46
卷第
1
期
浙江工业大学学报
Vol. 46 No. 1Feb. 2018
2018 年 2 月 JOURNAL OF ZHEJIANG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
一
种新的变步长L
彭
宏
MS
算法及分析
，陈泓宇
(浙江工业大学信息工程学院，浙江杭州310023)
摘较法参够步关中
要大
：LMS
；当过进到调词分
行较整步建分小的
算长立析的缺适
法因步
存子长
在过和算
收小误法
敛，则差计在结
速收
度敛
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步长因一初变法
因此种期化比
子，渐新能，克已
过渐的够服有
大发变得了算
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误长且态范性
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号
；变步长自适文
应献
滤标
波志
MS
文
算法章
编
号
：TN911 ：A = 1006-4303(2018)01-0045-06
A new variable step size LMS algorithm and its analysis
PENG Hong, CHEN Hongyu
(College of Information. Engineerings Zhejiang University of Technology» Hangzhou 310023» China)
Abstract ： There is a contradiction between convergence speed and steady-state error in the LMS
algorithm. When the step size factor is too large, the convergence speed is fast, but the error change is larger. Otherwise,the convergence speed is slow but the error is stable. Therefore, a variety of variable step size LMS algorithms are developed gradually. A new variable step size LMS algorithm is proposed by establishing a nonlinear function relationship between step size and error. The algorithm is simple with low computational complexity. In the early convergence, the algorithm can get a larger step early； in the steady period, the algorithm can get a small step, and the step change is slow in steady-state convergence stage. It overcomes the shortcomings in the step size adjustment of traditional algorithm in the low error range. The simulation results are in good agreement with the theoretical results, which show that the proposed algorithm has better convergence performance than the existing algorithms.
Keywords ：
adaptive filtering ； variable step size adaptive filtering algorithm； convergenceperformance ； LMS algorithm
随着技术的发展，人们的生活水平不断提高，人 们对于通信设备的使用需求大大增加，需求增加的 同时人们对通信服务质量的要求也在不断提高，其 中就包括噪声消除.自适应滤波技术M
作为当前主
流的噪声消除模块被大量应用于通信、雷达和车载
收稿日期=2017-02-20
基金项目：国家自然科学基金资助项目（61372087)
系统等众多领域，其理论模型最早于I960年由
Widrow和Hoff提出.它作为信号处理方向的具体
应用分支，能够根据系统环境和噪声特点自适应地 改进滤波器的滤波参数，使得滤波器能够动态地调 整输人信号，提取有用信号，达到最佳滤波的效
作者简介：彭宏（1970—），女，湖北武汉人，副教授，研究方向为多媒体数字通信和通信信号处理，E-mail:Ph@z：iut. edu. m.
• 46 •浙江工业大学学报第46卷
果[3]. Kwong等[4]提到的经典LMS算法计算简便， 但是算法中的固定步长无法满足收敛速度和稳态误 差之间的矛盾；曾召华等[5]提到的NLMS算法虽然 克服了 LMS算法中固定步长产生的收敛速度和稳 态误差之间的矛盾，但是其步长受到了信号噪声的 影响；覃景繁等[6]提出了一种基于Sigmoid函数的 变步长LMS算法，该算法能获得较快的收敛速度， 较小的稳态误差，但是算法较复杂，计算量大，且在 误差接近于〇时会有较大的步长调整，不利于算法 稳定；杨逸等[7]提出了一种指数因子变步长算法，该 算法原理相似，同样能获得较快的收敛速度，但同样 算法较复杂.
笔者主要针对语音通信系统环境，建立了一种 新的步长和误差的非线性函数关系，提出了 一种新 的变步长LMS算法，算法简单易计算.此算法在收 敛初期能够产生较大的步长，而在收敛稳态期能够 产生较小的步长，符合算法的收敛原则.而且此算法 在收敛稳态时具有较小的步长调整过程，克服了传 统算法在收敛稳态期步长调整过大的缺陷，符合算 法的稳定原理.同时也对新算法的参数进行仿真 分析.
