2019年上海市松江区第二次高考模拟高三数学试卷(含答案)

2019.5

松江区第二学期期中质量监控试卷

高三数学

（满分150分，完卷时间120分钟） 20xx.4

一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．

x1．已知f(x)21，则f1(3) ▲ ．

2．已知集合Mxx11,N1,0,1,则MN ▲ ．

3．若复数z1a2i,z22i（i是虚数单位），且z1z2为纯虚数,则实数a= ▲ ．

x22t4．直线（t为参数）对应的普通方程是 ▲ ．

y32t5．若(x2)xaxnnn1 bxcnN,n3，且b4c，则a的值为 ▲ ．6．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是 ▲ ．

7．若函数f(x)2(xa)1在区间0,1上有零点，则实数a的取值范围是 ▲ ．

8．在约束条件x1y23下，目标函数zx2y的最大值为 ▲ ．

9．某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是

x664主视图 4左视图 1，则34这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是 ▲ ．

y210．已知椭圆x210b1的左、右焦点分别为F1、F2，记F1F22c．若此椭

b2俯视图 1圆上存在点P，使P到直线x的距离是PF1与PF2的等差中项，则b的最大值

cQ P A 为 ▲ ．

11．如图同心圆中，大、小圆的半径分别为2和1，点P在大圆上，PA与小圆相切于点A，

Q为小圆上的点，则PAPQ的取值范围是 ▲ ．

12．已知递增数列an共有2017项，且各项均不为零，a20171，如果从an中任取两项

ai,aj，当ij时，ajai仍是数列an中的项，则数列an的各项和S2017 ▲ ．

二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

b分别是两条异面直线l1、l2的方向向量，b夹角的取值范围为A，l1、l2所13．设a、向量a、成角的取值范围为B，则“A”是“B”的 (A) 充要条件 (B) 充分不必要条件 (C) 必要不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件 14． 将函数ysinx12图像上的点P,t向左平移s(s0)个单位，得到点P，若43，s的最小值为 263，s的最小值为 212P位于函数ysin2x的图像上，则

(A) t(C) t1，s的最小值为 26

(B) t(D) t1，s的最小值为 212

15．某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的函数关系如图所示（收支差额车票收入支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(Ⅰ)不改变车票价格，减少支出费用；建议(Ⅱ)不改变支出费用，提高车票价格，下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则 y O y y y x ① O ② x O ③ x O ④ x (A) ①反映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ）

(B) ①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ） (C) ②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ） (D) ④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ） 16．设函数yf(x)的定义域是R，对于以下四个命题：

(1) 若yf(x)是奇函数，则yf(f(x))也是奇函数； (2) 若yf(x)是周期函数，则yf(f(x))也是周期函数； (3) 若yf(x)是单调递减函数，则yf(f(x))也是单调递减函数； (4) 若函数yf(x)存在反函数yf数yf(x)x也有零点．

其中正确的命题共有 (A) 1个

三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

17．（本题满分14分；第1小题6分，第2小题8分）

直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，ABAC，ABAC2，AA14，M是侧棱CC1上B1 一点，设MCh．

(1) 若BMA1C，求h的值；

(2) 若h2，求直线BA1与平面ABM所成的角．

18．（本题满分14分；第1小题6分，第2小题8分）

设函数f(x)2，函数g(x)的图像与函数f(x)的图像关于y轴对称． (1)若f(x)4g(x)3，求x的值；

(2)若存在x0,4，使不等式f(ax)g(2x)3成立，求实数a的取值范围．

x1(x)，且函数yf(x)f1(x)有零点，则函

(B) 2个 (C) 3个 (D) 4个

A1 C1 M A B C

19．（本题满分14分；第1小题6分，第2小题8分）

如图所示，PAQ是某海湾旅游区的一角，其中PAQ120，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸AP和AQ上分别修建观光长廊AB和AC，其中AB是宽长廊，造价是800元/米，AC是窄长廊，造价是400元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段BC上靠近点B的三等分点D处建一个观光平台，并建水上直线通道AD（平台大小忽略不计），水上通道的造价是1000元/米．

(1) 若规划在三角形ABC区域内开发水上游乐

项目，要求△ABC的面积最大，那么AB和

Q C AC的长度分别为多少米？

(2) 在(1)的条件下，建直线通道AD还需要多少钱？

20．（本题满分16分；第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）

A

D B P

设直线l与抛物线y4x相交于不同两点A、B，与圆(x5)yr(r0)相切于点M，且M为线段AB中点．

(1) 若△AOB是正三角形（O是坐标原点），求此三角形的边长； (2) 若r4，求直线l的方程；

(3) 试对r0,进行讨论，请你写出符合条件的直线l的条数（直接写出结论）．

21．（本题满分18分；第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）

对于数列{an}，定义Tna1a2a2a32222

anan1，nN*．

(1) 若ann，是否存在kN*，使得Tk2017？请说明理由； (2) 若a13，Tn61，求数列an的通项公式；

nT22T1 (3) 令bnTn1Tn12Tnn1n2,nN*，求证：“{an}为等差数列”的充要条件是

“{an}的前4项为等差数列，且{bn}为等差数列”．

松江区二模考试数学试卷题（印刷稿）

（参考答案）20xx.4

一．填空题（本大题共54分）第1～6题每个空格填对得4分，第7～5题每个空格填对得5分

1． 2 2．{1,0} 3．1 4．xy10 5．16 6．410 7． [31211 ．[33,33] 12．,1] 8．9 9． 10． 1009

2 29

二、选择题 （每小题5分，共20分） 13． C 14．A 15. B 16．B

三．解答题（共78分）

17．[解]（1）以A为坐标原点，以射线AB、AC、AA1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则B(2,0,0),A1(0,0,4)，C(0,2,0)，M(0,2,h) ……………………2分

