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高中数学高考总复习集合习题及详解

2023-10-09 来源:客趣旅游网
高考总复习

高中数学高考总复习集合习题及详解

一、选择题

1.(09·全国Ⅱ)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},M={1,3,5,7},N={5,6,7},则∁U(M∪N)=( )

A.{5,7} B.{2,4}

C.{2,4,8} D.{1,3,5,6,7}

[答案] C

[解析] M∪N={1,3,5,6,7},

∴∁U(M∪N)={2,4,8},故选C.

2.(2010·烟台二中)已知集合M={y|y=x2},N={y|y2=x,x≥0},则M∩N=( )

A.{(0,0),(1,1)} B.{0,1}

C.[0,+∞) D.[0,1]

[答案] C

[解析] M={y|y≥0},N=R,则M∩N=[0,+∞),选C.

含详解答案

高考总复习

[点评] 本题极易出现的错误是:误以为M∩N中的元素是两抛物线y2=x与y=x2的交点,错选A.避免此类错误的关键是,先看集合M,N的代表元素是什么以确定集合

M∩N中元素的属性.若代表元素为(x,y),则应选A.

k1

k1

3.设集合P={x|x=+,k∈Z},Q={x|x=+,k∈Z},则( )

3663

A.P=Q B.PQ

C.PQ D.P∩Q=∅

[答案] B

[解析] P:x=+=36

k12k+1

61

,k∈Z;Q:x=+=,k∈Z,从而P表示的奇

6366

k1k+2

1

数倍数组成的集合,而Q表示的所有整数倍数组成的集合,故PQ.选B.

6

[点评] 函数值域构成的集合关系的讨论,一般应先求出其值域.如果值域与整数有关,可将两集合中的元素找出它们共同的表达形式,利用整数的性质求解或用列举法讨论.

4.(文)满足M⊆{a1,a2,a3,a4},且M∩{a1,a2,a3}={a1,a2}的集合M的个数是( )

A.1 B.2 C.3 D.4

含详解答案

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[答案] B

[解析] 集合M必须含有元素a1,a2,并且不能含有元素a3,故M={a1,a2}或{a1,

a2,a4}.

x2

y2

(理)(2010·湖北理,2)设集合A={(x,y)|+=1},B={(x,y)|y=3x},则A∩B的

416子集的个数是( )

A.4 B.3 C.2 D.1

[答案] A

[解析] 结合椭圆+=1的图形及指数函数y=3x的图象可知,共有两个交点,故

416

x2y2

A∩B的子集的个数为4.

5.(2010·辽宁理,1)已知A,B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集,且A∩B={3},(∁UB)∩A={9},则A=( )

A.{1,3} B.{3,7,9}

C.{3,5,9} D.{3,9}

[答案] D

含详解答案

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[解析] 由题意知,A中有3和9,若A中有7(或5),则∁UB中无7(或5),即B中有7(或5),则与A∩B={3}矛盾,故选D.

6.(文)(2010·合肥市)集合M={x|x2-1=0},集合N={x|x2-3x+2=0},全集为U,则图中阴影部分表示的集合是( )

A.{-1,1}

B.{-1}

C.{1} D.∅

[答案] B

[解析] ∵M={1,-1},N={1,2},∴M∩N={1},

故阴影部分表示的集合为{-1}.

(理)(2010·山东省实验中学)如图,I是全集,A、B、C是它的子集,则阴影部分所表示的集合是( )

含详解答案

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A.(∁IA∩B)∩C B.(∁IB∪A)∩C

C.(A∩B)∩∁IC D.(A∩∁IB)∩C

[答案] D

[解析] 阴影部分在A中,在C中,不在B中,故在∁IB中,因此是A、C、∁IB的交集,故选D.

[点评] 解决这类题的要点是逐个集合考察,看阴影部分在哪些集合中,不在哪些集合中,注意不在集合M中时,必在集合M的补集中.

