八年级上册数学第十一章 三角形 单元测试题 (6)200809(含答案解析)

一、单选题

1．用正三角形和正六边形铺成一个平面，则在同一个顶点处，正三角形和正六边形的个数之比为（ ） A．4:1

B．1:1

C．1:4

D．4:1或1:1

2．在ABC中，A150.第一步：在ABC上方确定一点A1，使

A1BAABC，A1CAACB，如图1.第二步：在A1BC上方确定一点

A2，使A2BA1A1BA，A2CA1A1CA，如图2.照此下去，至多能进行( )步．

A．3

B．4

C．5

D．6

3．如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点，沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F，已知EF=

3，则BC的长是（ ） 2

A．

32 2B．32

C．3

D．33 4．若一个多边形的内角和等于720°，则这个多边形的边数是（ ） A．5

B．6

C．7

D．8

5．如图，在△ABC中，AC=DC=DB，∠ACB=105°，则∠B的大小为（ ）

A．15° A．菱形

B．20° B．钝角三角形

C．25° C．长方形

D．40° D．正方形

6．下列图形中具有稳定性的是( )

7．如图，AD是∠CAE的平分线，∠B=30°, ∠DAE=60°，那么∠ACD等于（ ）

A．90° A．14cm

B．60° B．10cm

C．80°

C．14cm或10cm

D．100° D．12cm

8．已知等腰三角形两边长分别为6cm、2cm，则这个三角形的周长是（ ） 9．下列说法错误的是（ ）

A．一个三角形中至少有两个角为锐角； 心；.

C．三角形的三条高线相交于一点； A．4B．1 D．直角三角形有三条高。 C．2D．210．设三角形的三边之长分别为4, 8, 2a，则a的取值范围为( ). 11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝50°，则∠A的度数为（ ）

12．已知四条线段的长分别为13 cm，10 cm，7 cm，5 cm，从中任取三条线段为边组成三角形，则这样的三角形共有 A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

B．三角形的三条中线的交点为三角形的重

二、填空题

13．阅读材料：连接多边形的对角线或在多边形边上（非顶点）取一点或在多边形内部取一点与多边形各顶点的连线，能将多边形分割成若干个小三角形，图1给出了四边形的具体分割方法，分别将四边形分割成了2个、3个、4个小三角形.

（1）请你按照上述方法将图2中的六边形进行分割，并写出每种方法所得到的小三角形的个数为 个、 个， 个

（2）当多边形为n边形时，按照上述方法进行分割，写出每种分法所得到的小三角形的个数为 个、 个， 个

14．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形后的内角和为720°，那么原多边形的边数为 ．

15．若O是△ABC外一点，OB、OC分别平分△ABC的外角∠CBE、∠BCF，若∠A＝50°，则∠BOC=_______度．

16．如图，已知a//b，且∠2是∠1的2倍，那么∠2的度数为__________°；

17．如图，∠1+∠2+∠3+∠4=___________度

18．一个正n边形的一个外角等于72°，则n的值等于_____．

三、解答题

19．已知ABC中，∠ABCACB，D为线段CB上一点（不与C,B重合），点E为射线CA上一点，ADEAED，设BAD，CDE．

（1）如图1，①若BAC50，DAE40，则__________，___________．

②若BAC58，DAE42，则__________，___________． ③写出与的数量关系，并说明理由；

（2）如图2，当E点在CA的延长线上时，其它条件不变，请直接写出与的数量关系．

20．如图，在ABC中点D是BC边上的一点, B50, BAD30,将ABD沿

AD折叠得到AED ,AE与BC相交于点F.

(1)求AFC的度数; (2)求EDF的度数.

