2016年湖南高考文科数学试题及答案(Word版)

(满分150分，时间120分钟)

第Ⅰ卷

一. 选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ）

（1）设集合A{1,3,5,7}，B{x|2x5}，则AB

（A）{1,3} （B）{3,5} （C）{5,7} （D）{1,7} (2)设(12i)(ai)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=

（A）－3 （B）－2 （C）2 （D）3

（3）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，学.科.网余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是

（A）

1115 （B） （C） （D） 33625，c2，cosA（4）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知ab=

（A）2 （B）3 （C）2 （D）3

2则

31

（5）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的 4，则该椭圆的离心率为

1123（A）3 （B）2 （C）3 （D）4

π1

（6）将函数y=2sin (2x+)的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为

64

ππ

（A）y=2sin(2x+) （B）y=2sin(2x+)

43ππ

（C）y=2sin(2x–) （D）y=2sin(2x–)

43（7）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中28π

两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积

3是

1

（A）17π （B）18π （C）20π （D）28π （8）若a>b>0，0（A）logac2

|x|

c

c

（D）c>c

ab

（A） （B）

（C） （D）

（10）执行右面的程序框图，如果输入的

x0,y1,n =1,则输出x,y的值满足

（A）y2x （B）y3x （C）y4x （D）y5x

（11）平面过正文体ABCD—A1B1C1D1的顶点A//平面CB1D1,平面ABCDm，

平面ABB1A1n，则m，n所成角的正弦值为

（A）

3321（B）（C）（D）

2 3 2 3（12）若函数f(x)x-sin2xasinx在,单调递增，则a的取值范围是

（A）1,1（B）1, 3131（C）,（D）1,

3 33 111

2

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二.填空题(本大题共4小题，每小题5分)

（13）设向量a=(x，x+1)，b=(1，2)，且a b，则x=_________. （14）已知θ是第四象限角，且sin(θ+

2

2

π3π)=，则tan(θ–)=_________. 454（15）设直线y=x+2a与圆C：x+y-2ay-2=0相交于A，B两点，若|AB|=23，则圆C的面积为________。

（16）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元。该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为_________元。

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

(17)（本题满分12分）

已知an是公差为3的等差数列，数列bn满足b1=1，b2=，anbn1bn1nbn，. （I）求an的通项公式； （II）求bn的前n项和. (18)（本题满分12分）

如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，点D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.

（I）证明G是AB的中点；

（II）在答题卡第（18）题图中作出点E在平面

PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．

3

13

（19）（本小题满分12分）

某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数. （I）若n=19，求y与x的函数解析式；

（II）若要求学科&网“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值； （III）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？

（20）（本小题满分12分）

在直角坐标系xOy中，直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2px(p0)于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H. （I）求

2OH； ON（II）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.

4

（21）（本小题满分12分）

已知函数f(x)=(x-2)e+a(x-1). (I)讨论f(x)的单调性；

(II)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.

2

2

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°.以⊙O为圆心，OA为半径作圆. (I)证明：直线AB与O相切；

(II)点C,D在⊙O上，且A,B,C,D四点共圆，证明：AB∥CD.

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直线坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为

（t为参数，a＞0）。在以坐标

原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ. （I）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；

（II）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a。

（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲 已知函数f(x)= ∣x+1∣-∣2x-3∣.

（I）在答题卡第（24）题图中画出y= f(x)的图像； （II）求不等式∣f(x)∣﹥1的解集。

5

参考答案

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

（1）B (2) A （3）C （4）D （5）B （6）D （7）A （8）B （9）D （10）C （11）A （12）C

第II卷

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分. （13）24（14）（15）4π （16）216000 3 3

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

11（17）（I）由已知，a1b2b2b1,b11,b2,得a1b2b2b1,b11,b2,得a12，

33所以数列an是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an3n1. （II）由（I）和anbn1bn1nbn ，得bn1bn，因此bn是首项为1，公31比为的等比数列.记bn的前n项和为Sn，则

311()n331. Snn1122313（18）（I）因为P在平面ABC内的正投影为D，所以ABPD.

因为D在平面PAB内的正投影为E，所以ABDE. 所以AB平面PED，故ABPG.

6

又由已知可得，PAPB，从而G是AB的中点.

（II）在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影.

理由如下：由已知可得PBPA，PBPC，又EF//PB,所以EFPC,因此EF平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影.

连接CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心.

