几何原本与九章算术的异同

几何原本》与《九章算术》的异同

《几何原本》和《九章算术》都是经典的数学著作，一部是西方的著作， 一部是中国的古代著作，这两部著作都对后来的数学发展做出了很大的贡献， 并对人类文明产生深远的影响。《几何原本》和《九章算术》本身是关于纯数 学的专著，但高度抽象化的数学是必定是需要和其它的学科相结合的。

下面，我就《几何原本》和《九章算术》的异同做一些阐述，首先，《几 何原本》和《九章算术》产生的背景不同：

《几何原本》产生的背景：

欧几里得的生平，现在知道的甚少，欧几里得在公元前 300 年左右，来到 亚历山大里亚教学．人们称赞欧几里得治学精神严谨、谦虚，是一个温良敦厚 的数学教育家．欧几里得在从事数学教育中，总是循循善诱地启发学生，提倡 刻苦钻研，弄懂弄通，反对投机取巧、急功近利的狭隘思想．欧几里得在从事 数学教育中，善于积累数学知识，并进行了拓宽与创新．他的巨著《几何原 本》是一生中最重要的工作，这部著作的形成具有无以伦比的历史意义．他精 僻地总结了人类长时期积累的数学成就，建立了数学的科学体系，为后世继续 学习和研究数学提供了课题和资料，使几何学的发展充满了活的生机．这部著 作长时期被人崇拜、信仰，从来没有一本教科书，像《几何原本》那样长期广 为传颂．从 1482年到 19世纪末，欧几里得《几何原本》的印刷本竟用各种文 字印刷 1000 版以上，在此之前，它的手抄本统御几何学也已达近 1800 年之 久．欧几里得继承和发展了前人的数学知识，《几何原本》所用到的材料大部 分是希腊前期各学派创建的成果．欧几里得是柏拉图的门徒，他的著作基本沿 续了柏拉图的传统思想，承袭了《共和国》中所论及的科学方法．欧几里得在 《几何原本》中，发展了柏拉图的以哲学为基础， “数论、几何、音乐、天文 ”4 科为内容的科学思想．

另外，欧几里得还采用了欧多克索斯等学者的一些定理，并加以完 善．《几何原本》所采用的公理、定理都是经过细致斟酌、筛选而成，并按严 谨的科学体系进行编排，使之系统化、理论化，超过了以前的所有著作，因 此，当《几何原本》问世之后，其它诸类逐渐消声匿迹了．

九章算术》的背景：

中国数学经过长期积累，到西汉时期已有了相当丰富的内容．除《周髀算 经》外，西汉初期出现了第一部数学专著 ---《算术书》，用竹简写成．全书共 60多个标题，如 “相乘”、“增减”、“少广”、“税田”、“金价”、“合分”等，标题下 列有各种问题．《九章算术》的体例便受到《算术书》的影响．另外，当时西 汉已有初步的负数及比例概念，面积和体积计算的知识也增多了．这些都为我 国初等数学体系的形成准备了条件．

现传本《九章算术》约成书于西汉末年，作者不详，可能经多人之手而 成．它是一部承前启后的著作，一方面总结了西汉及西汉以前的数学成果，集 当时初等数学之大成；另一方面又对后世数学发展产生了深远的影响．

其次，《几何原本》和《九章算术》的内容的异同： <<几何原本本 >>

各卷简介 :