21．探索：在图1至图2中，已知ABC的面积为a

(1)如图1，延长ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA;延长边CA到点E，使CA=AE，连接DE;若DCE的面积为S1，则S1= (用含a的代数式表示)； (2)在图1的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD，FE，得到DEF(如图2).若阴影部分的面积为S2，则S2= (用a含的代数式表示)；

(3)发现:像上面那样，将ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到DEF(如图2)，此时，我们称ABC向外扩展了一次.可以发现，扩展n次后得到的三角形的面积是

ABC面积的 倍(用含n的代数式表示);

(4)应用:某市准备在市民广场一块足够大的空地上栽种牡丹花卉，工程人员进行了如下的图案设计:首先在ABC的空地上种紫色牡丹，然后将ABC向外扩展二次(如图3).在第一次扩展区域内种黄色牡丹，第二次扩展区域内种紫色牡丹，紫色牡丹花的种植成本为100元/平方米，黄色牡丹花的种植成本为95元/平方米.要使得种植费用不超过48700元，工程人员在设计时，三角形ABC的面积至多为多少平方米?

22．如图①，∠MON=70°，点A、B在∠MON的两条边上运动，∠MAB与∠NBA的平分线交于点P．

(1)点A、B在运动过程中，∠P的大小会变吗？如果不会，求出∠P的度数；如果会，请说明理由．

(2)如图②，继续作BC是平分ABO，AP的反向延长线交BC的延长线于点D，点A、B在运动过程中，∠D的大小会变吗？如果不会，求出∠D的度数；如果会，请说明理由. (3)如图②，∠P和∠D有怎样的数量关系？(直接写出答案)

23．如图，在△ABC中，AD⊥BC,AE平分∠BAC交BC于点E. (1)∠B=30°，∠C＝70°,求∠EAD的大小； （2）若∠B＜∠C,求证：2∠EAD=∠C-∠B．

24．学习几何的一个重要方法就是要学会抓住基本图形，让我们来做一次研究性学习．

（1）如图①所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们常把这样的图形叫做“规形图”．请你观察“规形图”，试探究∠BOC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由： （2）如图②，若△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，且它们相交于点O，试探究∠BOC与∠A的关系；

（3）如图③，若△ABC中，∠ABO=

11∠ABC，∠ACO=∠ACB，且BO、CO相交于点O，33请直接写出∠BOC与∠A的关系式为 _．

25．如图，已知AB∥CD，分别探讨下面三个图形中∠AEC与∠EAB，∠ECD之间的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以证明．

（1）在图1中，∠AEC与∠EAB，∠ECD之间的关系是：________________． （2）在图2中，∠AEC与∠EAB，∠ECD之间的关系是：________________． （3）在图3中，∠AEC与∠EAB，∠ECD之间的关系是：________________． （4）在图______中，求证：________________．（并写出完整的证明过程）

26．如图，在△ABC中，AD，AF分别为△ABC的中线和高，BE为△ABD的角平分线．

（1）若∠BED=40°，∠BAD=25°，求∠BAF的大小； （2）若△ABC的面积为40，BD=5，求AF的长．

【答案与解析】

一、单选题 1．D 解析：D

根据正六边形的角度为120°，正三角形的内角为60°，根据平面密铺的条件列出方程，讨论可得出答案．

∵正六边形的角度为120°，正三角形的内角为60°， ∴120x+60y=360°，

当x=2时，y=2，即正三角形和正六边形的个数之比为1:1； 当x=1时，y=4，即正三角形和正六边形的个数之比为4:1. 故选D. 【点睛】

此题考查平面镶嵌（密铺），解题关键在于根据正六边形的角度为120°，正三角形的内角为60°，进行解答

2．B

解析：B

由三角形内角和定理可得出ABCACB30，由A1BAABC、

ACAACB结合三角形内角和定理可求出A1120，同理可求出A290、1A360、、An18030n1，令An0，求出n的最大值即可．

解：

A150，

ABCACB180A30 ．

A1BAABC

ACB， ，ACA1A1BCACB2ABCACB601，

A1180A1BCACB1201．

同理可得：A290，A360，，An18030n1，



当An0时，18030n10， 解得n5，



至多能进行4步． 故选：B． 【点睛】

本题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理找出An18030n1是解题的关键．

3．B

解析：B

折叠的性质主要有：1.重叠部分全等；2.折痕是对称轴,对称点的连线被对称轴垂直平分. 由折叠的性质可知BEAF45,所以可求出∠AFB=90°，再直角三角形的性质可知