2由（I）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CDCG.

3由题设可得PC平面PAB，DE平面PAB，所以DE//PC，因此

PE21PG,DEPC. 33由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA6，可得DE2,PE22. 在等腰直角三角形EFP中，可得EFPF2.

114所以四面体PDEF的体积V222.

323

（19）（I）分x19及x.19，分别求解析式；（II）通过频率大小进行比较；（III）分别求出您9，n=20的所需费用的平均数来确定。

试题解析：（Ⅰ）当x19时，y3800； 当x19时，y3800500(x19)500x5700，

x19,3800,所以y与x的函数解析式为y(xN).

500x5700,x19,（Ⅱ）由柱状图知，需更换的零件数不大于18的概率为0.46，不大于19的概率为0.7，故n的最小值为19.

（Ⅲ）若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3800，20台的费用为4300，10台的费用为4800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为

7

1(400090450010)4050. 100比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件.

t2（20）（Ⅰ）由已知得M(0,t)，P(,t).

2ppt2又N为M关于点P的对称点，故N(,t)，ON的方程为yx，代入

tp2t22t2,2t). y2px整理得px2tx0，解得x10，x2，因此H(pp222所以N为OH的中点，即

|OH|2. |ON|（Ⅱ）直线MH与C除H以外没有其它公共点.理由如下： 直线MH的方程为ytp2tx，即x(yt).代入y22px得

p2ty24ty4t20，解得y1y22t，即直线MH与C只有一个公共点，所以

除H以外直线MH与C没有其它公共点.

（21） (I)f'xx1ex2ax1x1ex2a.

(i)设a0，则当x,1时，f'x0；当x1,时，f'x0. 所以在,1单调递减，在1,单调递增. (ii)设a0，由f'x0得x=1或x=ln(-2a).

e①若a，则f'xx1exe，所以fx在,单调递增.

2e②若a，则ln(-2a)<1,故当x,ln2a1,时，f'x0；

2当xln2a,1时，f'x0，所以fx在,ln2a,1,单调递增，在ln2a,1单调递减.

e③若a，则ln2a1，故当x,12

8

ln2a,时，f'x0，

当x1,ln2a时，f'x0，所以fx在,1,ln2a,单调递增，在1,ln2a单调递减.

(II)(i)设a0，则由(I)知，fx在,1单调递减，在1,单调递增. 又f1e，f2a，取b满足b<0且

则fbbaln， 22a323bb0，所以fx有两个零点. b2ab1a22(ii)设a=0，则fxx2ex所以fx有一个零点.

e(iii)设a<0，若a，则由(I)知，fx在1,单调递增.

2e又当x1时，fx<0，故fx不存在两个零点；若a，则由(I)知，fx2在1,ln2a单调递减，在ln2a,单调递增. 又当x1时fx<0，故fx不存在两个零点. 综上，a的取值范围为0,. （22）（Ⅰ）设E是AB的中点，连结OE，

因为OAOB,AOB120，所以OEAB，AOE60． 在RtAOE中，OE1AO，即O到直线AB的距离等于圆O的半径，所以2直线AB与⊙O相切．

DOO'ECAB

（Ⅱ）因为OA2OD，所以O不是A,B,C,D四点所在圆的圆心，设O'是

A,B,C,D四点所在圆的圆心，作直线OO'．

9

由已知得O在线段AB的垂直平分线上，又O'在线段AB的垂直平分线上，所以OO'AB．

同理可证，OO'CD．所以AB//CD． （23）⑴xacost

y1asint2（t均为参数）

∴x2y1a2 ①

1为圆心，a为半径的圆．方程为x2y22y1a20 ∴C1为以0，∵x2y22，ysin

∴22sin1a20 即为C1的极坐标方程 ⑵ C2：4cos

两边同乘得24cosx2y24x

2x2y2，cosx

即x2y24 ②

C3：化为普通方程为y2x

2由题意：C1和C2的公共方程所在直线即为C3 ①—②得：4x2y1a20，即为C3 ∴1a20 ∴a1 （24）⑴如图所示：

10

x4，x≤13⑵ fx3x2，1x

234x，x≥2fx1

当x≤1，x41，解得x5或x3

∴x≤1

当1x，3x21，解得x1或x

13∴1x或1x

323213当x≥，4x1，解得x5或x3

3∴≤x3或x5 232综上，x或1x3或x5

∴fx1，解集为，13131，35，

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