2019-2020学年山西省太原市高一上学期期中数学试题(解析版)

一、单选题

1．设集合A 2,1,0,1,B0,1,2,则AA．0,1 【答案】C

【解析】利用并集的定义求解即可 【详解】

集合A 2,1,0,1,B0,1,2,则A故选：C 【点睛】

本题考查并集的运算，考查列举法表示集合，是基础题 2．函数f(x)A．0,1

【答案】B

【解析】由对数式的真数大于0，根式内部的代数式大于等于0联立不等式组得答案． 【详解】

B．0,1

B（ ）

C．2,1,0,1,2  D． 2,2

B2,1,0,1,2 

x1lnx的定义域是（ ）

B．(0, ) D． 0,1C．[1, )(1, )

x＞0由，解得： x>0．

x10∴原函数的定义域为(0, )． 故选：B． 【点睛】

本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式组的解法，是基础题． 3．下列函数中,是偶函数的为（ ） A．y x 【答案】A

【解析】分别求出函数的定义域，利用偶函数的定义判断．

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yx B． 31C．y

2xD．y log2x

【详解】

A.函数的定义域为R，为偶函数，正确

B．函数的定义域为R，为奇函数，所以B错误． C．函数的定义域为R，函数为非奇非偶函数，错误

D．函数的定义域为（0，+∞），不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数． 故选：A． 【点睛】

本题主要考查函数奇偶性的判断，判断函数的定义域是否关于原点对称是判断函数奇偶性的前提．

4．与函数f（x）=x相等的函数是 A．g（x）=（x）2 C．g（x）=x2 【答案】B

【解析】通过求函数的定义域，对应法则可以判断出A，C ，D中的函数都不是同一函数，而对于B显然为同一函数． 【详解】

函数f（x）=x的定义域为R，值域为R

2

）而A. g（x）=（x）的定义域为[0，，

B．m（x）=3x3

x2 D．p（x）=xB. m（x）=3x3定义域和对应法则都相同，为同一函数； C.gxx2x 定义域为R，对应法则不同，

x2D. p（x）= 定义域为{x|x0}，定义域不同.

x故选B. 【点睛】

本题考查函数的三要素：定义域，值域，对应法则，而判断两函数是否为同一函数，只需判断定义域和对应法则是否都相同即可． 5．已知函数f(x)log2x,x0则f1f1=（ ） x2,x„0B．0

C．-2

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D．2

A．

1 2【答案】A

【解析】将1，-1代入函数解析式即可得解 【详解】

f1f121log21故选：A 【点睛】

1 2本题考查分段函数求值，是基础题

6．函数f(x)ax11(a0且a1)的图象必经过的定点是（ ） A．1,1 【答案】D

【解析】令指数x﹣1＝0，解得x＝1，则纵坐标可求，得解 【详解】

令x﹣1＝0，解得x＝1，

0

此时y＝a﹣1＝0，故得（1，0）

B． 0,2 C． 1,1 D．1,2

此点与底数a的取值无关，

x﹣1

故函数y＝a+1（a＞0且a≠1）的图象必经过定点（1，2）

故选：D． 【点睛】

本题考点是指数型函数，考查指数型函数过定点的问题．解决此类题通常是令指数为0取得定点的坐标．属于指数函数性质考查题．

7．已知alog0.32,b0.30.2,c0.23,则下列结论正确的是（ ） A． abc 【答案】B

【解析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解． 【详解】

B．bca

C．cab

D． bac

alog0.32log0.320；b0.30.20.310.3，0c0.230.210.2

故bca 故选：B 【点睛】

本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运

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算求解能力，是基础题．

8．已知点m,n在函数ylgx的图象上,则下列各点也在该函数的图象上的是（ ）A．m,2n 【答案】A

【解析】先由已知条件确定m、n的关系，再依次验证4个选项即可 【详解】

∵点m,n在函数y＝lgx的图象上 ∴n＝lgm

2对于A：lgm2lgm2n，∴A正确

2B．(10m,10n) C．(m10,n1)