EF解：

1AB,所以ABAC,的长可求，再利用勾股定理即可求出BC的长． 2沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，

BEAF45，

AFB90，

点E为AB中点，且AFB90，

EF1AB，2

3EF，2

3AB2EF23，2 在ΔRtABC中，

AB＝AC，AB3，

BCAB2AC2323232 ,

故选B. 【点睛】

本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出∠AFB=90°是解题的关键．

4．B

解析：B

试题分析：根据内角和定理180°×（n-2）即可求得． 解：180°×（n-2）=720°，解得n=6． 考点：多边形的内角和定理．

5．C

解析：C

根据边相等的角相等，用∠B表示出∠CDA，然后就可以表示出∠ACB，求解方程即可． 解：设∠B=x ∵AC=DC=DB ∴∠CAD=∠CDA=2x ∴∠ACB=180°-2x -x=105° 解得x=25°． 故选：C． 【点睛】

本题主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及等腰三角形的性质．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．（2）三角形的内角和是180°．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件．

6．B

解析：B

三角形不容易产生变形，因此三角形是最稳定的；四边形没有稳定性． 解：根据三角形具有稳定性，可知四个选项中只有钝角三角形具有稳定性的． 故选：B． 【点睛】

考核知识点：此题考查的是对三角形稳定性的知识的理解．理解稳定性的意义是关键．

7．A

解析：A

解：根据AD平分∠CAE，且∠DAE=60°，可得∠CAE=120°，然后根据邻补角的意义可知∠CAB=60°，再根据三角形的外角等于不相邻的两内角的和，可直接求得∠ACD=90°． 故选A． 【点睛】

此题主要考查了三角形的内角和和外角性质，解题关键是明确三角形的内外角的关系，然后可求解．三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°；三角形的外角：三角形的一个外角大于不相邻两内角的和．

8．A

解析：A

由等腰三角形的两边长分别为6cm和2cm，分别从若2cm为腰长，6cm为底边长与若2cm为底边长，6cm为腰长去分析求解即可求得答案． 若2cm为腰长，6cm为底边长， ∵2+2=4＜6，不能组成三角形， ∴不合题意，舍去；

若2cm为底边长，6cm为腰长， 则此三角形的周长为：2+6+6=14cm． 故选A． 【点睛】

此题考查了等腰三角形的性质与三角形的三边关系．此题比较简单，注意掌握分类讨论思

想的应用．

9．C

解析：C

根据三角形重心的定义、三角形的内角和定理、三角形的高定义进行逐项判断. 解：A、三角形的内角和为180°，若一个三角形由2个钝角或2个直角，则内角和大于180°，与三角形内角和定理矛盾，所以一个三角形中至少有两个角为锐角，故A选项正确；

B、三角形的三条中线的交点叫作三角形的重心，故B选项正确； C、三角形的三条高线或它们的延长线交于一点，故C选项错误； D、直角三角形有三条高，故D选项正确. 故选：C 【点睛】

本题考查三角形的相关概念及相关性质，掌握概念和性质是解答此题的关键.

10．D

解析：D

根据三角形的三边关系可得关于a的不等式组，解不等式组即得答案. 解：根据题意，得842a84，即42a12，解得：2a6. 故选：D. 【点睛】

本题考查了三角形的三边关系和一元一次不等式组的解法，属于基础题型，熟练掌握三角形的三边关系是关键.

11．B

解析：B

根据直角三角形两锐角互余，构建方程组即可解决问题． 解：∵∠C=90°， ∴∠A+∠B=90°， ∵∠A-∠B=50°，

AB90∴，

AB50∴2∠A=140°， ∴∠A=70°， 故选：B． 【点睛】

本题考查直角三角形的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型．

12．C

解析：C

首先可以组合为13，10，5；13，10，7；13，5，7；10，5，7，

再根据三角形的三边关系，发现其中的13，5，7不符合，则可以画出的三角形有3个， 故选C.

