几道电磁难题

３

大小B=2×10-T，方向垂直于纸面向外，在x=r处的虚线右侧有一个方向竖直向上的宽度为L1=0.5m

３

的匀强电场区域，电场强度E=1.5×10N/C。在x=2m处有一垂直x方向的足够长的荧光屏，从O2．（18分）如图所示，在Oxy平面的ABCD区域内,存在一个边长为L的正方形匀强电场区域I，场强大小为E，方向沿x轴正方向,一个边长也为L的正方形匀强磁场区域Ⅱ，磁感应强度为点处向不同方向发射出速率相同的荷质比

q=1×109mC/kg带正电的粒子，粒子的运动轨迹在纸面内，一个速度方向沿y轴正方向射入磁场的粒子，恰能从磁场与电场的相切处进入电场。不计重力及阻力的作用。求：

（1）该粒子进入电场时的速度和粒子在磁场中的运动时间。

（2）该粒子最后打到荧光屏上，该发光点的位置坐标。

（3）求荧光屏上出现发光点的范围

B=

42mE5eL，方向垂直于纸面向外。m、e为电子的质量和电荷量（不计电子所受重力）。现将电子在该区域AB边的中点处由静止释放。试求： （1）电子离开电场区域时的速度大小 （2）电子离开ABCD区域的位置坐标

（3）若将一边长为L、由光滑绝缘壁围成的正方形容器置于区域Ⅱ，在其边界MN正中央开有一小孔 S，电子将从S孔水平射入容器中。撤去磁场B，在容器内部所在区域内重新加上一垂直纸面方向的匀强磁场B。，使电子在容器中与器壁多次垂直碰撞后仍能从S孔射出（粒子与绝缘壁碰撞时无能量和电量损失），则Ⅱ区域的磁感应强度B。的大小应满足什么条件？

3．（20分）如图所示，坐标系xOy在竖直平面内，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上。y<0的区域有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B；在第一象限的空间内有与x轴平行的匀强电场（图中未画出）；第四象限有与x轴同方向的匀强电场；第三象限也存在着匀强电场（图中未画出）。一个质量为m、电荷量为q的带电微粒从第一象限的P点由静止释放，恰好能在坐标平面内沿与x轴成θ=30°角的直线斜向下运动，经过x轴上的a点进入y<0的区域后开始做匀速直线运动，经过y轴上的b点进入x<0的区域后做匀速圆周运动，最后通过x轴上的c点，且4. (18分）如图所示,在一平面直角坐标系所确定的平面内存在着两个匀强盛场区域，以一、三象

限角平分线为界．上方区域磁场B1,垂直纸面向外，下方区城磁场B2，也垂直纸

面向外．且有B1 =2B2＝2B（B为已知量).在边界上坐标为(l.1)的位置有一粒子发射源S.不断向Y轴负方向发射各种速率的带电较子．所有粒子带电均为＋q，质量均为m．这些粒子只受磁场力在平面内运动，试问：

Oa=Oc。已知重力加速度为g，空气阻力可忽略不计，求：

（1）第一象限电场的电场强度E1的大小及方向；

（2）带电微粒由P点运动到c点的过程中，其电势能的变化量大小；

（3）带电微粒从a点运动到c点所经历的时间。 ‘

y P c a O θ x B b （1)发射之后能够在第一次经过两磁场边界时到达0点的粒子，其速度应确足什么条件？

(2)发射之后能够在第三次经过两磁场边界时到达O点的粒子，其速度应满足什么条件？

(3)这些粒子中到达0点所走的最长路程为多少？

1.解析

（1）由题意可知：粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径R=r=0.5m （2分）

mv2由牛顿运动定律得 Bqv=R （1分）

可得粒子进入电场时的速度v=qBRm110921030.51106m/s （1分） 在磁场中运动的时间t111=T42m4Bq13.1472110921037.8510s（2分） （2）粒子在磁场中转过120°角后从P点垂直电场线进入电场，如图所示， 在电场中的加速度大小a=

