高中数学解析几何知识点总结

一、直线方程.

1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是0180(0).

注：①当90或x2x1时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在.

②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.

2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.

特别地，当直线经过两点(a,0),(0,b)，即直线在x轴，y轴上的截距分别为

a,b(a0,b0)时，直线方程是：

xy1. ab3注：若y2x2是一直线的方程，则这条直线的方程是y2x2，但若

3y2x2(x0)则不是这条线. 3附：直线系：对于直线的斜截式方程ykxb，当k,b均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果k,b变化时，对应的直线也会变化.①当b为定植，k变化时，它们表示过定点（0，b）的直线束.②当k为定值，b变化时，它们表示一组平行直线. 3. ⑴两条直线平行：

l1∥l2k1k2两条直线平行的条件是：①l1和l2是两条不重合的直线. ②在l1和l2的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其

中任一个“前提”都会导致结论的错误.

（一般的结论是：对于两条直线l1,l2，它们在y轴上的纵截距是b1,b2，则

l1∥l2k1k2，且b1b2或l1,l2的斜率均不存在，即A1B2B1A2是平行的必要

不充分条件，且C1C2）

推论：如果两条直线l1,l2的倾斜角为1,2则l1∥l212. ⑵两条直线垂直：

两条直线垂直的条件：①设两条直线l1和l2的斜率分别为k1和k2，则有

l1l2k1k21这里的前提是l1,l2的斜率都存在. ②l1l2k10，且l2的斜率

不存在或k20，且l1的斜率不存在. （即A1B2A2B10是垂直的充要条件） 4. 直线的交角：

⑴直线l1到l2的角（方向角）；直线l1到l2的角，是指直线l1绕交点依逆时针方向旋转到与l2重合时所转动的角，它的范围是(0,)，当90时

tank2k11k1k2.

⑵两条相交直线l1与l2的夹角：两条相交直线l1与l2的夹角，是指由l1与l2相交所成的四个角中最小的正角，又称为l1和l2所成的角，它的取值范围

是0,，当90，则有tan2k2k11k1k2.

5. 过两直线

l1:A1xB1yC10l2:A2xB2yC20的交点的直线系方程

A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(为参数，A2xB2yC20不包括在内）

6. 点到直线的距离：

⑴点到直线的距离公式：设点P(x0,y0)，直线l:AxByC0,P到l的距离为d，则有d注：

Ax0By0CAB22.

1.

两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：|P1P2|(x2x1)2(y2y1)2.

特例：点P(x,y)到原点O的距离：|OP|x2y2

2.

定比分点坐标分式。若点P(x,y)分有向线段PP,其中12所成的比为即PP1PP2P1(x1,y1),P2(x2,y2).则 xx1x2,yy1y2

11特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。

3. 4.

直线的倾斜角（0°≤＜180°）、斜率:ktan 过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的斜率公式：ky2y1.

x2x1(x1x2)

当x1x2,y1y2（即直线和x轴垂直）时，直线的倾斜角＝90，没有斜率

⑵两条平行线间的距离公式：设两条平行直线

l1:AxByC10,l2:AxByC20(C1C2)dC1C2AB22，它们之间的距离为

d，则有

.

注；直线系方程

1. 与直线：Ax+By+C= 0平行的直线系方程是：Ax+By+m=0.( m?R, C≠m). 2. 与直线：Ax+By+C= 0垂直的直线系方程是：Bx-Ay+m=0.( m?R) 3. 过定点（x1,y1）的直线系方程是： A(x-x1)+B(y-y1)=0 (A,B不全为0)

4. 过直线l1、l2交点的直线系方程：（A1x+B1y+C1）+λ( A2x+B2y+C2）=0 (λ?R） 注：该直线系不含l2.

7. 关于点对称和关于某直线对称：

⑴关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.

⑵关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.

若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.

⑶点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点.