【点睛】本题考查了三角形的三边关系：即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．解此题的关键是先把所有的情况组合后，再看是否符合三角形的三边关系．

二、填空题

13．（1）；（2）

解析：（1）4,5,6 ；（2）n2,n1,n （1）根据题中方法进行分割，然后可得答案； （2）观察图1和图2所作图形，进而得出规律即可.

解：（1）如图，每种方法所得到的小三角形的个数分别为：4个，5个，6个；

（2）观察图1和图2所作图形可得：

第一种分割方法把n边形分割成了（n-2）个三角形； 第二种分割方法把n边形分割成了（n-1）个三角形； 第三种分割方法把n边形分割成了n个三角形， 故答案为：（n-2），（n-1），n. 【点睛】

本题考查了多边形的相关问题，要能够从特殊中发现规律，进而推广到一般情况.

14．5或6或7

解析：5或6或7

试题分析：设内角和为720°的多边形的边数是n，则（n-2）×180=720，∴n=6 则原多边形的边数为5或6或7． 考点: 多边形内角与外角．

15．65°

解析：65°

利用三角形内角和定理求得∠ABC+∠ACB=130°，根据三角形外角性质得到

∠CBE=∠A+∠ACB，∠BCF=∠A+∠ABC，进而求得∠CBE+∠BCF=230°，根据角平分线定义可知

11∠CBE，∠3=∠4=∠BCF，进而求得∠2+∠3=115°，最后利用三角形内角和定22理即可解决问题.

∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A＝50°，

∠1=∠2=

∴∠ABC+∠ACB=130° ∵∠CBE、∠BCF是△ABC的外角 ∴∠CBE=∠A+∠ACB，∠BCF=∠A+∠ABC ∴∠CBE+∠BCF=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=230° ∵OB、OC分别平分∠CBE、∠BCF

11∠CBE，∠3=∠4=∠BCF 221∴∠2+∠3=(∠CBE+∠BCF)=115°

2∵∠2+∠3+∠BOC=180° ∴∠BOC=65° 故答案为：65° 【点睛】

∴∠1=∠2=

本题主要考查三角形内角和定理以及三角形外角性质，熟练掌握该知识点是解题关键.

16．120

解析：120

根据两直线平行，同旁内角互补得到∠1+∠2=180°，再把∠1=数． ∵a∥b， ∴∠1+∠2=180°， ∵∠2是∠1的2倍，

1∠2代入可计算出∠2的度21∠2+∠2=180°， 2解得：∠2=120°． 故答案为120 【点睛】

∴

本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．

17．360°；

解析：360°；

连接∠2和∠4的顶点，可得两个三角形，

根据三角形的内角和定理，∠1+∠2+∠3+∠4=360°． 故答案是: 360°.

18．{解析}可以利用多边形的外角和定理求解解：∵正n边形的一个外角为72°∴n的值为360°÷72°＝5故答案为：5【点睛】本题考查了多边形外角和熟记多边形的外角和等于360度是解题的关键

解析：{解析}

可以利用多边形的外角和定理求解．

解：∵正n边形的一个外角为72°， ∴n的值为360°÷72°＝5． 故答案为：5 【点睛】

本题考查了多边形外角和，熟记多边形的外角和等于360度是解题的关键．

三、解答题

19．（1）①10°，5°；②16°，8°；③α=2β，理由见解析；（2）2β=180°+α，理由见解析

（1）①直接求α度数，根据三角形的内角和与等腰三角形的性质求∠ACB和∠AED的度数再根据外角定理求β；②解法同①；③设∠BAC=x°，∠DAE=y°，则α=x°-y°，求出∠ACB和∠AED，利用外角定理即可求β，从而可得结论；

