y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数（a＞0，且a≠１）．（３）收集、阅读对数概念的形
成与发展的历史资料，撰写小论文，论述对数发明的过程以及对数对简化运算的作用.
知识点一 对数函数的概念
函数y＝logax（a＞0，且a≠１）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，＋∞）．
错误! 形如y＝２log２x，y＝log２错误!都不是对数函数，可称其为对数型函数． 知识点二 对数函数的图象与性质
图 象 a＞１ 0＜a＜１ 定义域（0，＋∞） 性 质 值域R 过点（１,0），即当x＝１时，y＝0 在（0，＋∞）上是增函数 在（0，＋∞）上是减函数 错误! 底数a与１的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞１时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜１时，对数函数的图象“下降”．
知识点三 反函数
一般地，指数函数y＝ax（a＞0，且a≠１）与对数函数y＝logax（a＞0，且a≠１）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换． [教材解难]
１．教材P１３0思考
根据指数与对数的关系，由y＝错误!
x5730 （x≥0）得到x＝log57301y（0＜y≤１）．如
2x5730图，过y轴正半轴上任意一点（0，y0）（0＜y0≤１）作x轴的平行线，与y＝错误! （x≥0）
的图象有且只有一个交点（x0，y0）．这就说明，对于任意一个y∈（0,１]，通过对应关系x＝log57301y，在[0，＋∞）上都有唯一确定的数x和它对应，所以x也是y的函数．也就
2是说，函数x＝log57301y，y∈（0,１]刻画了时间x随碳１４含量y的衰减而变化的规律．
2
２．教材P１３２思考
利用换底公式，可以得到y＝log1x＝—log２x.因为点（x，y）与点（x，—y）关于x2轴对称，所以y＝log２x图象上任意一点P（x，y）关于x轴的对称点P１（x，—y）都在y＝log1x的图象上，反之亦然．由此可知，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴
2对称．根据这种对称性，就可以利用y＝log２x的图象画出y＝log1x的图象．
2３．教材P１３8思考
一般地，虽然对数函数y＝logax（a＞１）与一次函数y＝kx（k＞0）在区间（0，＋
∞）上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着x的增大，一次函数y＝kx（k＞0）保持固定的增长速度，而对数函数y＝logax（a＞１）的增长速度越来越慢．不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，logax可能会大于kx，但由于logax的增长慢于kx的增长，因此总会存在一个x0，当x＞x0时，恒有logax＜kx.
４．４．１ 对数函数的概念 [基础自测]
１．下列函数中是对数函数的是（ ） Ａ．y＝log1x Ｂ．y＝log1 （x＋１）
44Ｃ．y＝２log1x Ｄ．y＝log1x＋１ 44解析：形如y＝logax（a＞0，且a≠１）的函数才是对数函数，只有A是对数函数． 答案：A
２．函数y＝错误!ln（１—x）的定义域为（ ） Ａ．（0,１） Ｂ．[0,１） Ｃ．（0,１] Ｄ．[0,１]
解析：由题意，得错误!解得0≤x＜１；故函数y＝错误!ln（１—x）的定义域为[0,１）． 答案：B
３．函数y＝loga（x—１）（0＜a＜１）的图象大致是（ ）
解析：∵0＜a＜１，∴y＝logax在（0，＋∞）上单调递减，故A，B可能正确； 又函数y＝loga（x—１）的图象是由y＝logax的图象向右平移一个单位得到，故A正确．
答案：A
４．若f（x）＝log２x，x∈[２,３]，则函数f（x）的值域为________． 解析：因为f（x）＝log２x在[２,３]上是单调递增的， 所以log２２≤log２x≤log２３，即１≤log２x≤log２３． 答案：[１，log２３]
题型一 对数函数的概念
例１ 下列函数中，哪些是对数函数？ （１）y＝loga错误!（a＞0，且a≠１）； （２）y＝log２x＋２； （３）y＝8log２（x＋１）； （４）y＝logx6（x＞0，且x≠１）； （５）y＝log6x.