BM(2,2,h)A1C(0,2,4) ……………………4分

由BMA1C得BMA1C0，即224h0

解得h1． ……………………6分 (2) 解法一：此时M(0,2,2)

，

z A1 B1 C1 AB2,0,0,AM0,2,2,BA12,0,4……………8分

设平面ABM的一个法向量为n(x,y,z)

M A B x C y nAB0x0由得 nAM0yz0所以n(0,1,1) ……………………10分 设直线BA1与平面ABM所成的角为

则sinnBA1nBA1410 ……………12分 5220所以直线BA1与平面ABM所成的角为arcsin解法二：联结A1M，则A1MAM，

10 ………………14分 5ABAC,ABAA1，AB平面AAC11C …………………8分 ABA1M A1M平面ABM

所以A1BM是直线BA1与平面ABM所成的角； ……………………10分 在Rt△A1BM中，AM22,A1B210 1所以sinA1BMA1M2210 ……………………12分 A1B210510 510 ………………14分 5x所以A1BMarcsin所以直线BA1与平面ABM所成的角为arcsin

18．[解]（1）由f(x)4g(x)3得242x3 ……………………2分

22x32x40

所以21（舍）或24， ……………………4分 所以x2 ……………………6分 （2）由f(ax)g(2x)3得2axxx22x3 ……………………8分

2ax22x32a2x32x ……………………10分

而232axx23，当且仅当2x32x,即xlog430,4时取等号…12分

所以223，所以a1

1log23．………………………………14分 219．[解]（1）设AB长为x米，AC长为y米，依题意得800x400y1200000， 即2xy3000， ………………………………2分

31xy …………………………4分 SABCxysin12042332xy22xy=2812503m 882当且仅当2xy，即x750,y1500时等号成立，

所以当△ABC的面积最大时，AB和AC的长度分别为750米和1500米……6分 （2）在(1)的条件下，因为AB750m,AC1500m． 由AD2221ABAC …………………………8分 33212得ADABAC

3322441ABABACAC …………………………10分 999441175027501500()15002250000 9929|AD|500， …………………………12分

1000500500000元

所以，建水上通道AD还需要50万元． …………………………14分 解法二：在ABC中，BCAB2AC22ABACcos120

75021500227501500cos1207507 ………8分

AB2BC2AC2 在ABD中，cosB

2ABAC7502(7507)21500227 …………………………10分 727507507在ABD中，ADAB2BD22ABBDcosB

27=500 …………12分 77502(2507)22750(2507)1000500500000元

所以，建水上通道AD还需要50万元． …………………………14分 解法三：以A为原点，以AB为x轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(750,0)

C(1500cos120,1500sin120),即C(750,7503)，设D(x0,y0) ………8分

x0250由CD2DB，求得， 所以D250,2503 …………10分

y02503所以，|AD|(2500)(25030)500……………………12分

221000500500000元

所以，建水上通道AD还需要50万元． …………………………14分

20．[解] (1)设△AOB的边长为a，则A的坐标为(31a,a)………2分 2231所以a4a,所以a83 22此三角形的边长为83． ……………………………4分 (2)设直线l:xkyb

当k0时，x1,x9符合题意 ……………………………6分

2xkyby24ky4b0当k0时，2…………………8分

y4x

16(k2b)0,y1y24k,x1x24k22bM(2k2b,2k)

kABkCM1,kABkCM1 k2k2kb32k 22kb516(k2b)16(3k2)00k23

4r5b1k221k2 k230,3，舍去

综上所述，直线l的方程为：x1,x9 ……………………………10分

(3)r0,24,5时，共2条；……………………………12分

r2,4时，共4条； ……………………………14分 r5,时，共1条． ……………………………16分

21．[解]：（1）由ann0，可知数列{Tn}为递增数列，……………………………2分 计算得T1719382017，T1822802017，

所以不存在kN*，使得Tk2017； ………………………4分

n*（2）由Tn61，可以得到当n2,nN时，

anan1TnTn1(6n1)(6n11)56n1， ……………………6分

又因为a1a2T15，

n1*n* 所以anan156,nN， 进而得到an1an256,nN，

两式相除得

an26,nN*， an所以数列{a2k1}，{a2k}均为公比为6的等比数列， ……………………8分 由a13，得a21n236所以ann256235， 3n2k1,kN*n2k,kN*；

……………………10分

（3）证明：由题意b1T22T1a2a3a1a2，

* 当n2,nN时，bnTn1Tn12Tnan1an2anan1，

* 因此，对任意nN，都有bnan1an2anan1． …………12分

必要性()：若{an}为等差数列，不妨设anbnc，其中b,c为常数， 显然a2a1a3a2a4a3，

22 由于bnan1an2anan1=an1(an2an)2bn2b2bc， 2* 所以对于nN，bn1bn2b为常数，

故{bn}为等差数列； …………14分 充分性()：由于{an}的前4项为等差数列，不妨设公差为d

当nk3(k1)时，有a4a13d,a3a12d,a2a1d成立。…………15分 假设nk3(k1,kN)时{an}为等差数列，

即ak3ak3d,ak2ak2d,ak1akd …………16分 当nk4(k1,kN)时，由{bn}为等差数列，得bk2bk2bk1， 即：(ak3ak4ak2ak3)(ak1ak2akak1)2(ak2ak3ak1ak2)， 所以ak4**3ak2ak33ak1ak2akak1 …………17分

ak33(ak2d)(ak3d)3(akd)(ak2d)ak(akd)

ak3d ak27akd12d2 ak4d，

ak3d 因此ak4ak3d，

综上所述：数列{an}为等差数列． …………18分