微分方程例题选解

1.求解微分方程xlnxdy(ylnx)dx0,y|xe解：原方程化为

3。 22.求解微分方程xy'xyy0。

22分离变量得 积分得

du1dx， 2xu注：此题也为齐次方程。

4.求解微分方程y''1(y')。

dpdx，积分得 arctanpxC1，

1p2于是 yptan(xC1)， 积分得通解为 ylncos(xC1)C2。

分离变量得

5.求解微分方程y''2y'2y0。

解：特征方程为 r2r20，特征根为 r1i，通解为ye(C1cosxC2sinx)。

1

x 解：设py，则y x3dxxy2dxx2ydyy3dy111dx4(y2dx2x2dy2)dy44241d(x42x2y2y4)，4得 d(x42x2y2y4)0，

4224原方程的通解为 x2xyyC。

由

dpdp1p2，，原方程化为

dxdx22 原方程化为 xdxxydxxydyydy0，

322 3.求解微分方程(xxy)dx(xyy)dy。

解：此题为全微分方程。下面利用“凑微分”的方法求解。

3322原方程的通解为 yx。

lnxC3 1lnxC，u解：令yux，yuxu，原方程化为 uxuuu，

2 dy11y，dxxlnxx11dxdx1通解为 yexlnx[exlnxdxC]x1lnx112[dxC][lnxC]lnxxlnx2311lnx。由xe，y，得C1，所求特解为 y2lnx2 6.求解微分方程y''y'(2x1)e。

解：对应齐次方程的特征方程为rr0，特征根为r10，r21，齐次通解为 YC1C2e。

可设待定特解 y*(axb)e2xx22x，代入原方程得

2x

比较系数得 a1，b1，从而y*(x1)e原方程的通解为 yC1C2e(x1)e。7.求解微分方程y''y4xe。

2xx2x，

解：对应齐次方程的特征方程为r10，特征根为r11，r21，

可设待定特解 y*x(axb)e，代入原方程得

x比较系数得 a1，b1，从而y*(xx)e，原方程的通解为 yC1eC2exx2x(x2x)ex。

3x8.求解微分方程y''6y'9ye(6x2)。

2齐次通解为 Y(C1C2x)e。

可设待定特解 y*x(axb)e23x3x原方程的通解为 y(C1C2x)e9.利用“凑微分”的方法求解微分方程(xyysiny)dx(xcosy)dy0。

xydxydxsinydxxdycosydy xydxsinydx(ydxxdy)dsiny(xysiny)dxd(xysiny)，

d(xysiny)dx，原方程化为

xysiny积分得 ln(xysiny)xlnC，

从而通解为 xysinyCe

解： 由 (xyysiny)dx(xcosy)dyx。

2210.选择适当的变量代换求解微分方程xyy(xy1)tanx。

解：设ux2y2，则uxyy，原方程化为 uu(u1)tanx，u 1)dutanxdx，u1积分得 uln(u1)lncosxC，

分离变量得 (1 6ax2b6x2，

323x比较系数得 a1，b1，从而y*(xx)e，

3x(x3x2)e3x。

，代入原方程得

解：对应齐次方程的特征方程为r6r90，特征根为r1r23，

2

2a2(2axb)4x，

齐次通解为 YC1eC2exx。

3a2(axb)2x1，

原方程的通解为xyln(xy1)lncosxC。11.利用代换y2222ux将方程ycosx2ysinx3ycosxe化简，并求出原方程的cosx12.设二阶常系数线性微分方程yaybyce的一个特解为yex 13.已知y1xee，y2xee

x2xx

x

(r1)(r2)0，即r23r20，

于是 a3，b2。

x将y1xe代入方程，得 (x2)ex3(x1)ex2xexcex， c1。

x2xx原方程的通解为 yC1eC2exe。

，y3xeexx 线性微分方程的三个解，求此微分方程。

(r1)(r2)0，即r2r20，

yy2yf(x)，

将yxe代入方程，得f(x)(12x)e，故所求方程为yy2y(12x)e。

xxx 2ux2y2ux2uy2x2f(r)，22f(r)3f(r)，22f(r)3f(r)，解：

xrxrryrr 2u2u22rxy14.设uf(r)满足方程2，其中，求f(r)。42xy 2u2u1f(r)f(r)4，22rxyf(r)e 故可设此微分方程为