第一卷：几何基础。重点内容有三角形全等的条件，三角形边和角的大小 关系，平行线理论，三角形和

多角形等积（面积相等）的条件，第一卷最后两个命题是毕达哥拉斯定理 的正逆定理；

第二卷：几何与代数。讲如何把三角形变成等积的正方形；其中 12、13 命

题相当于余弦定理。

第三卷：讨论了圆与角。

第四卷：讨论圆内接和外切多边形的做法和性质；

第五卷：讨论比例理论，多数是继承自欧多克斯的比例理论第六卷：讲相 似多边形理论；

第五、第七、第八、第九、第十卷：讲述比例和算术的理论；第十卷是篇 幅最大的一卷，主要讨论无理量（与给定的量不可通约的量），其中第一命题 是极限思想的雏形。

第十一卷、十二、十三卷：最后讲述立体几何的内容

从这些内容可以看出，目前属于中学课程里的初等几何的主要内容已经完 全包含在《几何原本》里了。因此长期以来，人们都认为《几何原本》是两千 多年来传播几何知识的标准教科书。属于《几何原本》内容的几何学，人们把 它叫做欧几里得几何学，或简称为欧氏几何。

《九章算术》的九章的主要内容分别是：

第一章 “方田”：田亩面积计算；

第二章 “栗米”：谷物粮食的按比例折换；

第三章 “衰分”：比例分配问题；

第四章 “少广”：已知面积、体积、求其一边长和径长等；第五章 “商功 ”：土 石工程、体积计算；

第六章 “均输 ”：合理摊派赋税；

第七章 “盈不足”：即双设法问题；

第八章 “方程 ”：一次方程组问题；

第九章 “勾股”：利用勾股定理求解的各种问题．

九章算术》和《几何原本》在思维方法上有很大的不同。

《九章算术》是一部经几代人整理、删补和修订而成的古代数学经典著 作，约成书于东汉初年〔公元前一世纪〕。全书采用问题集的形式编写，共收 集了 246 个问题及其解法，分属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈 不足、方程和勾股九章。主要内容包括分数四则和比例算法、各种面积和体积 的计算、关于勾股测量的计算等。《九章算术》很强调辩证思维，它注重应 用，注重理论联系实际，

形成了以筹算为中心的数学体系，对中国古算影响深 远。它的一些成就还传到印度和阿拉伯，并通过这些国家传到欧洲，促进了世 界数学的发展。

《几何原本》是欧几里德一生著有的多部数学著作其中最有价值的一部。 它系统的总结了古代劳动人民在实践中获得的几何知识，把人们公认的一些事 实列成定义和公理，以形式逻辑的方法，用这些定义和公理来研究各种几何图 形的性质，从而建立了一套从公理、定义出发，论证命题得到定理得几何学论 证方法，形成了一个严密的逻辑体系 ——几何学。

几何原本的一些内容

五条公理

1. 等于同量的量彼此相等；

2. 等量加等量，其和相等；

3. 等量减等量，其差相等；

4. 彼此能重合的物体是全等的；

5. 整体大于部分。

a

五条公设

1. 过两点能作且只能作一直线；

2. 线段（有限直线 ）可以无限地延长；

3. 以任一点为圆心 ,任意长为半径 ,可作一圆；

4. 凡是直角都相等；

5. 在一平面内 ,过直线外一点 ,可作且只可作一直线跟已知直线平行。 （最后一 条公设就是著名的平行公设，或者叫做第五公设。它引发了几何史上最著名的 长达两千多年的关于 “平行线理论 ”的讨论，并最终诞生了非欧几何。）

关于几何论证的方法，欧几里得提出了分析法、综合法和归谬法。所谓分 析法就是先假设所要求的已经得到了，分析这时候成立的条件，由此达到证明

的步骤；综合法是从以前证明过的事实开始，逐步的导出要证明的事项；归谬 法是在保留命题的假设下，否定结论，从结论的反面出发，由此导出和已证明 过的事实相矛盾或和已知条件相矛盾的结果，从而证实原来命题的结论是正确 的，也称作反证法。

再次，数学史的演变发展与人类社会的文明发展史一样悠久漫长，从远古 时期的数学萌芽，到 16 世纪前的初等数学，再到欧洲文艺复兴之后的变量数 学，直至 19 世纪以来的现代数学，每一个重大数学成就都有其产生的背景和深