1
固定步长
LMS算法
LMS算法是固定步长的线性自适应滤波算 法[8]，它是依据有用信号和实际输出信号的误差 的均方值来协调步长，用其来改善滤波器参数，因 其每次改变的步长为固定值//，因此称为固定步长 滤波算法.图1为语音通信系统中的自适应滤波器 的原理框图.信号源发出的信号以〃）作为原始期 望信号被传入滤波器中.由于现实因素影响，实际 接收到的信号并不是单纯的有用信号，容易被待 滤除信号汰〃）干扰.因此，真正输入信号为待滤除 信号和有用信号的叠加信号X(77). 3；(77)为经由滤 波器滤波后的输出信号，€(〃）为输出信号和期望 信号的误差.
图
1 自适应滤波器滤波框图
Fig. 1 Frame diagram of adaptive filter
将有用信号和待滤除信号叠加后的信号
传入自适应滤波器，通过自适应滤波后输出的信号 3^幻与原期望信号以〃）进行比较，得到误差信号 e(n)，通过误差信号的反馈来修改自适应算法的滤 波参数来逐渐地调整自适应滤波器的收敛. 在理想情况下，自适应滤波后的输出信号会无限接 近于原始期望信号，§卩均方值无限接近〇，在此 情况下，即认为完美滤波.
在通信系统中，假定图1中的自适应滤波器为 FIR滤波器[91°]，而信号输入端的原始信号输入矢 量和自适应参数W(〃）分别设置为
X(n) =
[x(n) —l)，.\"，x(?7 — m + 1)]T
W(n) = \\^vuO(n) ^vulin)
fVum 一1 (n)]T
其中：m为滤波器阶数为当前取样点.
LMS算法的主要步骤如下：1) 对算法进行初始化，即
W(n) =
0
2) 对实际输入信号x(w)进行滤波，得到输出
信号:V(w)，即
y(n) =
^ ^ (n)x(n 一 k)
= WT (n)X(n)
k^O
3) 通过比较期望信号和输出信号来得到误信号，即
e(n) = d{n) —y(n)
4) 由得到的误差信号来调整W(n)，即
W(n + 1) =
W(n)+
2fjX
(n)e(n)
反复不断地重复步骤2)〜4)直到误差趋于0 且稳定.式中^为步长因子，为固定常数值，它的收 敛范围为〇 < // < 1/Amax，Amax为输入信号方差矩阵 的最大特征值+
主要是用来控制算法的收敛速度
和稳态误差，如果//过小，则算法收敛慢但是稳定； 如果//过大，则算法收敛速度很快但是不稳定.因 此，固定步长自适应滤波算法虽然简单易实现，但是 它存在收敛速度和稳定性上的矛盾，需要通过一种 变步长的自适应滤波算法来克服这种矛盾.
2
一种新的变步长
LMS算法
根据覃景繁等[11]提出的步长调整原理，合格的 变步长算法应能在算法收敛初期产生较大的步长来 得到较快的收敛速度，从而能够更快地得到期望信 号.而在收敛稳态期，这时算法的权值量已经非常接 近最优值了，需要算法能够保持较小的步长来保持
稳态，防止产生较大的误差，从而达到较小的稳态误 差.当前的变步长LMS算法虽然能够满足步长调整 原理，但是大多算法无法在收敛稳态期保证步长的
差
第1期
彭宏，等：一种新的变步长
LMS算法及分析
• 47 •
缓慢变化，常常会有稳态期较小的误差变化而导致 步长的极大变化，从而造成一系列连锁的较大误差， 不利于算法稳定性.覃景繁等[6]提到的算法虽然拥 有较快的收敛速度，但是在低误差的情况下拥有较 大的步长变化度，不利于稳定性.因此，笔者提出了 一种新的变步长算法，建立了一种新的步长和误差 的非线性关系.此算法完全满足上述的步长变化原 则，计算简便，复杂度低.而且新算法能够使步长在 收敛稳态期不会产生较大的变化，防止偶尔误差的 变化导致步长的极大变化，增大算法的适应性，有利 于算法稳定性.新的步长因子为
\"
\\
exp[| e(n) \\因此，新的迭代公式为
W(n + 1)
= W〇7)+«|l
exp[| e(n) |^]
)e(n)X(n)式中w为参数，主要是用来控制步长的变化范围； 卢为参数，主要是控制步长变化函数的变化陡峭 程度.
