高中数学必修一-第4章-指数函数和对数函数-教案

知 识 清 单

4.1指数

知识1 根式 1.n次方根 （1）定义

如果xn=a(n1,nN)，那么x叫做a的n次方根.

（2）性质

①任何实数都有奇次方根，正数的奇次方根是正数，负数的奇次方根是负数，即对于

na，若n是奇数，则aR；

②非负实数有偶次方根，正数a的偶次方根有两个，这两个数互为相反数，记为na，即对于na，若n是偶数，则a[0,+)；

③负数没有偶次方根；

④0的任何次方根都是0，记作n0=0.

2.根式的定义和性质 （1）定义

式子na叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数. （2）性质

(na)n=a(n1,nN)；当n为正奇数时，

nnan=a，当n为正偶数时，

a,a0，an=|a|=

−a,a0.例1 有下列说法： ①3−125=5； ②16的4次方根是2； ③481=3；

④(x+y)=|x+y|．

其中，正确的有 ．（填正确说法的序号）

2 1 / 30

解析 n为奇数时，负数的n次方根是负数，3−125=−5，故①错误；16的4次方根有两个，为2，故②正确；481=3，故③错误；(x+y)是非负数，故(x+y)=|x+y|，故④正确． 答案 ②④

知识2 分数指数幂

n①正数的正分数指数幂：规定am=n−nm22am(a0,m,nN,n1). 1nam②正数的负分数指数幂：规定a==1nam(a0,m,nN,n1).

③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.

例2 （多选）下列各式中既符合分数指数幂的定义值又相等的是（ ）

A.(−1)和(−1)

132643B.3和

13−43

C.2和4

132612141D.4和

2−632−3解析 对于A，(−1)=−1，(−1)=(−1)=1，故A错误；对于B，

3232213−43=3，故B正

43确；对于C，4=(2)=2，故C正确；对于D，41412412−=(2)2−1=2−3=，

81−1−33=(2)=2=8，故D错误． 2答案 BC

−3

要点释义

n1）分数指数幂把指数从整数拓展到了有理数，但要注意不能把am理解成

n个a相乘，而m是要转化成根式来理解.

2）正数的分数指数幂总是正数，无论指数是正或负，这点要注意.

n3）对于am(m,nN,n1)，若a是负数，则当n

nm为偶数时a有意义，当n为奇数时，只

有m

1也是奇数时才有意义.例如(−2)31有意义，而(−2)2无意义.

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知识3 有理数指数幂运算法则

有理数指数幂运算同初中学过的整数幂运算性质相同： 文字表述 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 幂的乘方，底数不变，指数相乘 积的乘方，等于乘方的积 商的乘方，等于乘方的商 数学语言 aman=am+n(a0,m,nQ) (am)n=amn(a0,m,nQ) (ab)m=ambm(a0,mQ) bnba=n(a0,b0,nQ) an同底数幂相除，底数不变，指数相减

例3 （1）化简：4ab23−13am=am−n(a0,m,nQ) na4−2−1−a3b3（a0，b0）． 3（2）求值：80.252442+−+23−1.

39−132313431解析 （1）原式=4ab−a3b3

221+3314−+3323=−6ab

=−6ab．

（2）原式=(2)2+141313414242+ 3931313242=(232)++

39322=2++

3310=. 3

ex−e−xex+e−x例4 设f(x)=，g(x)=（其中e是一个常数），求证：

22（1）g(x)−f(x)=1；

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22（2）f(2x)=2f(x)g(x)； （3）g(2x)=g(x)+f(x)．

22e2x+e−2x+2e2x+e−2x−22证明 （1）因为[f(x)]=，[g(x)]=，

442所以[g(x)]2−[f(x)]2=1．

e2x−e−2xe2x−e−2x（2）因为f(2x)=，f(x)g(x)=，

24所以f(2x)=2f(x)g(x)．

e2x+e−2x+2e2x+e−2x−2e2x+e−2x22（3）因为g(2x)=，[f(x)]=，[g(x)]=，

442所以g(2x)=[f(x)]+[g(x)]．

224.2指数函数

知识4 指数函数的概念

一般地，函数y=a(a0且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是(0,+).

x例5 下列函数中，是指数函数的（ ）

A.y=23

xB.y=3

xxC.y=3x+1

D.y=x

3解析 指数函数必须是形如y=a(a0且a1)的函数，即底数必须是常数，指数必须是x.A选项中的函数只能叫做指数型函数；C选项中y=3型函数；D选项中y=x是幂函数，只有B选项符合题意. 答案 B 要点释义

