江西省上饶市重点中学2019届高三六校第一次联考
数学（理）试卷
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设集合A.
B.
， C.
D.
，则
( )
【答案】A 【解析】 【分析】
分别求出集合和，再求并集即可. 【详解】解不等式由所以故选A
【点睛】本题主要考查集合的并集运算，熟记概念即可求解，属于基础题型. 2.设A.
，则
B. 3 C.
( ) D. 2
得
. ，即
得
；
，即
；
【答案】A 【解析】 【分析】
先由复数运算法则将化简，再计算【详解】因为所以所以故选A
.
，
的模即可.
，
......
......
【点睛】本题主要考查复数的运算，熟记运算法则即可求解，属于基础题型. 3.已知函数A. B. 【答案】B 【解析】 【分析】 先计算出
的值，即可求出结果.
，所以
，
C. D.
，则
（ ）
【详解】因为
所以故选B
.
【点睛】本题主要考查分段函数求值的问题，由内向外逐步代入即可求出结果，属于基础题型. 4.“
”是“
”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】
根据对数不等式的性质解得
，利用充分条件和必要条件的定义进行判断.
【详解】∵ln（x+1）＜00＜x+1＜1﹣1＜x＜0， ∴﹣1＜x＜0故“故选B.
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，考查对数不等式的性质，属于基础题． 5.已知非零向量
满足
且
，则向量
的夹角为( )
”是“
，但
时，不一定有﹣1＜x＜0，如x=-3， ”的必要不充分条件，
A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先由
以及
表示出
，再由
即可求出结果.
......
......
【详解】因为所以
，所以
，
，即，
因此向量故选C
的夹角为.
【点睛】本题主要考查求向量的夹角，熟记向量数量积以及夹角公式，即可求解，属于基础题型. 6.函数
为奇函数，则
( )
A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先由函数
为奇函数，求出，再由微积分基本定理，即可求出结果.
【详解】因为所以故选D
为奇函数，所以，即
.
；
【点睛】本题主要考查微积分基本定理，熟记定理即可求解，属于基础题型.
7.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面3节的容积之积3升，下面3节的容积之积为9升，则第5节的容积为( ) A. 2升 B. 【答案】B 【解析】 设该等差数列为
，公差为． 升 C. 3升 D.
升
由题意得，即，解得．
∴8.函数
．选B．
的大致图像为（ ）
......
......
A. B.
C. D.
【答案】A 【解析】 【分析】 分别令【详解】令令
，得
和
，用排除法即可得出结果. ，得
，排除D.
，排除B、C选项；
故选A
【点睛】本题主要考查函数的图像，特殊值法是选择题中比较实用的一种方法，属于基础题型. 9.设
满足不等式组
，则
的最大值为（ ）
A. 3 B. -1 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】
由约束条件作出可行域，目标函数数即可得出结果. 【详解】由约束条件
作出可行域如下：
，求出
与
的交点坐标，代入目标函
......
......
因为目标函数
和
，令，则表示可行域内的点
最大.
与原点连线的斜率，由图像易知
的交点与原点连线的斜率最大，即
由得，所以，所以.
故选C
【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，只需理解目标函数的几何意义，结合可行域即可求解，属于基础题型. 10.设数列( ) A.
B.
C.
D.
满足
，且对任意整数，总有
成立，则数列
的前2018项的和为
【答案】B 【解析】 【分析】 由结果. 【详解】因为
，所以
，
得
，根据
分别求出数列
的前几项，确定数列的周期，进而可求出
因为所以
，所以，，，，即数列
是以4为周期的数列，
.
故选B
......
......
【点睛】本题主要考查数列的求和问题，根据题中条件，先确定数列为周期数列即可，属于常考题型. 11.已知函数
取值范围是（ ）． A. C. 【答案】D 【解析】 【分析】 先作出函数
的图像，再由函数
在区间[－2，4]内有3个零点可得，函数
与
B.
D.