（2）设∠BAC=x°，∠DAE=y°，则α=x°-（180°-y°）=x°-180°+y°，同理得出出∠ACB和∠AED，利用外角定理即可求β，从而可得结论. 解：（1）①∵∠DAE=40° ∴∠ADE+∠AED=140° ∴∠ADE=∠AED=70° ∵∠BAC=50° ∴=504010

1805065 2∵∠ADC=∠B+∠α=∠ADE+∠β ∴65°+10°=70°+∠β ∴∠β=5°

∴ACBB故答案为10°，5°； ②∵∠DAE=42° ∴∠ADE+∠AED=138° ∴∠ADE=∠AED=69° ∵∠BAC=58° ∴=584216

1805861 2∵∠ADC=∠B+∠α=∠ADE+∠β ∴61°+16°=69°+∠β ∴∠β=8°

∴ACBB故答案为16°，8°； ③α=2β，理由是：

如图（1），设∠BAC=x°，∠DAE=y°，则α=x°-y°，

∵∠ACB=∠ABC

180x 2∵∠ADE=∠AED

∴∠ACB=∴∠AED=180y 2180y180xxy 2222∴=∠AED∠ACB∴α=2β

（2）如图（2），2β=180°+α，理由是：

设∠BAC=x°，∠DAE=y°，则α=x°-（180°-y°）=x°-180°+y° ∵∠ACB=∠ABC

180x 2∵∠ADE=∠AED

∴∠ACB=∴∠AED=180y 2∵∠EDB是△EDC的一个外角 ∴∠EDB=∠AED+∠ACB

180y180x 22∴2β=x°+y°，即2β=180°+α 【点睛】

∴180本题考查的是三角形的内角和定理、外角和定理和等腰三角形的性质，能够熟练运用所学知识是解题的关键. 20．（1）110；（2）20

（1）根据折叠的特点得出∠BAD∠DAF，再根据三角形一个外角等于它不相邻两个内角之和，即可得出答案；

（2）根据已知求出∠ADB的值，再根据折叠的特点得出∠ADE=∠ADB，最后根据∠EDF=∠EDA -∠ADF，即可得出答案． （1）∵△ABD沿AD折叠得到AED， ∴∠BAD∠DAF， ∵∠B=50°，∠BAD=30°，

∴∠AFC=∠B+∠BAD+∠DAF503030110； （2）∵∠B=50°，∠BAD=30°， ∴∠ADB=180°-50°-30°=100°， ∵△ABD沿AD折叠得到AED， ∴∠EDA=∠BDA=100°，

∴∠EDF=∠EDA -∠ADF ＝∠EDA –(∠B+∠BAD)100503020． 【点睛】

本题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角的性质、翻折变换等问题，解答的关键是沟通外角和内角的关系．

21．（1）2a ；（2）6a；（3）7n ；（4）△ABC的面积至多为10平方米. (1)连接AD，根据等底等高的三角形的面积相等求出△ADE的面积即可；

(2)根据等底等高的三角形的面积相等求出△ADE、△AEF、△AFD的面积，相加即可； (3)由(2)得到△ABC向外扩展了一次得到的△DEF的面积S△DEF=7a，△ABC向外扩展了二次得到的△MGH的面积S△MGH=72a，找出规律即可；