7.已知钝角△ABC的最长边长为2,其余两边长为a,b,则集合P={(x,y)|x=a,y=b}所表示的平面图形的面积是( )

A.2 B.4

C.π-2 D.4π-2

[答案] C

[解析] 由题中三角形为钝角三角形可得①a2+b2<22;②a+b>2;③0π×224

-12

含详解答案

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8.(文)(2010·山东滨州)集合A={-1,0,1},B={y|y=cosx,x∈A},则A∩B=( )

A.{0} B.{1}

C.{0,1} D.{-1,0,1}

[答案] B

[解析] ∵cos0=1,cos(-1)=cos1,∴B={1,cos1},∴A∩B={1}.

(理)P={α|α=(-1,1)+m(1,2),m∈R},Q={β|β=(1,-向量集合,则P∩Q=( )

A.{(1,-2)} B.{(-13,-23)}

C.{(1,-2)} D.{(-23,-13)}

[答案] B

[解析] α=(m-1,2m+1),β=(2n+1,3n-2),

2)+n(2,3),n∈R}是两个含详解答案

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m-1=2n+1

令a=β,得

2m+1=3n-2

∴P∩Q={(-13,-23)}.

m=-12∴

n=-7

9.若集合M={0,1,2},N={(x,y)|x-2y+1≥0且x-2y-1≤0,x、y∈M},则N中元素的个数为( )

A.9 B.6 C.4 D.2

[答案] C

[解析] N={(0,0),(1,0),(1,1),(2,1)},按x、y∈M,逐个验证得出N.

10.(文)已知集合{1,2,3,…,100}的两个子集A、B满足:A与B的元素个数相同,且A∩B为空集.若n∈A时,总有2n+2∈B,则集合A∪B的元素个数最多为( )

A.62 B.66 C.68 D.74

[答案] B

[解析] 若24到49属于A,则50至100的偶数属于B满足要求,此时A∪B已有52个元素;集合A取1到10的数时,集合B取4到22的偶数,由于A∩B=∅,∴4,6,8∉A,此时A∪B中将增加14个元素,∴A∪B中元素个数最多有52+14=66个.

含详解答案

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(理)设⊕是R上的一个运算,A是R的非空子集.若对任意a、b∈A,有a⊕b∈A,则称A对运算⊕封闭.下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( )

A.自然数集 B.整数集

C.有理数集 D.无理数集

[答案] C

[解析] A:自然数集对减法,除法运算不封闭,

如1-2=-1∉N,1÷2=1

2

∉N.

B:整数集对除法运算不封闭,如1÷2=1

2

∉Z.

C:有理数集对四则运算是封闭的.

D:无理数集对加法、减法、乘法、除法运算都不封闭.

如(2+1)+(1-2)=2,2-2=0,2×2=2,2÷2=1,

其运算结果都不属于无理数集.

含详解答案

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二、填空题

1

11.(文)已知集合A={x|logx≥3},B={x|x≥a},若A⊆B,则实数a的取值范围是(-

2∞,c],其中的c=______.

[答案] 0

1

[解析] A={x|08

∴a≤0,∴c=0.

(理)(2010·江苏苏北四市、南京市调研)已知集合A={0,2,a2},B={1,a},若A∪B={0,1,2,4},则实数a的值为________.

[答案] 2

[解析] ∵A∪B={0,1,2,4},∴a=4或a2=4,若a=4,则a2=16,但16∉A∪B,∴

a2=4,∴a=±2,又-2∉A∪B,∴a=2.

1

12.(2010·浙江萧山中学)在集合M={0,,1,2,3}的所有非空子集中任取一个集合,

21

该集合恰满足条件“对∀x∈A,则∈A”的概率是________.

x含详解答案

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[答案]

31

3

[解析] 集合M的非空子集有25-1=31

1

个,而满足条件“对∀x∈A,则∈A”的

x111

集合A中的元素为1,2或,且,2要同时出现,故这样的集合有3个:{1},{,2},{1,

22213

,2}.因此,所求的概率为. 231

13.(文)(2010·江苏,1)设集合A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则实数a=________.