1）对于指数函数y=a(a0且a1)，其中a的系数必须为1，否则就不能叫指数函数，例如y=2a只能叫指数型函数.

xx+1=33x，同样也是指数

3xx 4 / 30

2）对于a的底数a，因为a=0时a要么无意义，要么等于0；而a=1时，a=1恒成立.这两种情况都没有研究意义，所以规定a0且a1.

xxx

知识5 指数函数的图象与性质 1.指数函数的图象

对于y=ax(a0且a1)，根据底数a的大小，可将指数函数分成下表所示的两类：

解析式 y=ax(0a1) y=ax(a1) 图象 定义域 值域 定点 单调性 在R上单调递减 x R (0,+) (0,1) 在R上单调递增

例6 设p:1x2，q:21，则p是q成立的（ ）

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

xB.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析 由于指数函数y=2在R上单调递增，不等式2x1等价于2x20，结合指数函数

y=2x的图象可得x0.由于1x2x0，而x01x2，所以p是q充分不

必要条件. 答案 A

要点释义

1）任意两个指数图象都是相交的，交点为定点(0,1)；底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称；函数图象只经过第一、二象限.

2）当a1时，指数函数的图象呈上升趋势；当0a1时，指数函数的图象呈下降趋势.当底数a的大小不确定时，必须分类讨论.

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3）在第一象限内，当a1时，a的值越大，指数函数的图象越靠近y轴；当0a1时，a的值越小，指数函数的图象越靠近x轴.

知识6 指数式的大小比较

类型 同底不同指 比较对象 ax1与ax2 方法 利用指数函数示例 2比较233与24y=ax的单调性判断 的大小：由于函数y=2x单2323调递增，又，所以2324 34比较与的大小：由于函数34123133同指不同底 x1与x2 利用幂函数y=x的单调性 y=1x3单调递增，又13323，所以3434 123不同底不同指 a与b x1x2一般可以采用中间值法，常取用中间值1，利用指数函数性质判断其与1的大小关系 2比较3−13与2−12的大小：由指数函数单−1302调性可知，31−222=1，3−1222=1，所以30−132

例7 比较下列各组数的大小： （1）1.5和1.5；

2.53.2 6 / 30

（2）0.6−1.2和0.6−1.5；

（3）1.5和0.8．

0.31.2解析 （1）因为函数y=1.5x在R上是增函数，2.53.2， 所以1.52.51.53.2．

（2）因为函数y=0.6x在R上是减函数，−1.2−1.5， 所以0.6−1.20.6−1.5．

0.3（3）由指数函数的性质知1.5而0.81.21.50=1，

0.80=1，

0.3所以1.50.81.2．

知识7 指数型函数

我们把形式类似指数函数，但又不符合指数函数条件的函数，称为指数型函数.常见的指数型函数有两类，我们可以把它们看作是指数函数和其他基本函数的复合函数.

1.y=f(ax)(a0且a1)型

令t=ax，则函数y=f(ax)可视为函数y=f(t)和t=ax的复合函数.实际解题时，常用换元思想来解决这类复合函数问题. 例8 已知函数f(x)=a域．

解析 因为y=f(x)=a22x2x+2ax−1（a0且a1），当x0时，求函数f(x)的值

+2ax−1，令t=ax，

2所以y=g(t)=t+2t−1=(t+1)−2． 当a1时， 因为x0， 所以t1，

所以当a1时，y2， 当0a1时， 因为x0，

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所以0t1，

因为g(0)=−1，g(1)=2， 所以当0a1时，−1y2．

综上所述，当a1时，函数的值域是[2,+)； 当0a1时，函数的值域是(−1,2]．

2.y=af(x)(a0且a1)型

令t=f(x)，则函数y=af(x)可视为函数y=at和t=f(x)的复合函数.关于该复合函数有以下几个结论：

①函数y=af(x)与函数f(x)的定义域相同；

②函数y=af(x)的值域可以由f(x)的值域结合指数函数的单调性得到；

③当a1时，函数y=af(x)与函数f(x)单调性相同；当0a1时，函数y=af(x)与函数

f(x)单调性相反.

例9 已知函数f(x)=a（1）求a的值；

（2）求函数y=f(x)(x0)的值域．

解析 （1）因为函数图象经过点4,，

x−21(x0)的图象经过点4,，其中a0，且a1．

919所以a4−211==， 932所以a=1． 3x−21（2）f(x)=3103x−2(x0)，由x0，得x−2−2，

−21=9． 3 8 / 30

函数y=f(x)(x0)的值域为(0,9]．

4.3对数

知识8 对数的相关概念 1.对数的定义

一般地，如果ax=N(a0且a1)，那么把x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.