,若函数
在区间[－2，4]内有3个零点，则实数的
在区间[－2，4]内有3个不同交点，进而可求出结果.
【详解】当函数
时，
；当
时，
；又
时，
，所以可作出
在[－2，4]的图像如下：
又函数在区间[－2，4]内有3个零点，所以函数
或
,
与在区间[－2，4]
内有3个不同交点，由图像可得即
或
.
故选D
【点睛】本题主要考查函数的零点问题，将函数有零点的问题转化为两函数有交点的问题来处理，运用数形结合思想即可求解，属于常考题型. 12.已知点O为双曲线C的对称中心，直线若使得A.
B.
成立的直线 C.
交于点O且相互垂直，与C交于点
，与C交于点
，
有且只有一对，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）
D.
【答案】D 【解析】
......
......
【分析】 根据使得
成立的直线
有且只有一对，可得双曲线渐近线的斜率大于1，进而可求出结果.
；所以渐近线方程为
，且使得
成
【详解】设双曲线方程为因为直线立的直线所以故选D
交于点O且相互垂直，与双曲线C交于点有且只有一对，所以可得
，所以
.
，
，与C交于点
，即
【点睛】本题主要考查双曲线的性质，解题关键在于搞清双曲线的渐近线与已知直线属于常考题型.
斜率之间的关系，
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中一名男生和一名女生的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】
分别求出“从5名学生中任选2名学生去参加活动”所包含的基本事件个数，以及“恰好选中一名男生和一名女生”所包含的基本事件个数，基本事件个数之比即是所求概率.
【详解】因为“从5名学生中任选2名学生去参加活动”所包含的基本事件个数为“恰好选中一名男生和一名女生”所包含的基本事件个数为所以恰好选中一名男生和一名女生的概率为故答案为
【点睛】本题主要考查古典概型的问题，只需分别计算出基本事件总数以及满足条件的基本事件数，即可求解，属于基础题型.
14.一个四棱锥的俯视图如图所示，它的外接球的球心到底面的距离是该球半径的一半，则这个四棱锥的侧视图的面积为______.
.
；
；
......
......
【答案】或【解析】 【分析】
根据该几何体的俯视图，先求出其外接球半径，再确定四棱锥的高，进而可得出侧视图的面积. 【详解】设该四棱锥外接球半径为，因为外接球的球心到底面的距离是该球半径的一半， 所以
所以四棱锥的高为因此侧视图的面积为故答案为或
，解得或
， ，
或
.
【点睛】本题主要考查几何体的三视图，解题关键在于求该四棱锥的高，属于基础题型. 15.若不等式【答案】【解析】 【分析】 因为不等式立，求出
【详解】因为不等式所以令
，则
在区间
, 在区间在区间
上恒成立，等价于
在区间
上恒成
在区间
上恒成立，则实数取值范围是___.
上的最小值即可.
在区间上恒成立；
上恒成立，
......
......
所以所以
时，时，
所以所以故答案为
.
，函数，函数.
得，
单调递减；
单调递增；
【点睛】本题主要考查导数的方法研究不等式恒成立的问题，根据不等式恒成立求参数的问题，通常需要分离参数，构造函数，由导数的方法求新函数的最值即可，属于常考题型. 16.已知一动点，若【答案】 【解析】 【分析】
以点为坐标原点，
方向为轴，
方向为轴，建立平面直角坐标系，设
，分别表示出
方向为轴，建立平面直角坐标系，则
，则
,
，
，
，
，
，即可求出结果.
中，
，则
，点是线段
上一动点，点是以点为圆心、为半径的圆上
的最大值为______.
得到圆的参数方程，表示出点坐标，再由【详解】因为
中，
方向为轴，
，设
以点为坐标原点，所以
所在直线方程为
又点是以点为圆心、为半径的圆上一动点，所以可设
因为，所以，所以，
所以故答案为
【点睛】本题主要考查向量在几何中的应用，结合题意表示出运算，即可求出结果，属于常考题型.
.
，再由三角函数的性质以及向量的坐标
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，
......