《几何原本》与《九章算术》还有其他不同的地方：

1《几何原本》与理性思维

欧几里得的《几何原本》作为人类智慧的光辉结晶，它在数学史上的作用 是没有任何一本著作可以与之比拟的。把《几何原本》放在古希腊文化的系统 中，并从文化史的宏观角度去进行分析，可以看到她有着更为广泛和重要的意 义。《几何原本》依据柏拉图哲学、亚里士多德的逻辑学和欧几里得的精心构 思，在人类数学史上第一次给出了一个公理化了的数学理论体系，所表现出的 已不仅是一种数学命题的真理特征，更为重要的是它借助数学表现了一种认识 世界、表述世界的独特文化意义，并由此给人们提供一种思维的理性方式：从 几个简单的原理出发，可以逻辑演绎出整个理论体系，进而表现这个理论所揭 示的真理。一种数学方法能最终演化成为一种认识世界的理性思维方式，这不 能不说是数学所能达到的最高的文化意义。

2《九章算术》与实用算法

汉代出现的《九章算术》，标志着中国古代数学体系的形成。

全书采用问题集形式，以方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不 足、方程、勾股共九类实践应用题分成九章，计 246 个数学问题，共给出 202 个具体的计算方法（术），每题大致由问（问题）、答（答案）、术（解题方 法或过程）组成。

《九章算术》在中国古代数学史上拥有至高无上之地位，在世界数学史上 也是屈指可数，与希腊之《几何原本》交相辉映，同为世界数学发展之源

,我国

的传统数学有它自己的体系和方式，有着它自身发展途径和独到思想体系，不 能以西方数学的模式生搬硬套。

《几何原本》和《九章算术》的思想方法的异同：

《几何原本》的思想方法的特点：

（一）封闭的演绎体系

因为在《几何原本》中，除了推导时所需要的逻辑规则外，每个定理的证 明所采用的论据均是公设、公里或前面已经证明过的定理，并且引入的概念也 基本上是符合逻辑上对概念下定义的要求，原则上不再依赖其它东西，因此 《几何原本》是一个封闭的演绎体系。

（二）抽象化的内容

《几何原本》中研究的对象都是抽象的概念和命题，它所探讨的是这些概 念和命题之间的逻辑关系，不讨论这些概念和命题与社会生活之间的关系，也 不考察这些数学模型所由之产生的现实原型，因此《几何原本》的内容是抽象 的。

（三）公理化的方法

《几何原本》的第一篇中开头 5个公设和 5 个公里，是全书其它命题证明 的基本前提，接着给出 23 个定义，然后再逐步引入和证明定理。定理的引入是 有序的，在一个定理的证明中，允许采用的论据只有公设和公理与前面已经证 明过的定理。以后各篇除了不再给出公设和公理外也都照此办理。这种处理知 识体系与表述方法就是公理化方法

《九章算术》思想方法的特点：

（ 1）开放的归纳体系 从《九章算术》的内容可以看出，它是以应用问题解法集成的体例编纂而 成的书，因此它是一个与社会实践紧密联系的开放体系。

在《九章算术》中通常是先举出一些问题，从中归纳出某一类问题的一般 解法；再把各类算法综合起来，得到解决该领域中各种问题的方法；最后，把 解决各领域中问题的数学方法全部综合起来，就得到整个《九章算术》。

另外该书还按解决问题的不同数学方法进行归纳，从这些方法中提炼出数 学模型，最后再以数学模型立章写入《九章算术》。

因此，《九章算术》是一个开放的归纳体系。

（ 2）算法化的内容

《九章算术》在每一章内先列举若干个实际问题，并对每个问题都给出答 案，然后再给出 “术”，作为一类问题的共同解法。因此，内容的算法化是《九 章算术》思想方法上的特点之一。

（ 3）模型化的方法

《九章算术》各章都是先从相应的社会实践中选择具有典型意义的现实原 型，并把它们表述成问题，然后通过 “术”使其转化为数学模型。当然有的章采 取的是由数学模型到原型的过程，即先给出数学模型，然后再举出可以应用的 原型。