2.对数的性质

①负数和0没有对数；

②1的对数等于0，即loga1=0(a0且a1)； ③底数的对数等于1，即logaa=1(a0且a1)； ④对数恒等式：alogaN=N(a0且a1,N0).

要点释义

11）对数运算符号与分数符号、根号等一样，都是人为设定用来方便表示数的.是无限小数，

32是无理数，而对数运算的结果很多也是无理数，因此用对数符号“log”很方便.

2）对数运算可以看作是幂运算的逆运算，应当联系起来理解.

3.两种特殊的对数 名称 常用对数 自然对数

4.对数与指数的关系

幂值 真数

定义 以10为底的对数叫做常用对数 以e为底数的对数被称为自然对数，其中e是无理数，e=2.71828… 符号 log10N简记作lgN logeN简记作lnN ax=NlogaN=x 底数 指数

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对数

例10 下列指数式与对数式互化不正确的是（ ）

A.e=1与loge1=0

120B.8−13=111与log8=− 2231

C.log39=2与9=3 D.log77=1与7=7

2解析 由指数和对数的定义可知选项A，B，D都正确，选项C中，log39=23=9，所以C错误． 答案 C

知识9 对数的运算 1.对数的基本运算法则

如果a0且a1，M0,N0，那么： 运算名称 积的对数 商的对数 幂的对数 数学语言 loga(MN)=logaM+logaN 文字描述 两数积的对数，等于两数对数之和 两数商的对数，等于两数对数之差 幂的乘方取对数，要把指数提到前面作为乘数 −alogaM=logaM−logaN NlogaMn=nlogaM(nR)

例11 （2020全国卷Ⅰ·文）设alog34=2，则4

A.

=（ ） 1 8−a1 16B.

a1 9a2C.D.

1 6解析 由alog34=2可得log34=2，所以4=3=9，所以有4答案 B

=1． 9例12 （2020新高考卷I）（多选）已知a0，b0，且a+b=1，则( )

A.a2+b21 2B.2a−b1 2C.log2a+log2b−2

22222D.a+b2 21111a+b=a+(1−a)=2a−2a+1=2a−+，解析 对于A，当且仅当a=b=时，

2222等号成立，故A正确；对于B，a−b=2a−1−1，所以2a−b2−1=1，故B正确；对于C，2 10 / 30

1a+b1log2a+log2b=log2ablog2=log=−2，当且仅当a=b=时，等号成立，故C2422不正确；对于D，因为(a+b)2=1+2ab1+a+b=2，所以a+b2，当且仅当

2a=b=1时，等号成立，故D正确. 2答案 ABD

2.换底公式及推论 logcb换底公logab=(a0且a1,c0且c1,b0) loga式 c推论1 推论2 推论3 logambn=nlogab m1 logab=logbalogablogbclogcd=logad(a0，且a1，b0，且b1，c0，且c1，d0) 32−13

例13 （1）求值：lg100+log2(42)+(0.125)． （2）求值：(lg2)+lg21+4−lg2−log100125． 16（1）原式=lg10+log22+8

813=1+8+2

=11．

（2）原式=13(lg2)2−4lg2+4−lg2−lg5

2213=2−lg2−lg2−lg5

2233=2−lg2−lg5

223=2−(lg2+lg5)

23=2−

21=. 2

要点释义

1）换底公式的意义在于改变对数式的底数，以便于计算或证明.

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2）在使用换底公式时，要根据需要和从简的原则选择合适的底数，一般换成以10或e为底的常用对数或自然对数.

4.4对数函数

知识10 对数函数的定义

一般地，函数y=logax(a0且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0,+)，值域是R.

例14 （2020北京卷）函数f(x)=1+lnx的定义域是 ． x+1解析 由题意得答案 (0,+) 要点释义

x0,所以x0，写成区间形式为(0,+)．

x+10,1）形如y=logg(x)f(x)的函数，其定义域需满足f(x)0，g(x)0，g(x)1. 2）形如y=f(logax)的复合函数在求定义域时，必须保证解析式的每一部分都有意义.

知识11 对数函数的图象与性质

根据底数a的大小，可将对数函数y=logax(a0且a1)分成下表所示的两类：

解析式 图象 y=logax(0a1) y=logax(a1) 定义域 值域 定点 单调性 (0,+) R (1,0) 在(0,+)上单调递减 在(0,+)上单调递增 对数函数图象具有以下特点： ①任意两个对数函数的图象都是相交的，都经过定点(1,0)；底数互为倒数的两个对数

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函数的图象关于x轴对称；函数的图象只在第一、四象限.