rdr1 1f(r)(2r2C1)drr2C1lnrC2。

r3

解：由题设特解知原方程的通解为yC1e所以特征方程为

C2e2xxex，特征根为1和2，

[4erdr11drC1](2r2C1)，

r确定常数a,b,c，并求该方程的通解。

解：由题设特解知原方程的特征根为1和2，所以特征方程为

2xex是某二阶常系数非齐次

2xuycosx2ysinxycosx。

x原方程化为 u4ue，

ex其通解为 uC1cos2xC2sin2x，

5cos2xex2C2sinx原方程的通解为 yC1。cosx5cosx(1x)ex。试

通解。

解：由uycosx，得

uycosxysinx，

15.设函数f(t)在[0,)上连续，且满足方程

f(t)e4t21x2y2)dxdyf(2222xy4t求f(t)。

2所以 求导得

f(t)e4t2f(t)8te4t8tf(t)，

2由f(0)1，得C1，因此f(t)(4t1)e24t2。

16.设f(x)连续可微，f(0)1，确定f(x)，使曲线积分

L与路径无关，并计算I(1,1)(0,0)[xf(x)]ydxf(x)dy。

解：由曲线积分与路径无关，得 f(x)xf(x)，

dxdxf(x)e(xedxC)(x1)Cex，

x由f(0)1，得C2，从而 f(x)x12e [xf(x)]ydxf(x)dy，

10于是

I(1,1)(0,0)(12ex)ydx(x12ex)dy2e1dy17.假定物体在空气中的冷却速度是正比于该物体的温度和它周围的空气温度之差，若室

温为20c时，一物体由100c冷却到60c须经过20分钟，问共经过多少时间方可使此物体的温度从开始时的100c降低到30c。解：设在时刻t物体的温度为T(t)，则有

0000 0 T20Cekt，

kt由T(0)100得 C80，T2080e，

ln2kt再由T(20)60得 602080e， k，

20 即

故T2080edTk(T20)，且T(0)100，T(20)60dtdTkdt，分离变量得

T20ln(T20)ktlnC，积分得

ln2t20，

ln2t20 令T(t)30，得 302080e，t60。

00 共经过60分钟方可使此物体的温度从开始时的100c降低到30c。

4

2。ef(t)e8tdt228tdt[8te4tedtC]e4t(4t2C)，

2t12rf(r)dr，

022t2t11212xy)dxdydf(r)rdr2rf(r)dr解：由于 f(022202202xy4t 18.设物体A从点(0,1)出发，以速度大小为常数v沿y轴正向运动。物体B从点

(1,0)与

A同时出发，其速度大小为2v，方向始终指向A。试建立物体B的运动轨迹所满足的

微分方程，并写出初始条件。解：设在时刻t，B位于点(x,y)处，则

19.在xOy面的第一象限内有一曲线过点(1,1)，曲线上任一点P处的切线与x轴及线段

其通解为

xeydyk2kydy[(2)edyC]Cy，

yy 11OP所围三角形的面积为常数k，求此曲线的方程。

ydxdy(Xx)，在x轴上的截距为 ax解：设P(x,y)处的切线方程为Yy，

dydxdx12kydxx2，)y2k，化为 由题设知(xdyydyy xk(1k)y，即yd2y1dy21()0， 代入（1）式得所求微分方程为 x22dxdx其初始条件为 y|x10,y|x11。

由x1，y1，得C1k，所求曲线方程为

xy(k1)y2k。

20.某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，

以增大阻力，使飞机迅速减速并停下。现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速

度为700km/h。经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为k6.010）。问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？

解：由题设，飞机的质量m9000kg，着陆时的水平速度v0700km/h。从飞机触地

6时开始计时，设t时刻飞机的滑行距离为x(t)，速度为v(t)。

根据牛顿第二定律，得m mdv，kmm积分得 x(t)v(t)C，由v(0)v0，x(0)0，得Cv0，从而

kkmx(t)[v0v(t)]，

km90007001.05(km)。当v(t)0时，x(t)v06k6.010dx5

dvdvdvdxdvkv，由于v，因此有dtdtdxdtdx 由于

dsdt1dydxdy2v1， 1，

dtdx2vdxdtdx22d2ydtv两边对x求导，得 x，

dxdx2（1）

dy(1vt)y，dxx 所以，飞机滑行的最长距离是1.05km。

6