(4)由(2)(3)的结论确定出种黄色牡丹，种紫色牡丹的面积，用总费用建立不等式，即可． (1)如图1，连接AD，

∵BC=CD， ∴S△ABC=S△DAC=a， ∵AE=AC，

∴S△DAE=S△DAC=S△ABC=a， ∴S1=S△CDE=S△DAE+S△DAC=2a， 故答案为：2a； (2)如图2，

由(1)有，S△CDE=2a， 同(1)的方法得到， S△EAF=2a， S△BDF=2a，

∴S2=S△CDE+S△EAF+S△BDF=6a， 故答案为：6a； (3)由(2)有S2=6a， ∴S△DEF=S2+S△ABC=6a+a=7a，

∴△ABC向外扩展了一次得到的△DEF的面积S△DEF=7a，

∴△ABC向外扩展了二次得到的△MGH，可以看作是△DEF向外扩展了一次得到， ∴S△MGH=7S△DEF=7×7a=72a，

∴△ABC向外扩展了二次得到的△MGH的面积S△MGH=72a， 同理：△ABC向外扩展了n次得到的三角形的面积S=7na， 故答案为：7n；

(4)由(2)有，△ABC第一次扩展区域面积为S2=6a，

同理：△ABC第二次扩展区域可以看成是△DEF向外扩展了一次得到， ∴S3=6S△DEF=6×7a=42a，

∵在△ABC的空地上种紫色牡丹，第二次扩展区域内种紫色牡丹， ∴种紫色牡丹的面积为a+42a=43a， ∵在第一次扩展区域内种黄色牡丹， ∴种黄色牡丹的面积为6a，

∵紫色牡丹花的种植成本为100元/平方米，黄色牡丹花的种植成本为95元/平方米．要使得种植费用不超过48700元， ∴100×43a+95×6a≤48700， ∴a≤10，

∴工程人员在设计时，三角形ABC的面积至多为10平方米. 【点睛】

本题考查了三角形的面积，面积和等积变形等知识点的应用，能根据等底等高的三角形的面积相等求出每个三角形的面积和根据得出的结果得出规律是解此题的关键. 22．(1)不会，∠P=55°；(2)不会，∠D=35°；(3)∠P+∠D=90°.

（1）先根据∠MON可求出∠OAB+∠OBA的度数，再根据∠MAB与∠NBA的平分线求出∠PAB+∠PBA的度数，即可求出∠P的度数；（2）根据BC是平分ABO，BP平方∠ABN，可求出∠DBP=90°，故可在直角三角形BDP中求出∠D（3）根据直角三角形BDP即可得出∠P和∠D的关系.

（1）∵∠MON=70°，∴∠OAB+∠OBA=110°， ∴∠MAB+∠NBA=360°-（∠OAB+∠OBA）=250°， ∵∠MAB与∠NBA的平分线交于点P

1(∠MAB+∠NBA)=125°， 2∴∠P=180°-(∠PAB+∠PBA)=55°.

∴∠PAB+∠PBA=

（2）∵BC是平分ABO，BP平方∠ABN， ∴∠DBP=

111∠ABN+∠ABO=（∠ABN+∠ABO）=90°， 222∴∠D=90°-∠P=35°，

（3）∵△BDP为直角三角形，故∠P+∠D=90°. 【点睛】

此题主要考查三角形内的角度计算，解题的关键是熟知三角形的内角和与角平分线的性质进行求解.

23．（1）∠EAD=20°；（2）2∠EAD=∠C-∠B．

（1）由三角形内角和定理可求得∠BAC=80°，在Rt△ADC中，可求得∠DAC＝20°，AE是角平分线，有∠EAC=∠BAC=40°，由∠EAD=∠EAC-∠DAC即可得到答案； （2）由（1）知，用∠C和∠B表示出∠EAD，即可知2∠EAD与∠C-∠B的关系． 解：（1）∵∠B=30°，∠C=70°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=80°． ∵AE是角平分线， ∴∠EAC=∠BAC=40°． ∵AD是高，∠C=70°， ∴∠DAC=90°-∠C=20°，

∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=40°-20°=20°；

（2）由（1）知，∠EAD=∠EAC-∠DAC=∠BAC-（90°-∠C）①， 把∠BAC=180°-∠B-∠C代入①， 整理得，∠EAD=∠C-∠B， 所以2∠EAD=∠C-∠B． 【点睛】

本题考查了三角形内角和定理、角的平分线的性质、直角三角形的性质，结合图形，灵活运用角度的计算是本题的解题关键．

24．（1）∠BOC=∠BAC+∠B+∠C．理由见解析；

1∠A．理由见解析； 22（3）∠BOC=60°+∠A．理由见解析.