②当a1时，对数函数的图象呈上升趋势；当0a1时，对数函数的图象呈下降趋势.

③对数函数图象在同一坐标系中，在第一象限内，底数越大，越靠近x轴；底数越小，越靠近y轴.

例15 下列函数中，在区间(0,+)上单调递增的是（ ）

A.y=1x21x2

B.y=2−x

xC.y=log1x

2D.y=1 x解析 y==x，y=2−x11=，y=log1x，y=的图象如图所示.

x22

由图象可知，只有y=答案 A

知识12 反函数

（1）反函数的定义

一般地，对于函数y=f(x)，其定义域为A，值域为C，根据f(x)的解析式将原自变量x用y表示出来，得到表达式x=g(y).若通过x=g(y)，y在C中取任意值时，在A中都有唯一的x值与之对应 ，则x=g(y)表示的就是x关于自变量y的函数，这样的函数

1x2=x在区间(0,+)上单调递增.

x=g(y)(yC)叫做原函数y=f(x)的反函数，记作y=f−1(x).

（2）反函数的性质

①特别地，指数函数y=a(a0且a1)与对数函数y=logax(a0且a1)互为反函数；

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x②函数y=f(x)的定义域、值域分别为它的反函数y=f−1(x)的值域、定义域； ③互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称，即对于函数y=f(x)图象上的任意一点(a,b)，都能在其反函数的图象上找到对应点(b,a)（如下图中同底的指数函数与对数函数）；

④互为反函数的两个函数具有相同的单调性.

知识13 对数式的大小比较

根据两个对数式的底数和真数情况不同，对数式的常见比较方法归纳如下：

类型 同底不同真 比较对象 logax1方法 利用对数函数y=logax的单调示例 比较log12与23与log1的大小：由于函数342logax2 性判断 log1x单调递减，又223，所以34log1232log1 432同真不同底 logx1alogx2a 与利用数形结合或利用换底公式化成同底对数式 比较log35与log25的大小：都换成以5为底的对数式，log35=log25=log551=log52log52log551，=log53log53，由于log53log520，所以11， log53log52即log35log25 14 / 30

不同底不同指 logax1与logbx2 一般可以采用中间值法，常取用中间值1，利用指数函数性质判断其与1的大小关系 比较log23与log34的大小：由于两者介于1和2之间，所以考虑比较两者的2倍.由于2log23=log293，2log34=log3163，所以log23log34

知识13 一次函数、指数函数和对数函数模型的增长率 模型名称 一次函数 解析式 图象 y 图象特点 随着x的增大，图象均匀上升 y=kx(k0) O 指数函数 x 随着x的增大，图象上升速度越来越快，即曲线越来越陡 y=ax(a1) 对数函数 y=logax(a1) 随着x的增大，图象上升速度越来越慢，即曲线越来越缓

要点释义

1）底数大于1的指数函数图象从左往右看上升越来越快，常称作“爆炸性增长”，是以上三个函数模型中增长最快的，常用于描述初期快速增长的数学量，例如新冠肺炎病例数量初期的变化规律.

2）若用于描述处于不断增长，但增长速度越发趋于平缓的实际问题中的变量时，可选用对数函数模型.

4.5函数的应用（二）

知识13 函数零点的基本概念

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1.函数零点的定义

对于函数y=f(x)，我们把使等式f(x)=0成立的实数x的值叫做函数y=f(x)的零点. 2.方程的根与函数零点的关系

函数y=f(x)的零点就是关于x的方程f(x)=0的实数根，也即函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，故：方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点.

例16 函数f(x)=x2−3x−4的零点是（ ）

A.(1,−4)

2B.(4,−1) C.1,−4 D.4,−1

解析 由x−3x−4=0，解得x1=4,x2=−1，所以f(x)的零点有两个，分别为4,−1. 答案 D

3.零点的分类

由于函数在零点处的函数值等于0，根据零点两侧函数值的符号相同或不同，可以把零点分成以下两类： 名称 定义 图象示例 y 特征 变号零点 两侧函数值异号的零点 单调性在零点处不变 y=f(x) O 不变号零点 两侧函数值同号的零点 x0 x 单调性在零点处改变 y x0 O x y=f(x)

4.常见函数零点情况 函数 正比例函数 一次函数 二次函数 解析式 零点情况 一个零点0 y=kx(k0) y=kx+b(k0) 一个零点−b k2y=ax2+bx+c(a0) （1）方程ax+bx+c=0有两个不相等实 16 / 30

数根时，有两个零点； （2）方程ax+bx+c=0有两个相等实数根时，有一个零点； （3）方程ax+bx+c=0无实数根时，无零点 反比例函数 幂函数 指数函数 对数函数

例17 若函数f(x)=x−ax+b的两个零点是2和3，则函数g(x)=bx−ax−1的零点是（ ）

A.−1和

222y=k(k0) x无零点 （1）当0时有一个零点0； （2）当0时无零点0 无零点 一个零点1 y=x y=ax(a0,a1) y=logax(a0,a1) 21 6B.1和−1 6C.