D．m,n1 10对于B：lg（10m）＝lg10+lgm＝1+lgm＝1+n≠10n，∴B不正确 对于C：lgm10n1，∴C不正确 对于D：lg故选：A． 【点睛】

本题考查对数运算，要求熟练应用对数运算法则．属简单题

9．已知奇函数fx在R上单调递增,且f11,则不等式0fx1的解集是（ ）

mlgm1n1n1 ，∴D不正确 100,1 A． 【答案】A

B．1,0 C． 1,1

(1, ) D． 【解析】求得f（-1）＝﹣1，由题意可得不等式0奇函数f（x）在R上单调递增，且f（﹣1）＝﹣1， 可得f（1）＝﹣f（﹣1）＝1，

则不等式0fx1等价为f（0）0,1， 则原不等式的解集为 故选：A．

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【点睛】

本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，考查运算能力，属于基础题． 10．某校运动会上,高一(1)班共有28名同学参加比赛,其中有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有2人，没有人同时参加三项比赛,则同时参加田径比赛和球类比赛的人数为（ ） A．1 【答案】D

【解析】根据15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，同时参加游泳和田径的有3人，同时参加游泳和球类比赛的有2人，可以求得只参加游泳比赛的人数；再结合总人数即可求得同时参加田径和球类比赛的人数． 【详解】

只参加游泳比赛的人数：15﹣3﹣2＝10（人）；

同时参加田径和球类比赛的人数：8+14﹣（28﹣10）＝4（人）． 故选：D 【点睛】

本题主要考查排列、组合及简单计数问题，考查集合之间的元素关系，注意每两种比赛的公共部分．

11．设集合A{a,b},B0,a,bA．-1 【答案】A

【解析】由集合的包含关系得a,b的方程组，求解即可 【详解】

B．1 B．2

C．3

D．4

22,若AB,则ab（ ）

C．-1或1

D．0

aa2ba2AB，由集合元素互异性得a0,b0,ab 则 或 22bbabb1a1 解得或a1b1故选： A 【点睛】

本题考查集合的包含关系，考查元素的互异性，是基础题

12．已知x1、x2分别是方程2xxa0和log2xxa0的根,且x1x21,则

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实数a（ ） A．-2 【答案】B

x

【解析】由题意可得，直线y＝a﹣x和函数y＝2交点的横坐标为x1，直线y＝a﹣x和

B．-1 C．0 D．2

函数y＝log2x的交点的横坐标为x2，结合图象x1,x2关于yx对称即可求解 【详解】

已知x1、x2分别是方程2xxa0和log2xxa0的根,

x

故直线y＝a﹣x和函数y＝2交点的横坐标为x1，直线y＝a﹣x和函数y＝log2x的交

x

点的横坐标为x2，又y＝2与y＝log2x关于yx对称，则x1x2x1x2,即

2211,在y＝a﹣x上，故a=﹣1 22故选：B

【点睛】

本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，解答关键是运用数形结合的思想，属于中档题．

二、填空题

13．已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则ðUA=_____ 【答案】{2，4，5}

【解析】根据补集的定义直接求解：∁UA是由所有属于集合U但不属于A的元素构成的集合． 【详解】

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因为全集U1,2,3,4,5，A1,3， 所以根据补集的定义得ðUA2,4,5 故答案为：{2，4，5} 【点睛】

本题考查了补集的定义以及简单求解，属于基础题．

14．已知幂函数f(x)mm1x在(0,)上是减函数，则f2_________.