注：①曲线、直线关于一直线（yxb）对称的解法：y换x，x换y. 例：曲线f(x ,y)=0关于直线y=x–2对称曲线方程是f(y+2 ,x –2)=0. ②曲线C: f(x ,y)=0关于点(a ,b)的对称曲线方程是f(a – x, 2b – y)=0. 二、圆的方程.

1. ⑴曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线C上的 与一个二元方程

f(x,y)0的实数建立了如下关系：

①曲线上的点的坐标都是这个方程的解. ②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.

那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）. ⑵曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点

M(x,y)其坐标与方程

f(x,y)0的一种关系，曲线上任一点(x,y)是方程f(x,y)0的解；反过来，满

足方程f(x,y)0的解所对应的点是曲线上的点.

注：如果曲线C的方程是f(x ,y)=0，那么点P0(x0 ,y)线C上的充要条件

是f(x0 ,y0)=0

2. 圆的标准方程：以点C(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程是

(xa)2(yb)2r2.

特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：x2y2r2. 注：特殊圆的方程：①与x轴相切的圆方程

[rb,圆心(a,b)或(a,b)]

(xa)2(yb)2b2

②与y轴相切的圆方程(xa)2(yb)2a2 [ra,圆心(a,b)或(a,b)] ③与x轴y轴都相切的圆方程(xa)2(ya)2a2 [ra,圆心(a,a)] 3. 圆的一般方程：x2y2DxEyF0 . 当

rD2E24F0D2E24F2时，方程表示一个圆，其中圆心

DEC,22，半径

.

22DE当D2E24F0时，方程表示一个点,.

当D2E24F0时，方程无图形（称虚圆）. 注：①圆的参数方程：xarcosybrsin（为参数）.

②方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是：B0且AC0且

D2E24AF0.

③圆的直径或方程：已知A(x1,y1)B(x2,y2)(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0（用向量可征）.

4. 点和圆的位置关系：给定点M(x0,y0)及圆C:(xa)2(yb)2r2.

①M在圆C内(x0a)2(y0b)2r2

（x0a)2(y0b)2r2 ②M在圆C上③M在圆C外(x0a)2(y0b)2r2

5. 直线和圆的位置关系：

设圆圆C：(xa)2(yb)2r2(r0)； 直线l：AxByC0(A2B20)； 圆心C(a,b)到直线l的距离d①dr时，l与C相切；

22xyD1xE1yF10附：若两圆相切，则22相减为公切线方程.

xyD2xE2yF20AaBbCAB22.

②dr时，l与C相交； 附：公共弦方程：设 22

C1:x2y2D1xE1yF10C2:xyD2xE2yF20有两个交点，则其公共弦方程为(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0. ③dr时，l与C相离.

22xyD1xE1yF10附：若两圆相离，则22相减为圆心O1O2的连线的中与

xyD2xE2yF20线方程.

(xa)2(yb)2r2 由代数特征判断：方程组AxBxC0用代入法，得关于x（或y）

的一元二次方程，其判别式为，则：

0l与C相切；

0l与C相交； 0l与C相离.

注：若两圆为同心圆则x2y2D1xE1yF10，x2y2D2xE2yF20相减，不表示直线.

6. 圆的切线方程：圆x2y2r2的斜率为k的切线方程是ykxx2y2DxEyF0

1k2r过圆

上一点P(x0,y0)的切线方程为：x0xy0yDxx0yy0EF0. 222

①一般方程若点(x0 ,y0)在圆上，则(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R. 特别地，过圆x2y2r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0xy0yr2.

y1y0k(x1x0)②若点(x0 ,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则by1k(ax1)RR21A，联立求出kB切D(a,b)C线方程.

7. 求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图：ABCD四类共圆. 已知O的方程x2y2DxEyF0…① 又以ABCD为圆为方程为(xxA)(xa)(yyA)(xb)k2…②

(xAa)2(yAb)2R42…③，所以BC的方程即③代②，①②相切即为所求.