3（2）∠BOC=90°+

（1）如图1，连接AO，延长AO到H．由三角形的外角的性质证明即可得到结论：∠BOC=∠BAC+∠B+∠C；

（2）利用角平分线的定义，三角形的内角和定理证明可得到结论：∠BOC=90°+（3）类似（2）可证明结论：∠BOC=60°+解：（1）∠BOC=∠BAC+∠B+∠C． 理由：

如图1，连接AO，延长AO到H．

1∠A； 22∠A． 3

∵∠BOH=∠B+∠BAH，∠CAH=∠C+∠CAH， ∴∠BOC=∠B+∠BAH+∠CAH+∠C=∠BAC+∠B+∠C， ∴∠BOC=∠BAC+∠B+∠C； （2）∠BOC=90°+理由： 如图2，

1∠A． 2

∵OB，OC是△ABC的角平分线， ∴∠OBC=

11∠ABC，∠OCB=∠ACB， 2211（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A， 221∴∠BOC=90°+∠A；

22（3）∠BOC=60°+∠A．

3理由：

11∵∠ABO=∠ABC，∠ACO=∠ACB，

33222∴∠BOC=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=60°+∠A．

3332故答案为：∠BOC=60°+∠A．

3【点睛】

∴∠BOC=180°-本题考查三角形的内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的角的基本知识．

25．（1）∠AEC+∠EAB+∠ECD=360°；（2）∠AEC=∠BAE+∠ECD；（3）

∠AEC+∠EAB=∠ECD；（4）见详解

（1）过点E作PE∥AB，然后根据平行线的性质求证即可； （2）过点E作PE∥AB，然后根据平行线的性质求证即可；

（3）把AB和EC的交点记作P，然后根据平行线的性质和三角形内角和180求证即可； （4）选取（1）（2）（3）任意一个根据平行线性质证明即可. （1）∠AEC+∠EAB+∠ECD=360°， 过点E作PE∥AB，如图1所示：

∵AB∥CD， ∴AB∥PE∥CD，

∴∠BAE+∠PEA=180°，∠PEC+∠ECD=180°， ∴∠BAE+∠PEA +∠PEC +∠ECD=360°， ∴∠AEC+∠EAB+∠ECD=360°；

（2）∠AEC=∠BAE+∠ECD， 过点E作PE∥AB，如图2所示：

∵AB∥CD， ∴AB∥PE∥CD，

∴∠PEA =∠BAE，∠PEC =∠ECD， ∴∠AEC=∠PEA +∠PEC =∠BAE+∠ECD； （3）把AB和EC的交点记作P，如图3所示：

∵AB∥CD， ∴∠ECD=∠EPB

∵∠AEC+∠EAB+∠EPA=180°，∠EPB+∠EPA=180° ∴∠AEC+∠EAB=∠EPB ∴∠AEC+∠EAB=∠ECD

（4）任意选取图1、2、3，证明过程见（1）（2）（3） 【点睛】

本题主要考查平行线的性质，熟练掌握性质是关键. 26．（1）60°；（2）8

（1）先利用三角形的外角性质计算出∠ABE=15°，再利用角平分线定义得到∠ABC=2∠ABE=30°，然后根据高的定义和互余可求出∠BAF的度数； （2）先根据中线定义得到BC=2BD=10，然后利用三角形面积公式求AF的长． （1）∵∠BED=∠ABE+∠BAE， ∴∠ABE=40°-25°=15°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABC=2∠ABE=30°， ∵AF为高， ∴∠AFB=90°，

∴∠BAF=90°-∠ABF=90°-30°=60°； （2）∵AD为中线， ∴BD=CD=5， ∵S△ABC=∴AF=

1AF•BC=40， 2240=8． 10【点睛】

本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了三角形外角性质和三角形面积公式．本题的关键是充分应用三角形的角平分线、高和中线的定义．