无穷积分的敛散判别法

无穷积分的敛散判别法

摘 要：本文主要介绍了无穷积分的几种敛散判别方法，并对这些方法作一些规律性的分析，总结． 关键词：无穷积分；收敛；柯西准则；发散

The convergence and divergence method of infinite integral

Abstract：this article mainly introduces several kinds of infinite integral convergence and divergence discrimination method，and the method for some regularity analysis ,summary.

Key Words：Infinite integral; Convergence ;Cauchy criterion;Divergence

前言

我们知道当讨论定积分时要考虑两个条件：一是积分区间时必须是有限闭区间；二是被积函数必须是有界函数．但实际应用中会遇到积分的上限或下限趋于无穷大的情况，这时虽然可以用牛顿－莱布尼茨公式再求极限来解决，但是，如果被积函数的原函数不是初等函数，那么，就不能用上面的方法来解决问题了．这时，这个问题就变成积分上限函数当上限趋于无穷大时的极限是否存在的问题．这即是所谓的反常积分的敛散性问题．这里我们给出几种判断无穷积分敛散的方法．

1 无穷积分的定义

1

定义：设函数f定义在无穷积分区间[a,)上，且在任何有限区间[a,u]上可积．如果存在极限

u

ualimf(x)dxJ

则称此极限J为函数f在[a,)上的无穷限反常积分（简称无穷积分），记作

a并称af(x)dxJ

f(x)dx收敛．如果极限不存在，为方便起见，亦称af(x)dx发散．

类似地，可定义f在(,b]上的无穷积分：

f(x)dxulimbbuf(x)dx

对于在(,)上的无穷积分，他用前面两种无穷积分来定义：

f(x)dxaf(x)dxbf(x)dx，

其中a为任一实数，当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的．

2无穷积分的性质

性质1

若af1(x)dx与af2(x)dx都收敛，k1,k2为任意常数，则

2

a也收敛，且

[k1f1(x)k2f2(x)]dx

a[k1f1(x)k2f2(x)]dxk1af1(x)dxk2af2(x)dx

f(x)dxf(x)dx性质2 若f在任何有限区间[a,u]上可积，ab，则a与b同敛态，且有

a其中右边第一项是定积分．

f(x)dxf(x)dxabbf(x)dx

性质3 若f在任何有限区间[a,u]上可积，且a|f(x)|dx收敛，则af(x)dx亦必收敛，并有

|af(x)dx||f(x)|dxa

当a|f(x)|dx收敛时，称af(x)dx为绝对收敛．性质3指出：绝对收敛的无穷积分他自身也

一定收敛．但是它的逆命题一般不成立，并称收敛而不绝对收敛者为条件收敛．

3无穷积分的敛散判别法

3.1 定义法

根据定义我们可以得到判断无穷积分a收敛的一个最基础的方法．

f(x)dx收敛的一个方法，这是证无穷积分af(x)dx3

例1[1] 讨论无穷积分

1dxxp的敛散性．

解 由于当p1时，

dx1u1p1px1p，

当p1时，

u1uu1dxlnuxp，

所以当p1时，

u1limdx1udxlimxpp1，而当p1时，u1xp．

1所以当p1时收敛，其值为p1；当p1时发散于．

3. 2 柯西准则

u由定义知道，无穷积分af(x)dx收敛与否，取决于函数

F(u)f(x)dxa在u时是否存在

极限．因此可由函数极限的柯西收敛准则导出无穷积分收敛的柯西准则．

定理有

1[２]

无穷积分af(x)dx收敛的充要条件是：任给0，存在Ga，只要u1、u2G便

|

u2af(x)dxf(x)dx||f(x)dx|au1u1u2

4

因此我们可以利用柯西准则的充分性来证无穷积分af(x)dx是否收敛．

在下面证明狄利克雷判别法时就用到了柯西准则来判别无穷积分的收敛与发散．

3. 3 比较判别法

这是无穷积分的绝对收敛判别方法．

uu由于a|f(x)|dx关于上限u是单调递增的，因此

a|f(x)|dx|f(x)|dxa收敛的充要条件是存在

上界．根据这一分析，我们得到下述比较判别法：

定理2（比较法则） 设定义在[a,)上的两个函数f和g都在任何有限区间上[a,u]可积，且满足

|f(x)|g(x)，x[a,)

则当ag(x)dx收敛时a|f(x)|dx必收敛（或者，当a|f(x)|dx发散时，ag(x)dx必发散）．

例2 讨论

0sinxdx1x2的收敛性

sinxsinx11||dx2201x2x[0,)01x21x1x2解 由于，，且收敛，根据比较法则，为绝对

收敛．

我们又可得到比较法则的极限形式：

5

若f和g都在任何有限区间上[a,u]可积，g(x)0，且

limxf(x)cg(x)，则有：

(i) 当0c时，a|f(x)|dx与ag(x)dx同敛态；

(ii) 当c0时，由ag(x)dx收敛可推知a|f(x)|dx也收敛；

(iii) 当c时,由ag(x)dx发散可推知a|f(x)|dx也发散.

