2015年函数部分三：求函数解析式的六种常用方法(教师版含练习)

 2015年函数部分三： 求函数解析式的六种常用方法（教师版） 一、换元法 已知复合函数f [g（x）]的解析式，求原函数f（x）的解析式.令g（x）= t ，求f（t）的解析式，再把t换为xx1x211，求f（x）的解析式. 即可.例1 已知f（）= xx2xx11解： 设= t ，则 x= （t≠1）， xt112()112∴f（t）= t1= 1+(t1) +（t－1）= t2－t+1 121()t1t1故 f（x）=x2－x+1 （x≠1）. 评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域. 二、配凑法 例2 已知f（x+1）= x+2解： f（x+1）= (x)2+2f（x）= x2－1 （x≥1）. 评注: 使用配凑法时，一定要注意函数的定义域的变化，否则容易出错. 三、待定系数法 例3 已知二次函数f（x）满足f（0）=0，f（x+1）= f（x）+2x+8，求f（x）的解析式. 解：设二次函数f（x）= ax2+bx+c，则 f（0）= c= 0 ① f（x+1）= a(x1)+b（x+1）= ax2+（2a+b）x+a+b ② 2x，求f（x）的解析式. x+1－1=(x1)2－1， ∴ f（x+1）= (x1)2－1 （x+1≥1），将x+1视为自变量x，则有 由f（x+1）= f（x）+2x+8 与①、② 得 2abb2 解得 ab8四、消去法 a1, 故f（x）= x2+7x. b7.评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式. 1）= x （x≠0），求f（x）函数解析式. x11分析：欲求f（x），必须消去已知中的f（），若用去代替已知中x，便可得到另一个方程，联立方程组求解xx1111即可.解：∵ f（x）+2 f（）= x （x≠0） ①由代入得 2f（x）+f（）=（x≠0） ② xxxx2x解 ①② 构成的方程组，得 f（x）=－ （x≠0）. 3x3例4 设函数f（x）满足f（x）+2 f（五、特殊值法 例5 设是定义在R上的函数，且满足f（0）=1，并且对任意的实数x，y， 有f（x－y）= f（x）－ y（2x－y+1），求f（x）函数解析式. 分析：要f（0）=1，x，y是任意的实数及f（x－y）= f（x）－ y（2x－y+1），得到f（x）函数解析式，只有令x = y. 解： 令x = y ，由f（x－y）= f（x）－ y（2x－y+1） 得 f（0）= f（x）－ x（2x－x+1），整理得 f（x）= x2+x+1. 六、对称性法 即根据所给函数图象的对称性及函数在某一区间上的解析式，求另一区间上的解析式. 1

例6 已知是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x－x2，求f（x）函数解析式. 解：∵y=f（x）是定义在R上的奇函数， ∴y=f（x）的图象关于原点对称. 当x≥0时，f（x）=2x－x2的顶点（1，1），它关于原点对称点（－1，—1）， 22xx x≥0， 因此当x<0时，y=(x1)－1= x2 +2x.故 f（x）=2 x2xx＜0. 2评注: 对于一些函数图象对称性问题,如果能结合图形来解,就会使问题简单化. 解析式练习 1：若f（sinx）=2－cos2x，则f（cosx）等于（ ） D A.2－sin2x B.2+sin2x C.2－cos2x D.2+cos2x 1x21x2：已知f（）=，则f（x）的解析式可取为（ ） C 21x1xA.x 1x2 B.－2x2xx C. D.－ 1x21x21x23：设f(cosx1)cos2x，求f(x). f(x)(x1)2,x[2,0] 4：已知f(ax1)x22，求f(x). f(x)log2ax2logax3 5：已知f(x)是二次函数，且满足f[f(x)]x42x2,求f(x) f(x)x21 16：设f(x)满足af(x)bf()cxxacx2bc (其中a,b,c均不为0，且ab)，求f(x). f(x)22(ab)x7：已知f(x–y)=f(x) –y(2x–y+1),且f(0)=1, 求f(x)的表达式. (提示：令x=0，解方程组法) f(x)=x2+x+1. (提示：令x=y) 2f(x)=-x²+2 8 设f(x)是定义在实数集R上的函数，且对任意实数x,y满足f(x-y)=f(x)+f(y)+xy-1恒成，求函数f(x)的解析式。 9: 已知f01,fabfab2ab1，求f(x) (提示：令a=0，换元法) fxx2x1) 10：设f(x)是定义在N上的函数，满足f(1)1，对于任意正整数x,y，均有 f(x)f(y)f(xy)xy，求f(x). （提示：令y=-x,解方程组法） 2