三、曲线和方程

1.曲线与方程：在直角坐标系中，如果曲线C和方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：

1） 曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解（纯粹性）；

2） 方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上（完备性）。则称方程f(x,y)=0为曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x,y)=0的曲线。 2.求曲线方程的方法：.

1）直接法：建系设点，列式表标,简化检验; 2）参数法; 3）定义法， 4）待定系数法.

-圆锥曲线方程

考试内容：

椭圆及其标准方程．椭圆的简单几何性质．椭圆的参数方程．

双曲线及其标准方程．双曲线的简单几何性质． 抛物线及其标准方程．抛物线的简单几何性质． 考试要求：

（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程．

（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质． （3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质． （4）了解圆锥曲线的初步应用．

§08. 圆锥曲线方程 知识要点 一、椭圆方程.

1. 椭圆方程的第一定义：

PF1PF22aF1F2方程为椭圆,PF1PF22aF1F2无轨迹,PF1PF22aF1F2以F1,F2为端点的线段

⑴①椭圆的标准方程：

i. 中心在原点，焦点在x轴上：x2y2ab221(ab0). ii. 中心在原点，焦点

在y轴上：y2x2ab221(ab0).

x2a2y2b21的参

②一般方程：Ax数方程为2By1(A0,B0).③椭圆的标准参数方程：

2xacosybsin（一象限应是属于0）.

2⑵①顶点：(a,0)(0,b)或(0,a)(b,0).②轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长2a，短轴长2b.③焦点：(c,0)(c,0)或(0,c)(0,c).④焦距：F1F2a2线：xca2或yca2c,ca2b2.⑤准

.⑥离心率：ec(0e1).⑦焦点半径：

a2i. 设P(x0,y0)为椭圆

x2y2b2PF1aex0,PF21(ab0)上的一点，F1,F2为左、右焦点，则 aex0由椭圆方程的第二定义可以推出.

ii.设P(x0,y0)为椭圆

x2b2y2a2PF1aey0,PF2 aey01(ab0)上的一点，F1,F2为上、下焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出. 由椭圆第二定义可知：起来为“左加右减”.

注意：椭圆参数方程的推导：得N(acos,bsin)方程的轨迹为椭圆. ⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：d⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆

x2y2c22e(cab)，方程22t(t是大于aabx2a2y2b22b2a2b2b2(c,)和(c,)

aaa2a2pF1e(x0)aex0(x00),pF2e(x0)ex0a(x00)归结

cc1(ab0)的离心率是

0的参数，ab0)的离心率也是

eca 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.

x2a2y2b21上的点.F1,F2为焦点，若F1PF2⑸若P是椭圆：

2，则PF1F2的

面积为b2tan（用余弦定理与为b2cot.

2PF1PF22a可得）. 若是双曲线，则面积

二、双曲线方程. 1. 双曲线的第一定义：

PF1PF22aF1F2方程为双曲线PF1PF22aF1F2无轨迹PF1PF22aF1F2以F1,F2的一个端点的一条射线▲y(bcos,bsin)(acos,asin)Nx

N的轨迹是椭圆⑴①双曲线标准方程：

Ax2Cy21(AC0).

x2a2y2b21(a,b0),y2a2x2b21(a,b0). 一般方程：

⑵①i. 焦点在x轴上：

a2顶点：(a,0),(a,0) 焦点：(c,0),(c,0) 准线方程xcxy 渐近线方程：0ab或

x2a2y2b20

a2ii. 焦点在y轴上：顶点：(0,c),(0,c). 准线方程：(0,a),(0,a). 焦点：yc.

渐近线方程：

xasecy2x2yx0或220，参数方程：ababybtan或xbtanyasec .