11和 23D.−1和21− 3解析 由于f(x)=x−ax+b有两个零点2和3，所以a=5，b=6．所以

21g(x)=6x2−5x−1，解方程6x2−5x−1=0，得两个实数根1和−，所以函数g(x)有两

61个零点1和−．

6答案 B

要点释义

1）函数的零点是实数而不是点，要注意区分. 2）函数的零点与对应方程的实数根有着密切关系，但不能混为一谈.例如对于一元二次方程，实数根存在“两个不相等实数根”“两个相等实数根”以及“无实数根”三种情形，对应的函数零点情形为“两个零点”“一个零点”和“无零点”，即相等的实数根只能算作一个零点.

知识14 函数零点存在定理

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)0，则函数y=f(x)在区间[a,b]上必有零点.即存在实数m[a,b]，使得f(m)=0.

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例18 函数f(x)=

A.(1,2)

2−lnx的零点所在的区间为（ ） xB.(2,3)

C.(3,4)

D.(4,5)

解析 函数f(x)的定义域为(0,+)，易知函数f(x)在定义域内的图象是一条连续不断的曲线，且f(x)在定义域内单调递减.又f(1)=2−ln1=20，1f(2)=22−ln2=1−ln20，f(3)=−ln30，由于f(x)在定义域内单调递减，所以23f(4)0，f(5)0.结合选项，因为f(2)f(3)0，所以函数f(x)的零点所在的区间为

(2,3).

答案 B

要点释义

1）零点存在定理中两个条件缺一不可，例如对于反比例函数f(x)=1，虽然有xf(1)f(−1)0，但f(x)=1在区间[−1,1]内无零点，因为函数图象在该区间内不连续. x22）不满足零点存在定理的条件不代表无零点，例如二次函数f(x)=x−1，由于

f(−2)f(2)0，不满足定理条件，但显然f(x)在区间[−2,2]存在两个零点，即−1和1.

3）零点存在定理只能证明零点至少存在一个（且是变号零点），无法证明零点唯一. 4）若函数f(x)在区间[a,b]上的图象连续不断，且是单调函数，满足f(a)f(b)0，则

f(x)在区间[a,b]上有唯一零点.

知识15 二分法

对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)0的函数y=f(x)，若其零点难以直接求得，可通过不断地把区间一分为二，使得区间的端点逐渐逼近零点，进而得到零点近似值.这种方法叫做二分法.

二分法只能求出变号零点的近似值. 知识16 求解函数的零点

零点存在性定理只能判断函数在指定区间内有无零点，而不能确定具体的零点个数，要求函数零点个数，有以下几种思路： （1）解方程法

令f(x)=0，该方程的解的个数即零点个数. （2）定理结合单调性

由该定理结合函数的单调性与图象，确定函数零点个数. （3）数形结合

18 / 30

对于y=f(x)−g(x)型的函数，可分别画出y=f(x)和y=g(x)的图象，判断其交点的个数，即为零点个数.

例19 函数f(x)=2x+x3−2在区间(0,1)内的零点个数是（ ）

A.0

B.1

C.2

D.3

解析 易知f(x)在(0,1)上单调递增，且f(0)=20+03−2=−10，

f(1)=21+13−2=10，因为f(0)f(1)0，根据零点存在性定理，所以f(x)在(0,1)内

的零点个数是1． 答案 B

例20 已知函数f(x)=e+|x|．若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（ ）

A.(0,1) D.(−,−1)

xxB.(1,+) C.(−1,0)解析 将方程f(x)=k化为e=k−|x|，令g(x)=e，h(x)=k−|x|，则h(x)=k−|x|的图象为过点(0,k)的斜率为1或−1的平行折线系，折线与曲线y=e恰好有一个公共点时有

xxk=1，如图，

所以若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是(1,+)．

考 点 清 单

考点1 指数式和根式的运算求值

x+yx−y11−考题1 已知x=,y=，求的值.

