人教版高中数学必修2立体几何知识点

1.1柱、锥、台、球的结构特征(略)

棱柱： 棱锥： 棱台： 圆柱： 圆锥： 圆台： 球： 1.2空间几何体的三视图和直观图 1 三视图：

正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 2 画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 3直观图：斜二测画法 4斜二测画法的步骤：

（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；

（2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变； （3）.画法要写好。

5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图 1.3 空间几何体的表面积与体积 （一 ）空间几何体的表面积

1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和

S2 圆柱的表面积  2  rl  2 r 3 圆锥的表面积S2rlr2

222SrlrRlR4 圆台的表面积 5 球的表面积S4R

6扇形的面积公式S扇形nR21lr（其中l表示弧长，r表示半径） 3602（二）空间几何体的体积

11柱体的体积 VS底h 2锥体的体积 VS底h

313台体的体积 V（S上3S上S下S下)h 4球体的体积V4R3 3第二章 直线与平面的位置关系

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1

1 平面含义：平面是无限延展的,无大小，无厚薄。 2 平面的画法及表示

（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长

（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行

四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。 3 三个公理：

（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内

AlBl符号表示为l

AB公理1作用：判断直线是否在平面内

（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为：A、B、C三点不共线  有且只有一个平面α，使A∈α、B∈α、C∈α。 公理2作用：确定一个平面的依据。

补充3个推论：

推论1：经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面。 推论2：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 推论3：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为： pl,且pl

公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：

相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 共面直线

平行直线：同一平面内，没有公共点；

异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

a//b符号表示为：设a、b、c是三条直线，a//c

c//b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.

4异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线

符号表示： A,B,l,Bl直线AB与直线l异面。 5 注意点：

① 异面直线a1与b1所成的角的大小只由它们的相互位置来确定，与选择的位置无关，为简便一

般取在两直线中的一条上；

0② 两条异面直线所成的角: 0,90]

0③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；

⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系：

（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点

（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点

特别指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a来表示

a α a∩α=A a∥α

2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定

1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面

平行。简记为：线线平行，则线面平行。

a符号表示： ba//

a//b2.2.2 平面与平面平行的判定

1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

ab符号表示 ： abA//简记为：线线平行，则面面平行。

a//b//2、判断两平面平行的方法有三种： （1）用定义； （2）判定定理；

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。符号表示为：a,a// 2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质

1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

简记为：线面平行，则线线平行。符号表示： aa//b

ba//作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

//符号表示： aa//b，简记为：面面平行，则线线平行

b作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行

3、两个平面平行具有如下的一些性质：

⑴如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都与另一个平面平行 ⑵如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.

⑶如果一条直线和两个平行平面中的一个相交，那么它也和另一个平面相交 ⑷夹在两个平行平面间的所有平行线段相等 2.3直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1直线与平面垂直的判定

1、定义:如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l，

直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面。直线与平面垂直时,它们唯一公

共点P，点P叫做垂足。

2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

符号表示：la,lb,a,b,a垂直。

注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；

b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

3、补充性质：a//b,ab

4、直线与平面所成的角的范围为： [0,90]

00bAl，简记为：线线垂直，则线面

2.3.2平面与平面垂直的判定

1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形

A

梭 l β

B α

2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β,平面之间二面角范围是[00,1800]

3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 符号表示：l,l,，简记为：线面垂直，则面面垂直。

4、线面角的求法，在直线上任找一点作平面的垂线，则直线和射影所成的角就是了。 2.3.3 — 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质

1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。符号表示： a补充性质：(1)a,b,ab

,b//ab， (2)a,b//ab ，

(3)a,a,//，(4)a,//,a

2性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 符号表示： a,本章知识结构框图

第三章 直线与方程

3.1直线的倾斜角和斜率

3.1倾斜角和斜率

1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之

间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°. 2、 倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°. 3、直线的斜率:

一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就

是 k = tanα

⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. 4、 直线的斜率公式:

给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：

直线与直线的位置关系 直线与平面的位置关系 平面与平面的位置关系 平面（公理1、公理2、公理3、公理4） 空间直线、平面的位置关系 l,a,al,a，面面垂直，则线面垂直。

斜率公式: k=y2-y1/x2-x1 3.1.2两条直线的平行与垂直

1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜

率相等，那么它们平行，即

注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不

PP12x2x2y2y122成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2

2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜

率互为负倒数，那么它们互相垂直，即 3.2.1 直线的点斜式方程

1、 直线的点斜式方程：直线l经过点P0(x0,y0)，且斜率为k yy0k(xx0) 2、、直线的斜截式方程：已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0,b) ykxb 3.2.2 直线的两点式方程

1、直线的两点式方程：已知两点P1(x1,x2),P2(x2,y2)其中(x1x2,y1y2) y-y1/y-y2=x-x1/x-x2

2、直线的截距式方程：已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0,b)，其中

a0,b0

3.2.3 直线的一般式方程

1、直线的一般式方程：关于x,y的二元一次方程AxByC0（A，B不同时为0） 2、各种直线方程之间的互化。 3.3直线的交点坐标与距离公式 3.3.1两直线的交点坐标

1、给出例题：两直线交点坐标

L1 ：

解：解方程组

得 x=-2，y=2

所以L1与L2的交点坐标为M（-2，2） 3.3.2 两点间距离 两点间的距离公式

3.3.3 点到直线的距离公式

3x+4y-2=0 L1：2x+y +2=0

3x4y202x2y20

1．点到直线距离公式：

点P(xAx0By0C0,y0)到直线l:AxByC0的距离为：dA2B2

2、两平行线间的距离公式：

已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：AxByC10，

l2：AxByC20，则l1与l2的距离为dC1C2A2B2

第四章

圆与方程

4.1.1 圆的标准方程

1、圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程 2、点M(x0,y0)与圆(xa)2(yb)2r2的关系的判断方法：

（1）(x0a)2(y0b)2>r2，点在圆外 （2）(x0a)2(y0b)2=r2，点在圆上 （3）(x0a)2(y0b)21、圆的一般方程：x2y2DxEyF0 2、圆的一般方程的特点：

(1)①x2和y2的系数相同，不等于0． ②没有xy这样的二次项．

(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．

(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。 4.2.1 圆与圆的位置关系

1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．

设直线l：axbyc0，圆C：x2y2DxEyF0，圆的半径为r，圆心(D2,到直线的距离为d，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当dr时，直线l与圆C相离；（2）当dr时，直线l与圆C相切； （3）当dr时，直线l与圆C相交； 4.2.2 圆与圆的位置关系

E2) 两圆的位置关系．

设两圆的连心线长为l，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当lr1r2时，圆C1与圆C2相离；（2）当lr1r2时，圆C1与圆C2外切； （3）当|r1r2|lr1r2时，圆C1与圆C2相交；

（4）当l|r1r2|时，圆C1与圆C2内切；（5）当l|r1r2|时，圆C1与圆C2内含； 4.2.3 直线与圆的方程的应用

1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系； 2、过程与方法

用坐标法解决几何问题的步骤：

第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何 问题转化为代数问题；

第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论． 4.3.1空间直角坐标系

1、点M对应着唯一确定的有序实数组(x,y,z)，x、y、z分别是P、Q、R在x、y、z轴上的坐标

2、有序实数组(x,y,z)，对应着空间直角坐标系中的一点

3、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组(x,y,z)来表示，该数组叫做点M在此空间直 角坐标系中的坐标，记M(x,y,z)，x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标。 4.3.2空间两点间的距离公式

1、空间中任意一点P1(x1,y1,z1)到点P2(x2,y2,z2)之间的距离公式

zxOPRMQM'yP1OP2P1P2(x1x2)(y1y2)(z1z2)

222

N1xM1MM2HN2yN