步长//和误差WV)的关系如图2,3所示.当在 收敛初级误差较大时，能对应有较大的步长来得 到较快的收敛速度；而在收敛稳态期误差较小时， 能对应有较小的步长来得到缓慢的收敛速度，符 合算法的收敛原理.从图2，3中可以看出：算法在 收敛稳态期误差趋于〇时的步长变化梯度比较平 缓，能够使算法由于偶然的误差激荡造成的步长 变化不会那么大，符合算法的稳定原理.因为只有 当//满
足
1/Amax时，算法才会收敛，所以a
和卢必须要保证使//符合要求.而并不是所有满足 条件的《和都能使算法在收敛初期使步长较大， 收敛稳态期使步长变小.如图2所示，假如收敛初 期的误差为 0.5,则 = 0.2，/? = 1.5 和 = 0.2, /? = 2的2组能够在初期较快的收敛，而《 = 0. 2, 卢=4的那组由于在初期没有获得较大的步长，无 法获得较好的收敛效果.在满足算法收敛的前提 下，需要尽可能的小.而如图3所示，假如收敛初 期的误差为0.6,则<2=0.8，/?=1.5那组能够在初 期较快的收敛，而《 = 0.2，/?= 1.5的那组无法获 得较好的收敛效果.在满足算法收敛的前提下，a需要尽可能的大.
在卢相同的情况下，选择较大的a能获得较快收 敛速度的同时也会产生较大的稳态误差.对参数a 的取定要根据实际的应用环境，对收敛速度有较高 要求的话，可以选择较大的a值;对稳态误差有较高 要求的话，则应该选择合适的a值.
图
2 不同参数下误差和步长关系的曲线图
Fig. 2 Graph of the relationship p
of error and step
size in different 图3
不同a参数下误差和步长关系的曲线图
Fig. 3 Graph of the relationship a
of error and step
size in different 3
算法仿真
为了分析给出的变步长L M S算法的收敛能力
以及a和p对算法收敛性能的影响，通过Matlab仿 真工具[12]来对新算法的稳态误差和收敛速度等方 面进行仿真分析.选择原始期望信号= sin(2Trrz/l〇)，待滤除丨旨号是均值为0，丨旨噪比为 20 dB的加性白噪声，滤波器阶数为8.在进行100次独立仿真实验后，取误差的平均值作为最后的稳态误差考量标准.
图4为《固定不变、不同时的收敛曲线图.从 图4中可以看出：随着值的减小，算法的收敛速度 逐渐提升，不能小于1.如果/?< 1，则算法在稳态误 差趋于〇时会有较大的步长变化度，不符合步长变
• 48 •浙江工业大学学报第46卷
化原理.在实验中，当/?=1. 1时，算法会出现不收敛 的情况，因此实验的最佳约为1.2.
4 不同P参数的收敛曲线图
Fig. 4 The convergence curves of the different p
图
5 不同a参数的收敛曲线图
Fig. 5 The convergence curves of the different a
图
图5为固定不变、a不同的收敛曲线图.从图6 中可以看出：随着a值的增大，算法的收敛速度逐渐 提升，a不能大于1/Amax.如果大于1/Amax，则算法会
发散.在实验的条件中，当a = 0.9时，算法会发散， a为〇. 8〜0. 9时，有时会出现不收敛情况，因此实验的最佳a约为0. 8.
6 互不相同的2组a和p值的收敛曲线比较图
Fig. 6 The comparison of convergence curves of the different a and different p
图
图6给出的为2组不同的参数《和值的收 敛比较图，从图中看出a =0.2，/?= 4的收敛曲线 由于参数的设置导致收敛初期的步长较小导致
收敛速度过慢，而a = 〇. 8，/?= 1. 2的收敛曲线由 于参数设置使算法能在收敛初期得到一个合适的步长来完成快速收敛，满足变步长步长调整原
第1期
彭宏，等：一种新的变步长
LMS算法及分析
• 49 •
则，使算法有较好的收敛性能，与上述的理论分 析一致.