[答案] 1

[解析] ∵A∩B={3},∴3∈B,

∵a2+4≥4,∴a+2=3,∴a=1.

(理)A={(x,y)|x2=y2} B={(x,y)|x=y2},则A∩B=________.

[答案] {(0,0),(1,1),(1,-1)}.

含详解答案

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[解析]

A∩B=



x,yx=yx=y

2

2

2



={(0,0),(1,1),(1,-1)}. 

14.若A={x|22x-1≤

111

},B={x|logx≥},实数集R为全集,则(∁RA)∩B=________. 4162

1

[答案] {x|04

11111

[解析] 由22x-1≤得,x≤-,由logx≥得,0421624

111

∴(∁RA)∩B={x|x>-}∩{x|0244

三、解答题

15.设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0}.

(1)若A∩B={2},求实数a的值;

(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.

[解析] (1)A={1,2},∵A∩B={2},∴2∈B,

含详解答案

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∴4+4(a+1)+(a2-5)=0,∴a=-1或-3.

(2)∵A∪B=A,∴B⊆A,

由Δ=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3)=0得,a=-3.

当a=-3时,B={2},符合题意;

当a<-3时,Δ<0,B=∅,满足题意;

当a>-3时,∵B⊆A,∴B=A,

2a+1故

a2-5=2

=-3

,无解.

综上知,a≤-3.

16.(2010·广东佛山顺德区质检)已知全集U=R,集合A={x|x2-x-6<0},B={x|x2+2x-8>0},C={x|x2-4ax+3a2<0},若∁U(A∪B)⊆C,求实数a的取值范围.

[解析] A={x|-22},A∪B={x|x<-4,或x>-2},

∁U(A∪B)={x|-4≤x≤-2},而C={x|(x-a)(x-3a)<0}

(1)当a>0时,C={x|a含详解答案

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(2)当a=0时,C=∅,不成立.

3a<-4

(3)当a<0时,C={x|3aa>-2

4

,即-24

综上知实数a的取值范围是-2,-.

3

17.(文)设集合A={(x,y)|y=2x-1,x∈N*},B={(x,y)|y=ax2-ax+a,x∈N*},问是否存在非零整数a,使A∩B≠∅?若存在,请求出a的值;若不存在,说明理由.

[解析] 假设A∩B≠∅,则方程组

y=2x-1

y=ax2-ax+a

有正整数解,消去y得,

ax2-(a+2)x+a+1=0(*)

由Δ≥0,有(a+2)2-4a(a+1)≥0,

2323解得-≤a≤. 33

因a为非零整数,∴a=±1,

含详解答案

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当a=-1时,代入(*),解得x=0或x=-1,

而x∈N*.故a≠-1.

当a=1时,代入(*),解得x=1或x=2,符合题意.

故存在a=1,使得A∩B≠∅,

此时A∩B={(1,1),(2,3)}.

(理)(2010·厦门三中)已知数列{an}的前n项和为Sn,且(a-1)Sn=a(an-1)(a>0,n∈N*).

(1)求证数列{an}是等比数列,并求an;

(2)已知集合A={x|x2+a≤(a+1)x},问是否存在实数a,使得对于任意的n∈N*,都有Sn∈A?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.

[解析] (1)①当n=1时,∵(a-1)S1=a(a1-1),∴a1=a(a>0)

②当n≥2时,由(a-1)Sn=a(an-1)(a>0)得,

(a-1)Sn-1=a(an-1-1)

∴(a-1)an=a(an-an-1),变形得:

anan-1

=a(n≥2),

含详解答案

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故{an}是以a1=a为首项,公比为a的等比数列,

∴an=an.

(2)①当a≥1时,A={x|1≤x≤a},S2=a+a2>a,∴S2∉A,

即当a≥1时,不存在满足条件的实数a.

②0∵San=a+a2+…+an=

1-a(1-an),

∴San∈[a,1-a),

0因此对任意的n∈N*

,要使Sn∈A,只需a1-a≤1

综上得实数a的取值范围是(0,1

2

].

02

,含详解答案,解得

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