2m【答案】

1 2【解析】根据幂函数的定义及单调性求出m的值，代入2求值即可 【详解】

m2m11幂函数f(x)mm1x在(0,)上是减函数，则解得m=﹣1,

m02m故f(x)x,f211 2故答案为：【点睛】

1 2本题考查幂函数的性质的应用，熟记幂函数的单调性是关键，属于基础题． 15．若xlog321，则2x2x=___________________ 【答案】

10 3【解析】根据换底公式求得xlog23，代入表达式化简即可。 【详解】 因为xlog321 所以x所以

1log23 log322x2x log23log23222log232log213

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3110 33【点睛】

本题考查了对数函数与指数函数综合化简求值的应用，注意对数恒等式及换底公式的用法，属于基础题。

16．已知定义在R上的函数fx满足:①对于任意的x,yR都有

f(x)f(y)f(xy)成立;②当x 0时,fx0;③f31;则不等式

1f(x)2的解集为__________. 236,【答案】

2【解析】根据已知等式，采用赋值法结合函数奇偶性的定义，可得f（x）是奇函数； 再根据函数单调性的定义判断f（x） 在R上是减函数，转化为解不等式

3ff(x)f6即可求解 2【详解】

取x＝y＝0，可得f（0）＝0，

再取y＝﹣x，可得f（x）+f（﹣x）＝f（0）＝0， 所以f（﹣x）＝﹣f（x），f（x）是奇函数

任取0可得 f（x1）＞f（x2），所以f（x） 在（0，+）上是减函数 ，又 f（0）＝0，且函数为奇函数，则 f（x） 在R上是减函数， 又f6f3f32,f62 ，

3f32f1,f213f22131，故 f(x)2转化为

22233ff(x)f6，则不等式解集为6,

2236,故答案为：

2【点睛】

本题着重考查了函数的单调性与奇偶性、考查赋值法的应用，准确判断函数的单调性与奇偶性是关键，属于中档题．

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三、解答题

17．计算下列各式的值. （1）27320(34)2；

134log23log36. 33【答案】（1）；（2）3.

2（2）log2【解析】（1）利用指数运算性质求解 （2）利用对数运算求解 【详解】

（1）272(4)（2）log2【点睛】

本题考查指数运算及对数运算，熟记运算性质是关键，是基础题 18．已知全集UR,A{x|2x0},B{x|m1x3m}. （1）当m0时,求A1303323113； 224log23log36log24log23log231log323. 3B,AB;

m的取值范围. （2）若BðUA,求实数

【答案】（1）ABx|1x0,ABx|2x3；（2）[1,).

【解析】（1）当m0时,求得B,再求交集并集即可 （2）先求ðUA，再利用子集关系列不等式求解 【详解】

（1）当m0时，AB{x|2x0}{x|1x3}{x|1x0}，

AB{x|2x0}{x|1x3}{x|2x3}；

（2）∵A{x|2x0}，∴ðUA{x|x≤2或x0}, ∵BCUA

当B时，m1≥3m，解得m2.

m13mm13m当B时，或，

m103m2第 9 页 共 14 页

∴1„m2，

综上：实数m的取值范围为[1,). 【点睛】

本题考查集合的运算，考查集合间的关系，准确计算是关键，注意集合B为空集的讨论，是基础题

x21,x„019．已知函数f(x)1log1,0x„1,f(4)2.

2ax,x1

（1）求实数a的值,并在所给的平面直角坐标系中画出函数fx的图象; （2）根据fx的图象写出fx的单调区间,并求函数fx的值域.

【答案】（1）

1，图象见解析；（2）fx的单调增区间为(,0]和(1,)，单调减2区间为(0,1]，值域为(1,0][1,).

【解析】（1）由f(4)2，求得a，再画图像即可 （2）利用图像得单调区间和值域 【详解】

（1）∵f(4)42，∴a1，函数fx的图象如下图所示: 2

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（2）由图象可得函数fx的单调增区间为(,0]和(1,)，单调减区间为(0,1]； 函数fx的值域为(1,0][1,). 【点睛】

本题考查分段函数的性质与应用，考查函数图像的应用，准确画出图像是关键，是基础题

3ax2b20．已知f(x)(a,bR)，且f(1)0，f(2).

2x（1）求fx的解析式;

（2）判断函数fx在(0, )上的单调性,并证明你的判断.