Eqm1.510311091.51012m/s2 （1分） 粒子穿出电场时vLy=at2=a1v1.510120.511060.75106m/s （1分） tanα=vy0.75v106 60.75 （1分） x110在磁场中y1=r=0.5m （1分） 在电场中侧移y12=

2at2121.51012(0.5221106)0.1875m （2分） 飞出电场后粒子做匀速直线运动y3=L2tanα=(2-0.5-0.5)×0.75=0.75m （1分）

故y=y1+y2+y3=0.5m+0.1875m+0.75m=1.4375m （1分） 则该发光点的坐标(2 ，1.4375) （1分）

（3）r=R，所有的带电粒子都平行于x轴射出磁场。（1分） yP’=yA+r=1.9375 m

yO’=yA-r=0.9375 m （1分）

故，P’ (2 ，1.9375) O’ (2 ，0.9375) P’ O’之间都有发光点（1分）

3．（20分）（1）在第一象限内，带电微粒从静止开始沿Pa做匀加速直线运动，受重力mg和电场力qE1的合力一定沿Pa方向，电场力qE1一定水平向左。………………………………………………………………………………………1分

带电微粒在第四象限内受重力mg、电场力qE2和洛仑兹力qvB做匀速直线运动，所受合力为零。分析受力可知微粒所受电场力一定水平向右，故微粒一定带正电。……………1分

所以，在第一象限内E1方向水平向左（或沿x轴负方向）。………………………1分 根据平行四边形定则，有 mg=qE1tanθ ………………………………………………1分

解得 E1=3mg/q …………………………………………………………………1分 （2）带电粒子从a点运动到c点的过程中，速度大小不变，即动能不变，且重力做功为零，所以从a点运动到c点的过程中，电场力对带电粒子做功为零。…………………1分

由于带电微粒在第四象限内所受合力为零，因此有 qvBcosθ=mg ………………1分

带电粒子通过a点的水平分速度vx=vcosθ=

mgBq ……………………………………1分 带电粒子在第一象限时的水平加速度ax=qE1/m=3g………………………………1分

v22带电粒子在第一象限运动过程中沿水平方向的位移x=x2a3mg6B2q2……………1分 由P点到a点过程中电场力对带电粒子所做的功Wm3g2电=qE1x=2B2q2………………1分

因此带电微粒由P点运动到c点的过程中，电势能的变化量大小

=m3g2ΔE电2B2q2…………………………………………………………1分

说明：其他方法正确的同样得分。但用动能定理的水平分量式求解的不能得分。

（3）在第三象限内，带电微粒由b点到c点受重力mg、电场力qE3和洛仑兹力qvB做匀速圆周运动，一定是重力与电场力平衡，所以有

qE3=mg ……………………………………………1分

y 设带电微粒做匀速圆周运动的半径为R，根据牛顿第二定

P 律，有 qvB=mv2/R ……………………………1分 c d a 带电微粒做匀速圆周运动的周期

O θ x T=2Rv2mqB………………………………1分 B e b 带电微粒在第三象限运动的轨迹如图所示，连接bc弦，因Oa=Oc，所以Δabc为等腰三角形，即∠Ocb=∠Oab=30°。过b点做ab的垂线，与x轴交于d点，因∠Oba=60°，所以∠Obd=30°, 因此Δbcd为等腰三角形，bc弦的垂直平分线必交于x轴上的d点，即d点为轨迹圆的圆心。…………………………………………………………………………2分

所以带电粒子在第四象限运动的位移xab=Rcotθ=3R

其在第四象限运动的时间t1=

xabv3mqB……………………………………………1分 由上述几何关系可知，带电微粒在第三象限做匀速圆周运动转过的圆心角为120°，即转过1/3圆周，所以从b到c的运动时间 tT2m2=

33qB ………………………………1分 因此从a点运动到c点的时间 t=t3m1+t2=qB+2m3qB=32m3qB ………1分