②轴x,y为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率ec.

a2a22b2④准线距（两准线的距离）；通径

ca. ⑤参数关系c2a2b2,ec. ⑥

a1（F1,F2分别为双曲线的左、右焦

焦点半径公式：对于双曲线方程

x2a2y2b2点或分别为双曲线的上下焦点） “长加短减”原则：

MF1ex0aMF2ex0a 构成满足MF1MF22a

MF1ex0aMF2ex0a（与椭圆焦半径不同，

▲椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号） yM'M▲yFMMF1ey0aMF2ey0aMF1ey0aMF2ey0aFFxx

FM'⑶等轴双曲线：双曲线x2y2a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为yx，离心率e2.

⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.具有共同的渐近线：

x2a2y2b2x2y2x2y22与22互为共轭双曲线，它们2abab0.

x2a2y2b2(0)的渐近线方程为

x2a2y2b2▲y⑸共渐近线的双曲线系方程：果双曲线的渐近线为

0如

x2y2xy(0). 0时，它的双曲线方程可设为2234abab2例如：若双曲线一条渐近线为y1x且过p(3,1)，求双曲线的方程 22F15331F2x解：令双曲线的方程为：xyx11. y2(0)，代入(3,)得8242222⑹直线与双曲线的位置关系：

区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；

区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；

区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；

区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；

区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.

小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.

（2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入“”法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号. ⑺若P在双曲线

x2a2y2b21，则常用结论

1：P到焦点的距离为m = n，则P

到两准线的距离比为m︰n.

PF1简证：

d1ed2PF2e = m.

n常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.

三、抛物线方程.

3. 设p0，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：

y22px y22px x22py x22py 图形 ▲y▲y▲y▲yxOxOxOxO F(xp,0) 2F(0,p) 2 F(0,p) 2 焦点 准线 范围 对称轴 顶点 离心率 焦点 2pF(,0) 2p 2x0,yR xp 2x0,yR p 2xR,y0 yp 2xR,y0 yx轴 y轴 （0，0） e1 px1 2px1 2py1 2py1 2PFPFPFPF4acb2b注：①aybycx顶点().

4a2a②y22px(p0)则焦点半径PFxP2;x22py(p0)则焦点半径为PFyP2.

③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.

x2pt2④y2px（或x2py）的参数方程为y2pt22（或x2pt2y2pt）（t为参数）.

四、圆锥曲线的统一定义..

4. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹.

当0e1时，轨迹为椭圆； 当e1时，轨迹为抛物线； 当e1时，轨迹为双曲线；

当e0时，轨迹为圆（ec，当c0,ab时）.

a5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.

因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证AD与BC的中点重合即可.

注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质

椭圆 1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹 双曲线 1．到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹 抛物线 定义 2．与定点和直线的2．与定点和直线的与定点和直线的距离距离之比为定值e的点的轨迹.（01） 相等的点的轨迹. 标准方程 方 x2y221(ab>02abx2y221(a>0,b2aby2=2px ) >0) 参数方程 范围 程 xacosybsin (参数为离心角）xasecybtan (参数为离心角）x2pt2y2pt(t为参数) ─a─bxya，b |x| a，yR x0 中心 顶点 原点O（0，0） 原点O（0，0） (a,0), (─a,0), (a,0), (─a,0) (0,b) , (0,─b) (0,0) 对称轴 x轴，y轴； 长轴长2a,短轴长2b x轴，y轴; 实轴长2a, 虚轴长2b. F1(c,0), F2(─c,0) x轴 焦点 F1(c,0), F2(─c,0) pF(,0) 2焦距 离心率 准线 2c （c=a2b2） 2c （c=a2b2） ec(0e1) aa c2 ec(e1) aa c2e=1 xp 2x= x=渐近线 焦半径 通径 y=±x r(exa) 2b2 aa2 cba raex 2b2 aa2 crx p 22p 焦参数 P 1.

椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质.

2. 3.

等轴双曲线 共轭双曲线

2

2

5. 方程y=ax与x=ay的焦点坐标及准线方程. 6.共渐近线的双曲线系方程.