1；（2）fx在(0,)上是增函数，证明见解析. x3【解析】（1）由f(1)0，f(2)列方程求解即可得解析式

2【答案】（1）f(x)x（2）利用单调性定义判断 【详解】

ab0a1∴ （1）由题意得，b3b12a22x211∴f(x)x，x(,0)(0,)；

xx（2）由（1）得函数f(x)x1,fx在(0,)上是增函数， x证明：设0x1x2,则fx1fx2x1111x2x1x21， x1x2xx12∵0x1x2，∴x1x20，110， x1x21∴fx1fx2x1x210，∴fx1fx2，

xx12∴fx在区间(0,)上是增函数. 【点睛】

本题考查函数的解析式，考查函数的单调性的判断与证明，熟记函数的单调性判断步骤：任取，作差，判符号是关键．

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21．已知f(x)axb11,1(a,bR)f(1),的定义域为且，f(0)0. 2x12（1）求fx的解析式;

（2）判断函数fx的单调性,并证明你的判断.

x；（2）f(x)在1,1上是增函数，证明见解析. 2x11【解析】（1）由f(1)，f(0)0.得a,b求得解析式

2【答案】（1）f(x)（2）利用单调性定义判断函数的单调性 【详解】

b0a11∴ （）由题意得ba1，b022x，x[1,1]， 2x1x,f(x)在1,1上是增函数， （2）由（1）得函数f(x)2x1∴f(x)x1x21x1x2x1x22证明：设1x1x21,则fx1fx22， 22x11x21x1x11222∵1x1x21，∴x1x20，1x1x20，x21x110，

∴fx1fx2x1x21x1x2x211x122，∴fx1fx2，

∴f(x)在1,1上是增函数. 【点睛】

本题考查函数的解析式，考查函数的单调性的判断与证明，熟记函数的单调性判断步骤：任取，作差，判符号是关键． 22．已知f(x)a12f(1),且，aR. x213（1）判断函数fx的奇偶性,并说明理由; （2）若11flog2m，求实数m的取值范围. 33【答案】（1）f(x)为奇函数，理由见解析；（2）【解析】（1）由f(1)1,2. 21得a求得解析式，再利用奇偶性定义判断 3（2）利用单调性定义判断函数的单调性，再解不等式即可

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【详解】 （1）∵f(1)a212，∴a1，∴f(x)1x(xR)， 332122x1211∵f(x)1xf(x)，∴f(x)为奇函数； x2112x21（2）由（1）得f(x)12(xR),且f(x)为奇函数， x21∵y2x在R上是增函数，∴f(x)在R上是增函数， ∵f(x)为奇函数，∴f(1)f(1)， ∵13111flog2m，∴1log2m1，∴m2，

233∴实数m的取值范围是【点睛】

1,2. 2本题考查函数的解析式，考查函数的单调性及奇偶性的判断与证明，熟记一般初等函数的单调性是关键． 23．已知f(x)log22a，且1x1f1，aR. 3（1）判断函数fx的奇偶性,并说明理由; （2）若1f31,求实数m的取值范围.

m【答案】f(x)为奇函数，理由见解析；（2）(,1).

【解析】（1）由f1得a求得解析式，再利用奇偶性定义判断 （2）先确定函数的单调性，再解不等式即可 【详解】

（1）∵flog213133a1，∴a1， 2∴f(x)log2由

1x21log2，

1x1x1x0得函数f(x)的定义域为1,1, 1x1x1xlog2f(x),∴f(x)为奇函数； ∵f(x)log21x1x第 13 页 共 14 页

（2）由（1）得f(x)log2∵y21,且f(x)为奇函数， 1x21在1,1上是减函数，∴f(x)在1,1上是减函数， 1x∵f(x)为奇函数，∴ff1， ∵1f31313m11m13∴，，∴m1， 33∴实数m的取值范围是(,1). 【点睛】

本题考查函数的解析式，考查函数的单调性和奇偶性的判断与证明，熟记一般初等函数的单调性是关键．

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