......
每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。
17.已知在(1)求(2)若
【答案】（1）； （2）【解析】 【分析】 (1)先由求出结果； (2)根据(1)的结果和【详解】(1)由
的面积为
，可求出
和
；再由余弦定理，即可求出结果.
的面积为
,
的面积为
且D为BC的中点，得到
的面积；再由三角形的面积公式和正弦定理即可
中，
分别为角A,B,C的对应边，点D为BC边的中点，的值； ，求。 .
的面积为
.
且D为BC的中点可知:
由三角形的面积公式可知:由正弦定理可得:所以 (2)在
,
,又因为为中点，所以
中由正弦定理可得
所以
中,
在
,所以
,
,
,即
,所以
,
,
由（1）可知 在直角
.
中用余弦定理，可得.
【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理以及面积公式，即可求解，属于常考题型.
18.在四棱锥
中，
，底面
为菱形，点为菱形对角线
的交点，且
.
......
......
（1）证明：（2）若
； ，问：在棱
上是否存在一点，使得
与平面
所成角的余弦值为
？
【答案】（1）见解析； （2）点M不存在. 【解析】 【分析】
（1）由线面垂直的判定定理可直接证明结论成立； （2）假设存在点，使得间直角坐标系，根据【详解】（1）证明： 又底面
为
中点 为菱形 ,
（2）以为原点，
与平面
, ,,
为轴，与
，， 则
,
,
中点的连线为轴，
，
，
，
为轴，
，
,
,
，以为原点，
为轴，与
中点的连线为轴，
为轴，建立空
所成角的余弦值为，求出的值，即可得出结果.
为等腰三角形
建立空间直角坐标系.则
令
设平面由令
得
的一个法向量为 得
解得又
,
,
不存在.即这样的点M不存在.
......
......
【点睛】本题主要考查线面垂直的判定，以及已知线面角求参数的问题，
熟记判定定理即可证明第一问；对于线面角的求法，通常采用空间向量的方法，属于常考题型.
19.某校为“中学数学联赛”选拔人才，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：分数不小于本次考试成绩中位数的具有复赛资格，某校有900名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间图如图．
内，其频率分布直方
（1）求获得复赛资格应划定的最低分数线； （2）从初赛得分在区间从得分在区间
与
的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流，那么各抽取多少人？
中参加全市座谈交流的
（3）从（2）抽取的7人中，选出4人参加全市座谈交流，设表示得分在人数，学校打算给这4人一定的物质奖励，若该生分数在
给予500元奖励，若该生分数在
给予800元奖励，用Y表示学校发的奖金数额，求Y的分布列和数学期望。 【答案】（1）本次考试复赛资格最低分数线应划为100分； （2）5人，2人；（3）【解析】 【分析】
（1）求获得复赛资格应划定的最低分数线，即是求考试成绩中位数，只需满足中位数两侧的频率之和均为0.5即可；
（2）先确定得分在区间
与
的频率之比，即可求解；
元.
（3）先确定的可能取值，再求出其对应的概率，即可求出分布列和期望. 【详解】（1）由题意知
的频率为：
的频率为：
所以分数在
，
的频率为：
，
......
......
从而分数在的，
解得
．
假设该最低分数线为由题意得
故本次考试复赛资格最低分数线应划为100分。 （2）在区间在区间分在区间
与
，
，
的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人， 与
各抽取5人，2人，结果是5人，2人．
（3）的可能取值为2，3，4，则：
，
从而Y的分布列为 Y
(元)．
【点睛】本题主要考查频率分布直方图求中位数，以及分层抽样和超几何分布等问题，熟记相关概念，即可求解，属于常考题型.
20.已知椭圆的等腰直角三角形. (1)求椭圆的方程； (2)动直线
个定点，使得以线段【答案】（1）【解析】 【分析】
(1)根据椭圆的一个焦点与短轴的两个顶点的连线构成等腰直角三角形，以及斜边长为，可求出进而可求出椭圆方程；
，
交椭圆于
两点，试问：在坐标平面上是否存在一
的两焦点在轴上，且短轴的两个顶点与其中一个焦点的连线构成斜边为
2600 2300 2000 为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。 ； （2）线段AB为直径的圆恒过点Q(0,1).