42x−yx+y 19 / 30

(x+y)2(x−y)2解析 原式= −x−yx−y=4xy， x−y41114118=−161=−42. 42=将x=,y=代入，原式=111842−−424

考题2 已知a+a−112−12=3，求下列各式的值：

2−2（1）a+a；（2）a−a. 解析（1）将a+a−112−12=3两边同时平方，

得a+a+2=9， 所以a+a−1=7。

21−1−1（2）由（1）知a2−a2=a−2+a=5，

12−12可得a−a所

2−2=5，

以

−1−1−1111−−1a−a=(a+a)(a−a)=(a+a)a2+a2a2−a2=73(5)=215.

备考策略

利用指数幂的运算性质求指数式的值，通常有以下思路： 1）直接将已知条件代入式中求解。

2）直接求解比较繁琐时，可先化简指数式.通常可利用初中阶段所学的乘法公式来化简根式和指数式，常用的变形公式有：①a−b=(a+b)(a−b)；②

22ab=(ab)(a1212332ab+b)；③a−b=(a+b)(a−b)(a0,b0)；④

122212121212a2ab+b=(ab).化简之后再代入条件求值.

考点2 指数函数的性质、图象及应用

20 / 30

122x3考题3 （2019全国卷Ⅲ·理）函数y=x在[−6,6]的图象大致为（ ）

2+2−x A. B.

C. D.

解析 因为

2x3y=f(x)=x,x[−6,6]−x2+2，所以

2(−x)32x3f(−x)=−x=−x=−f(x)，所以f(x)是奇函数，排除选项C.当x=4时，

2+2x2+2−x243128y=4−4=(7,8)，排除选项A，D.

12+216+16答案 B

考点3 对数的运算

考题5 （2019北京卷·理）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2−m1=5E1lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2)．已知太阳2E2的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）

A.1010.1

B.10.1

C.lg10.1

D.10−10.1 5E1lg，所以2E2解析 由题意知，m1=−26.7，m2=−1.45，代入所给公式得−1.45−(−26.7)=lgE1E=10.1，所以1=1010.1. E2E2答案 A

考点4 对数函数的性质、图象及应用

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考题6 （2019全国卷Ⅲ）设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0,+)单调递减，则（ ）

−2−31A.flog3f22f23

4−2−312C.f2f23flog3

4−2−31B.flog3f23f22

4

−2−313D.f2f22flog3

41解析 因为f(x)是定义域为R的偶函数，所以flog3=f(−log34)=f(log34)，又因为

4log3412−232−320，且函数f(x)在(0,+)上单调递增减，所以

−2−312f2f23flog3，故选C.

4答案 C 备考策略

1）比较对数值的大小时，根据底数和真数的不同灵活选择对数函数的单调性、 换底公式或者中间值来比较.

2）求对数型函数的单调区间时，首先要求出函数的定义域，然后再根据复合函数的单调性的判断方法确定复合函数的单调区间.

考点5 函数零点的区间和数量

2x,x0,考题8 已知函数f(x)=2若函数g(x)=f(x)+2x−a有三个零

x+2ax+1,x0,点，则实数a的取值范围是（ ）

A.(0,+)

B.(−,−1)

C.(−,−3)

D.(−3,0)

2x+2x−a,x0,解析 g(x)=f(x)+2x−a=2

x+(2a+2)x+1−a,x0,函数g(x)=f(x)+2x−a有三个零点，等价于函数g(x)的图象与x轴有三个交点， 易知函数g(x)的图象的左半部分为单调递增函数，右半部分为开口向上的抛物线，对称轴为x=−a−1，最多两个零点，如下图，要满足题意，因为函数y=2+2x−a是增函数，要保证x0时的函数图象与x轴相交，即当x=0时，g(0)0，即1−a0,可得a1．

x 22 / 30

−a−10，此外还需保证x0时，抛物线与x轴有两个交点，可得=4(a+1)2−4(1−a)0,解得

1−a0,a−3，综合可得a−3．

答案 C

题 型 清 单

题型1 含有简易指数（对数）不等式的充要条件判断 Ⅰ 题型示例

设a，b为正实数，则“ab1”是“log2alog2b0”的（ ）

A.充要条件 C.必要不充分条件

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

解析 由于对数函数y=log2x在(0,+)上单调递增，而log2alog2b0等价于可得ab1.显然，“ab1”是“log2alog2b0”的充要条件. log2alog2blog21，

答案 A

Ⅱ 解题秘籍

第一步 解指数（对数）不等式.利用指数函数或对数函数的单调性（或函数图象），直

接解出指数不等式.