刘剑锋等[13]提出了一种基于Lorentzian函数 的变步长LMS算法，该算法通过Lorentzian函数来 关联误差和步长.卢炳乾等[14]提出了一种基于正弦 函数的变步长LMS算法，该算法通过正弦函数来构 造了误差和步长的非线性关系.罗小东等[15]提出了
一
端输人信号为= sin(27n7/10)，加性干扰信号 为白噪声，滤波器阶数为8，采用各自参考文献中的 最佳参数值.其中基于Lorentzian函数的变步长
LMS
算法的算法参数设置为：a = 0.05 3= 0.01;
MS
基于正弦函数的变步长L
LMS
算法的算法参数设置
为:a = 10，/?= 0.04;基于Sigmoid函数的变步长
算法的算法参数设置为a = 300，/?= 0. 2.仿真 图7中仿真结果显示：新算法在不同的信噪比
种基于Sigmoid函数的变步长LMS算法，该算法 100次求平均误差统计出曲线图.
下，均比其他3种算法拥有更好的收敛性能，因此新 算法在自适应滤波上具有更好的适用性.
通过Sigmoid函数来构造误差和步长的函数关系. 图7是新算法与3种已有变步长LMS算法在不同信 噪比下的收敛比较图.采用本文献中的条件，主输人
(a)信噪比为10 dB
(b)信噪比为20 dB
(c)信噪比为10dB
图7新算法与3种变步长LMS算法在不同信噪比下的收敛比较图
Fig. 7 The convergence curves of proposed algorithm and three existing variable step size LMS algorithm in different SNR
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针对语音通信的情况下，通过将仿真环境中的 正弦波替换成语音信号来验证新算法的优劣性.同 样采用图7中的算法参数，滤波器阶数为32,噪声 信号为信噪比为20 dB的白噪声，采样频率为
8 kHz.图8为语音信号和带噪信号的波形图，图9 展示了各算法滤波后的语音波形.仿真结果显示，新 算法相对于其他算法具有较好的滤波能力，在语音 信号处理上具有一定的适用性.
(a)语音信号
8语音信号与带噪信号波形图
Fig. 8 The waveform of speech signal and noise signal
图
时间/s
(b)带噪信号
(a)正弦函数
图9
时间/s
（b) Sigmoid函数
时间/s
基于各函数的变步长LMS算法滤波后的信号波形
Fig. 9 The waveform after filtering by the variable step-size LMS algorithms base on different functions
4
结论
特性.下一步需要对算法参数进行精度上的进一步提 升，同时对算法的限制性进行进一步的研究.参考文献：
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研究了传统的固定步长LMS算法的优缺点，针对 其缺陷和现在变长算法步长调整原理，提出了一种 新的变步长LMS算法.新算法通过建立一种新的步长 和误差之间的非线性函数关系来实现步长的变化，并 同时对新算法的各个参数进行分析.该算法有在收敛 初期产生较大的步长同时在稳态期产生较小的步长来 缓解稳态误差的特点.同时，该算法克服了传统算法在 收敛稳态期步长变化过快的不足.理论分析和实验仿 真都验证了该算法相对于已有算法都具有较好的收敛
紅工业大学学报，2013，41(1): 84-90.
(下转第82页）
• 82 •浙江工业大学学报第46卷
长1 546 nm附近实现了带通滤波.这一带通滤波器 只需要单根DCF就可制作，同其他LPFG带通滤波 器相比，具有制作简单、成本低廉和结构稳定的优 点.同时通带的透过率可以通过调节压力而改变，通 带的中心波长位置也可以通过调节弹簧节距来改 变，从而使带通滤波器的透射谱在一定范围内可调 谐.这一光纤带通滤波器不仅可用于光纤激光器的 波长选择，还可用于光纤传感器及波分复用器件等.
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(责任编辑：刘岩）
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(责任编辑：刘岩）
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