E = 205GPa。试求压杆的临界载荷。

4

解：查型钢表Imin = 404.83 cm，imin = 2.70 cm

l1500185.2P，为细长杆 i2.70 FPcr

习题12-29图

328 kN (l)52 12－30 图示托架中杆AB的直径d = 40mm，长度l = 800mm，两端可视为球铰链约束，材料为Q235钢，试：

1．求托架的临界载荷FPcr。

2．若已知工作载荷FP = 70kN，并要求杆AB的稳定安全因数[n]st = 2.0，校核托架是否安全。 3．若横梁为No.18热轧工字钢，[]= 160MPa，试问托架所能承受的最大载荷有没有变化。 解：

2π2EIminπ20510404.8310298 1．①（图（a））nis MC FP ② i7 40，900FP600FABsin

（1）

27FABsinFAB 36d10mm 4l180080P，中柔度杆 i10

习题12-30图

cr2350.00682191.5MPa FABcrcrAcr ∴ FPcrπd2π191.5402240.6kN 44C7FABcr106kN 6 2．当已知工作载荷为170kN时已大于临界载荷，不安全。下面为凑原书答案，将已知工作载荷改为： FP = 70 kN

6 由（1），FABFP185.7kN

7240.61.52[n]st，不安全。 nw158.7 3．条件[]= 160MPa意谓着既要保证CD强度，又要保证AB杆稳定。

BFAB(a)

DFP

— 112 —

CD梁中：MmaxMB0.3FP，FNxFABcos3cotFP，FQFP 23cotFPMBFNx0.3FP2 max[]，160106，FP73.5kN106kNFPcr 84WA1851030.610 下面校核工字钢翼缘与腹板交界点应力（忽略轴力影响）：

474.38.53.2565.16（mm） y904.35.168.572.04（mm） 73.4810330072.04166010495.7MPa

S*z166015.410372.04226.590925.48mm3 3 73.4810909256.5166010461.9MPa

r495.72361.92143.7MPa[] max73.481036.515.41073.4MPa r43max127.1MPa[] ∴ FPcr取73.5kN，减小。

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3.25yr8.590斜度1:6r14.347