当选用作为比较对象时，比较判别法及其极限形式就是柯西判别法：

设f定义于[a,)，在任何有限区间上[a,u]可积，且

limxp|f(x)|x

则有：

(i) 当p1,0时，a|f(x)|dx收敛；

(ii) 当p1,0时，a|f(x)|dx发散．

例3 讨论无穷积分

1ln(1x)dxxn的敛散性

1n，解 当n1时，取，则xlimxln(1x)ln(1x)ln(1x)lim0dxn1xxnxnx．由柯西判别法知

6

收敛．

ln(1x)ln(1x)limxlimln(1x)dxnn1xxn1xx当时，则．由柯西判别法知收敛．

n3. 4 狄利克雷判别法与阿贝尔判别法

u定理3（狄利克雷判别法） 若调趋于零，则aF(u)f(x)dxa在[a,)有界，g(x)在[a,)上当x时单

f(x)g(x)dx收敛．

证 由条件设时，有

|f(x)dx|M,u[a,)au．任给0，由于xlimg(x)0，因此存在Ga，当xG|g(x)|4M．

又因为g(x)为单调函数，利用积分第二积分中值定理，对于任何u2u1G，存在[u1,u2]，使得

u于是有

u21f(x)g(x)dxg(u1)f(x)dxg(u2)f(x)dxu1u2．

|u2u1f(x)g(x)dx||g(u1)||f(x)dx||g(u2)||f(x)dx|u1u2

|g(u1)||f(x)dxf(x)dx||g(u2)||au1u2aaf(x)dxf(x)dx|a

7

4M2M4M2M

根据柯西准则，证得af(x)g(x)dx收敛．

定理4（阿贝尔判别法） 若a收敛．

f(x)dx收敛，g(x)在[a,)上单调有界，则收af(x)g(x)dx例4 讨论无穷积分

1sinxdxpx的敛散性．

dxsinxsinx1|dxpppp11p1x[1,)p1x，x解 当时，因为x，而x当时收敛，则由比较法知

|收敛且绝对收敛．

1sinxdx||cos1cosu|2p，而x当p0时单调趋于零

|当0p1时，因为对任意u1的，有1u（x），故由狄利克雷判别法知

1sinxdxxp当p0时总是收敛的．

但另一方面，由于

sinxsin2x1cos2x|p|xx2x2x，x[1,)，

其中

11cos2x1costdxdxdx212x2t2x是发散的，因此当满足狄利克雷条件，是收敛的，而

0p1时该无穷积分不是绝对收敛的．所以它是条件收敛的．

8

当p0时，有定义可知该积分发散．

sinxdxxp在p1时绝对收敛，0p1时条件收敛，p0时发散．

所以由以上讨论可知，

13. 5 根值判别法

f(x)dxlimf(x)f(x)[a,)1ax定理5 设为上的非负函数，若则当时，反常积分收

xf(x)dx1a敛；当时，反常积分发散．

证 (i)取

1,(01)2，

存在A0，任给xA时，

1212，

xf(x)12xf(x)10,(001)2，

f(x)0,xA

而

111x0|alim(0x0a)0axlnxlnln000

9

a

0xdxlim

收敛．从而af(x)dx收敛．

(ii)由1，取

120，

存在A0，任给xA时，有

1212

xf(x)12xf(x)1,11，

f(x)1x,xA．

而

11x1|alim(1x1a)xlnxln11

a发散，故a1xdxlimf(x)dx发散．

1例5 讨论无穷积分

2x1axxdx的敛散性(a0)．

解 记

10

f(x)2x1axx0，

则

21ax， xf(x)所以

2a．

limxxf(x)1因此当a2时，无穷积分

2x1axxdx1收敛；当(0a2)时，无穷积分

2x1axxdx发散．

注 对于形如1f(x)dx的无穷积分常用的判别法是用xlimxf(x)进行判别，但此题求极限

limxf(x)limxx2x1ax xx非常困难！

3. 6 对数判别法

11

定理6 若f(x)函数在[1,)上连续，对任意x[1,)有f(x)0，又有

f(x)limln|xf(x)|xlnlnx，

(i)若1，则无穷积分1f(x)dx收敛；

(ii)若1，则无穷积分1f(x)dx发散；

(iii)若1，则无穷积分1f(x)dx可能收敛也可能发散．

证 因为

ln|xf(x)|xlnlnx

lim所以对任意的0存在X1，当xX时

ln|xf(x)|lnlnx，

即

ln(lnx)ln|xf(x)|ln(lnx)，

故

11f(x)x(lnx)x(lnx)，

12

利用比较判别法知

1x(lnx)，知1f(x)dx收敛；

当1时，取1，即1，由

f(x)1f(x)f(x)dxx(lnx)111当时，取，即，由，知发散；

当1时，考察无穷积分

dx,(p0)pxlnx(lnlnx),

2易知当(p1)时收敛，当(p1)时发散，但对任意p0都有

1)lnlnxplnlnlnxplnlnlnxxlnx(lnlnx)p1xlnxxlnxxlnx

ln(xf(x))xlnxln(x注意到

plnlnlnxplim0xxlnxlnlnx

limx所以

ln(xf(x))1xxlnx，

lim即当1时，无穷积分可能收敛，也可能发散．

13

同理可证：当为时，即

ln(xf(x))xxlnx

lim无穷积分1f(x)dx必收敛．

此定理为我们提供了一个判别无穷积分的新方法．利用洛必达法则我们可以得到如下的推论．

limf(x)0f(x)f(x)0[1,)x[1,)若在上连续，对任意的有，x又

推论

xf'(x)limlnx1xf(x)，则当为定理的各种情况，都有相同的结论成立．

证 由洛必达法则和已知条件知

1'f(x)xf(x)lnxf(x)xf'(x)xf(x)limlimlimlnx1xxx11lnlnxf(x)lnxx．

故推论的结论成立．

1xdxln2x的敛散性．

例6 [６] 讨论无穷积分

sin11f(x)2xlnx在[1,)上连续，对任意x[1,)的有f(x)0，又 解 这里

sin 14

1ln(xsin)lnxf(x)xlimlim22xxlnlnxlnlnx，

这里2，由定理6知，则无穷积分

sin11xdxln2x收敛．

参考文献：

[1] 华东师范大学数学系．数学分析[M]．北京：高等教育出版社，2003．

[2] 华东师范大学数学系．数学分析习题解析[M]．上海：华东师范大学出版社，2003．

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