2022年中考数学几何模型之动点最值之瓜豆模型(讲+练)(原卷版)

模型一、运动轨迹为直线

问题1：如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？

AQBPCA

QBPNMC

解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．

理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 问题2：如图，点C为定点，点P、Q为动点，CP=CQ，且∠PCQ为定值，当点P在直线AB上运动，Q的运动轨迹是？

解析：当CP与CQ夹角固定，且AP=AQ时，P、Q轨迹是同一种图形，且PP1=QQ1 理由：易知△CPP1≌△CPP1，则∠CPP1=CQQ1，故可知Q点轨迹为一条直线. 模型总结：

条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量．

结论：① 主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形； ② 主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角

③ 当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运动路径长；

例1.如图，在平面直角坐标系中，A（－3，0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值．

例2.如图，已知点A是第一象限内横坐标为23的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y＝－x于点N，若点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是________．

【变式训练1】如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，求CG的最小值是多少？

【变式训练2】如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E在AB上，点D为BC的中点，△EDM为等边三角形．若点E从点B运动到点A，则M点所经历的路径长为 ．

【变式训练3】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，△DCA＝30°，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作△DFE＝30°的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是 ．

【变式训练4】如图，已知线段AB＝12，点C在线段AB上，且△ACD是边长为4的等边三角形，以CD为边的右侧作矩形CDEF，连接DF，点M是DF的中点，连接MB，则线段MB的最小值为 .

模型二、运动轨迹为圆

问题1.如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？

PQAOM

解析：Q点轨迹是一个圆

理由：Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ△△AOP，

QMAQ1=． POAP2问题2.如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？

MQPAO

解析：Q点轨迹是一个圆

理由：∵AP△AQ，∴Q点轨迹圆圆心M满足AM△AO；

又∵AP：AQ=2：1，∴Q点轨迹圆圆心M满足AO：AM=2：1．

即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO△△AQM，且相似比为2． 模型总结： 条件：两个定量

主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．

结论：（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠PAQ=∠OAM； （2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比．

例1.如图，点P（3，4），圆P半径为2，A（2.8，0），B（5.6，0），点M是圆P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是_______．

例2.如图，A是⊙B上任意一点，点C在⊙B外，已知AB＝2，BC＝4，⊙ACD是等边三角形，则△BCD的面积的最大值为（ ）

A．43＋4 B．4 C．43＋8 D．6

例3.如图，正方形ABCD中，AB25，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．求线段OF长的最小值．

ADEBOCF

【变式训练1】如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝22，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为________．

【变式训练2】如图，AB为O的直径，C为O上一点，其中AB6，AOC120，P为O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为（ ）

A．37 【变式训练3】如图， 为2的

3B．27 2C．237 337 D．22ABC 中， ABAC,BC6,ADBC 于点 D,AD4,P 是半径

A上一动点， 连结 PC， 若E是PC的中点， 连结DE， 则DE长的最大值为

（ ）

A．3 课后训练

B．3.5 C．4 D．4.5

1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，∠A＝30º，BC＝2，D是AB上一动点，以DC为斜边向右侧作等腰Rt△DCE，使∠CED＝90º，连接BE，则线段BE的最小值为 .

3.如图，AB6，点O在线段AB上，AO2，O的半径为1，点P是O上一动点，以BP为一边作等边BPQ，则AQ的最小值为_____．

4.点A是双曲线在第一象限上的一个动点，连接AO并延长交另一交令一分支点B，

以AB为斜边作等腰Rt△ABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也在不断变化，但始终在某函数图像上运动，则这个函数的解析式为 .

7．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝2，⊙AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为____________．

8.如图，已知点M（0，4），N（4，0），开始时，△ABC的三个顶点A、B、C分别与点M、N、O重合，点A在y轴上从点M开始向点O滑动，到达点O结束运动，同时点B沿着

x轴向右滑动，则在此运动过程中，点C的运动路径长 4 ．

9.如图，已知在扇形AOB中，OA＝3，∠AOB＝120º，C是在

上的动点，以BC为边作正

方形BCDE，当点C从点A移动至点B时，求点D运动的路径长？