......
......
(2)先由直线由证明即可. 【详解】(1)
可得求过定点；根据与轴平行时或与轴平行时，先求出定点，再
椭圆的一个焦点与短轴的两个顶点的连线构成等腰直角三角形，
，故.
,
； .
，
，
.
又斜边长为，即椭圆方程为
(2)由题意可知该动直线过定点
当与轴平行时，以线段AB为直径的圆的方程为当与轴平行时，以线段AB为直径的圆的方程为由
得
，
.
故若存在定点，则的坐标只可能为下面证明
为所求：
若直线的斜率不存在，上述已经证明. 若直线的斜率存在，设直线：
，
由
， 得
， ，
，
，
=
，
，，
，
，即以线段AB为直径的圆恒过点
.
【点睛】本题主要考查椭圆的方程，以及椭圆中存在定点满足某条件的问题，通常需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理求解，属于常考题型，计算量较大.
21.已知函数(1)求的值； (2)求(3)若
的单调区间和极值； 时，
，求的取值范围。
，曲线
与
在原点处的切线相同。
......
......
【答案】（1）【解析】 【分析】 （1）分别对函数(2)由(3)构造函数
； （2）见解析；（3）.
和求导，由题意得，即可求出结果；
求增区间，由求减区间，进而可得出结果;
，由导数的方法分类讨论研究其单调性和最值即可得出结果.
，
【详解】（1）因为依题意，（2）所以当故
时，
；当
时
，得
，
的单调递减区间为的极小值为
，单调递增区间为，
；无极大值；
时，
,
,此时无论K取何值均满足
，
,所以
， 递增， 时，，所以
，x趋近
时
。 在趋近使得上递增，因为
，
， ,所以
，
递增，
，
（3）由（1）知，当当所以又令因为①当从而②当又因为
时，时时，
，令，所以 即满足
时，
令
得在
根据零点存在性定理所以存在所以
在
上递减，在
时，
此时不满足
......
......
综上所述，的取值范围是。
【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，研究其单调性和极值等，属于常考题型.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23二题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.在平面直角坐标系
中，已知曲线的参数方程为
（为参数），曲线的参数方程为
．
（1）求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程；
（2）设为曲线上的动点，求点到上点的距离的最小值，并求此时点的坐标。
【答案】（1）【解析】 【分析】
； （2）最小值，点.
（1）由曲线的参数方程消去参数之间得出其普通方程；由曲线的参数方程先化为普通方程，进而可得出极坐标方程；
（2）根据曲线的参数方程设出【详解】（1）对曲线：
，
，由点到直线的距离公式即可求解. ，
∴曲线的普通方程为对曲线消去参数可得∴曲线的直角坐标方程为又
，
．
且．
从而曲线的极坐标方程为。
（2）设曲线上的任意一点为，
......
......
则点到曲线：的距离，
当，即时，，此时点的坐标为．
【点睛】本题主要考查曲线的参数方程与极坐标方程，熟记方程互化的公式，灵活使用曲线的参数方程，即可解题，属于常考题型.
23.设函数（1）求不等式
. 的解集；
成立，求实数的取值范围。 .
（2）若存在使不等式【答案】（1）【解析】 【分析】
； （2）
（1）分情况去绝对值，分别求出不等式解集，再取并集即可； （2）存在使不等式即可. 【详解】（1）由∴∴不等式（2）所以令即
所以实数的取值范围是
。
成立即
，
，
或的解集是
得：
， ， 解得：． ，当
时显然不成立，
或
．
成立等价于
成立，因此直线求出
的最小值
【点睛】本题主要考查含绝对值不等式的解法，以及根据不等式成立求参数的问题，属于常考题型.
......
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