第二步 判断解集关系.判断两个命题对应解集的包含关系. 第三步 判断逻辑关系.根据解集关系判断逻辑关系. Ⅲ 秘籍应用

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1.“x1”是“log1(x+2)0”的（ ）

2

A.充要条件 C.必要而不充分条件 题型2 对数的估算与数学文化 Ⅰ 题型示例

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

（2020新高考卷I）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT．有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（ln20.69）（ ）

A.1.2天

B.1.8天

C.2.5天

D.3.5天

解析 因为R0=3.28，T=6，R0=1+rT，所以r=3.28−1=0.38，所以I(t)=ert=e0.38t． 6设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t1天，则

e0.38(t+t1)=2e0.38t，所以e0.38t1=2，所以0.38t1=ln2，所以t1=答案 B

Ⅱ 解题秘籍

ln20.691.8天． 0.380.38第一步 弄清题意.以数学文化为背景的函数题，最关键的一点是充分理解题中意图，获取到关键的函数模型，并理解函数模型中各个变量的实际意义，进而得到其取值范围.

第二步 代值计算.根据题意，将数值代入到函数模型中，利用指数和对数运算技巧求值，或是解出方程中的参数. Ⅲ 秘籍应用

2.（2020全国卷Ⅲ）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)（t的单位：天）的Logistic模型：I(t)=K1+e−0.23(t−53)，其中K为最大确诊病例数．当I(t)=0.95K时，标志着已初

*步遏制疫情，则t*约为（ ）(ln193)

A.60 B.63

24 / 30

C.66 D.69

3.在有声世界中，声强级是表示声强度相对大小的指标．声强级y（单位：dB）与声强度I（单位：W/m）之间的关系为y=10lg2I−122，其中基准值I0=10W/m．若I0I90的值为I60声强级为60dB时的声强度为I60，声强级为90dB时的声强度为I90，则（ ）

A.10 B.30

C.100 D.1000

题型3 指数式、对数式混合比较大小 Ⅰ 题型示例

1（1）（2020·天津卷）设a=3，b=30.7−0.8，c=log0.70.8，则a，b，c的大小

关系为（ ）

A.abc D.cab

0.7B.bac C.bca解析 因为a=311，b=3−0.8=30.830.7=a，c=log0.70.8log0.70.7=1，所以

c1ab．

答案 D

c=log138，b=log85，（2） （2020全国卷Ⅲ·理）已知5584，设a=log53，13485．

则（ ）

A.abc D.cab

B.bac

C.bca解析 由题意可知a,b,c(0,1)，

alog53lg3lg81lg3+lg8lg3+lg8lg24===1，所以=2blog85lg5lg5(lg5)22lg5lg25222ab．由b=log85，得8b=5；由5584，得85b84，所以5b4，可得b4；由5 25 / 30

c=log138，得13c=8；由13485，得134135c，所以5c4，可得c4．综上所述，5abc．

答案 A

Ⅱ 解题秘籍

第一步 与中间值比较.先利用指数函数图象过特殊点(0,1)、对数函数图象过特殊点(0,1)，判断各个式子与0和1的大小，也可视情况与其他特殊值比较大小，据此可以大致判断出各个式子的大小.

第二步 化同底或同指.对于指数式，可尝试化成同底或同指形式，对于对数式，可尝试化成同底形式，然后利用指数函数、幂函数或对数函数的单调性判断大小.

第三步 尝试作差或作商.若以上步骤仍无法完全判断各个式子的大小关系，可采用作差法或作商法来解决，并把最终的大小结果整理后完整给出. Ⅲ 秘籍应用

4.（2020全国卷Ⅲ·文）设a=log32，b=log53，c=

A.acb D.cab

B.abc

2，则（ ） 3C.bca5.（2019天津卷·理）已知a=log52，b=log0.50.2，c=0.50.2，则a，b，c的大小关系为（ ）

A.acb D.cab

题型4 构造函数处理对数方程或不等式 Ⅰ 题型示例

（2020全国卷Ⅰ·理）若2a+log2a=4b+2log4b，则（ ）

解析 设f(x)=2x+log2x，则f(x)为增函数，因为2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b，所以

A.a2b

B.a2b

C.ab2

D.ab2

B.abc

C.bcaf(a)−f(2b)=2a+log2a−(22b+log22b) =22b+log2b−(22b+log22b) =log21 2 26 / 30

=−1

0.

所以f(a)f(2b)，所以a2b，

f(a)−f(b2)=2a+log2a−(2b+log2b2) =22b+log2b−(2b+log2b2)

22=22b−2b−log2b,

2当b=1时，f(a)−f(b2)=20，此时f(a)f(b2)，有ab2；当b=2时，

f(a)−f(b2)=−10，此时f(a)f(b2)，有ab2.所以C，D错误． 答案 B Ⅱ 解题秘籍

第一步 式子变形.将式子通过移项等手段化成左右两边具有相同形式的等式或不等式. 第二步 构造函数.根据等式或不等式两边的形式构造出合适的函数.

第三步 利用函数单调性解题.根据构造出的函数的单调性，得到不等关系，借此判断出正确的结论，或是解不等式得到参数的取值范围. Ⅲ 秘籍应用

6.（2020全国卷Ⅱ）若2−23

题型5 数形结合解指数（对数）方程或不等式 Ⅰ 题型示例

（2020北京卷）已知函数f(x)=2−x−1，则不等式f(x)0的解集是（ ）

A.(−1,1) C.(0,1)

xxxy−x−3−y，则（ ）

B.ln(y−x+1)0 D.ln|x−y|0

A.ln(y−x+1)0 C.ln|x−y|0

xB.(−,−1)D.(−,0)(1,+) (1,+)

解析 因为f(x)=2−x−1，所以f(x)0等价于2x+1，在同一直角坐标系中作出

y=2x和y=x+1的图象如图：

27 / 30

两函数图象的交点坐标为(0,1)，(1,2)，不等式2x+1的解为x0或x1．所以不等式f(x)0的解集为(−,0)答案 D

Ⅱ 解题秘籍

第一步 式子变形.将待求方程或不等式变形，使得两侧均为简单的基本初等函数式. 第二步 构造函数并作图.以方程或不等式两侧分别构造函数，并作出草图.

第三步 数形结合.根据构造的两个函数的图象相交情况，确定交点坐标，并得到方程（不等式）的解（解集）. Ⅲ 秘籍应用

7.若x1满足2x+2=5，x2满足2x+2log2(x−1)=5，则x1+x2=（ ）

A.

xx(1,+)．

5 2B.3

C.

7 2D.4

28 / 30

秘籍应用-参考答案

1.【解析】B由于对数函数y=log1x在(0,+)上单调递减，而log1(x+2)0等价于

22log1(x+2)log11，可得x+21，解得x−1.“x1”对应的集合A={x|x1}，

22“log1(x+2)0”对应的集合B={x|x−1}，由于A是B的真子集，所以“x1”是

2“log1(x+2)0”的充分不必要条件.故选B.

22.【解析】C 因为I(t)=K1+e−0.23(t−53)，所以I(t)=*K1+e−0.23(t*−53)=0.95K，则

e0.23(t*−53)=19，所以0.23(t*−53)=ln193，解得t*3+5366．故选C. 0.233.【解析】D L=10lgI1I1I，当时，即，L=90lg=9，90=10lg1−12−12−12101010I2I2I1=10910−12=10−3；当L2=60时，即60=10lg−，lg=6，−12121010I2=10610−12=10−6，所以I1:I2=10−3:10−6=1000．故选D.

4.【解析】A 由于a=log32和b=log53都是介于0和1之间，所以不能去与特殊值0或1比较，注意到题中c=12122，故考虑与特殊值作比较.因为a=log323log39==c，

33333112b=log533log525==c，所以acb．故选A.

333

5.【解析】A 因为y=log5x在定义域内是增函数，所以a=log52log55=0.5．因为y=log0.5x在定义域内是减函数，所以b=log0.50.2log0.50.5=1．因为y=0.5x在定义域内

是减函数，所以0.5=0.51c=0.50.20.50=1，即0.5c1．所以acb．故选A。 6.【解析】A 由2−23−xxy−x−3−y得2x−3−x2y−3−y，令f(t)=2t−3−t．因为y=2x为R上的增函数，y=3为R上的减函数，所以f(t)为R上的增函数，所以xy．因

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为y−x0，所以y−x+11，所以ln(y−x+1)0，则A正确，B错误；因为|x−y|与

1的大小不确定，故C，D无法确定．故选A.

7.【解析】C 2=5−2x，2log2(x−1)=5−2x，即2x−1=作出y=2x−1，y=x55−x，log2(x−1)=−x，225−x，y=log2(x−1)的图象（如图），2

5−x的交点A，B的中点2x+x2757为y=−x与y=x−1的交点C，xC=1=，所以x1+x2=．故选C.

2224y=2x−1与y=log2(x−1)图象关于y=x−1对称，它们与y=

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