【解析】 （１）中真数不是自变量x，不是对数函数．（２）中对数式后加２，所以不是对数函数．（３）中真数为x＋１，不是x，系数不为１，故不是对数函数．（４）中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数．（５）中底数是6，真数为x，系数为１，符合对数函数的定义，故是对数函数.
用对数函数的概念例如y＝logax（a＞0且a≠１）来判断． 方法归纳
判断一个函数是对数函数的方法
跟踪训练１ 若函数（fx）＝（a２—a＋１）logx是对数函数，则实数a＝________. （a＋１）解析：由a２—a＋１＝１，解得a＝0或a＝１． 又底数a＋１＞0，且a＋１≠１，所以a＝１． 答案：１
对数函数y＝logax系数为１．
题型二 求函数的定义域[教材P１３0例１] 例２ 求下列函数的定义域： （１）y＝log３x２；
（２）y＝loga（４—x）（a＞0，且a≠１）．
【解析】 （１）因为x２＞0，即x≠0，所以函数y＝log３x２的定义域是{x|x≠0}． （２）因为４—x＞0，即x＜４，所以函数y＝loga（４—x）的定义域是{x|x＜４}. 真数大于0． 教材反思
求定义域有两种题型，一种是已知函数解析式求定义域，常规为：分母不为0；0的零次幂与负指数次幂无意义；偶次根式被开方式（数）非负；对数的真数大于0，底数大于0且不等于１．另一种是抽象函数的定义域问题．同时应注意求函数定义域的解题步骤．
跟踪训练２ 求下列函数的定义域： （１）y＝lg（x＋１）＋错误!； （２）y＝log（x—２）（５—x）．
解析：（１）要使函数有意义， 需错误!即错误!
∴—１＜x＜１，∴函数的定义域为（—１,１）． （２）要使函数有意义，需错误!∴错误! ∴定义域为（２,３）∪（３,５）．
真数大于0，偶次根式被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解． 题型三 对数函数的图象问题
例３ （１）函数y＝x＋a与y＝logax的图象只可能是下图中的（ ）
（２）已知函数y＝loga（x＋３）—１（a＞0，a≠１）的图象恒过定点A，若点A也在函数f（x）＝３x＋b的图象上，则f（log３２）＝________.
（３）如图所示的曲线是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象，则a，b，c，d与１的大小关系为________．
【解析】 （１）A中，由y＝x＋a的图象知a＞１，而y＝logax为减函数，A错；B中，0＜a＜１，而y＝logax为增函数，B错；C中，0＜a＜１，且y＝logax为减函数，所以C对；D中，a＜0，而y＝logax无意义，也不对．
（２）依题意可知定点A（—２，—１），f（—２）＝３—２＋b＝—１，b＝—错误!，故f（x）＝３x—错误!，f（log３２）＝３
log32—错误!＝２—错误!＝错误!.
（３）由题干图可知函数y＝logax，y＝logbx的底数a＞１，b＞１，函数y＝logcx，
y＝logdx的底数0＜c＜１,0＜d＜１．
过点（0,１）作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，
d，a，b，显然b＞a＞１＞d＞c.
【答案】 （１）C （２）错误! （３）b＞a＞１＞d＞c 错误! （１）由函数y＝x＋a的图象判断出a的范围． （２）依据loga１＝0，a0＝１，求定点坐标．
（３）沿直线y＝１自左向右看，对数函数的底数由小变大． 方法归纳
解决对数函数图象的问题时要注意
（１）明确对数函数图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当x趋近于0时，函数图象会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交．
（２）建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a的取值范围是a＞１，还是0＜a＜１．
（３）牢记特殊点．对数函数y＝logax（a＞0，且a≠１）的图象经过点：（１,0），（a,１）和错误!.
跟踪训练３
（１）如图所示，曲线是对数函数y＝logax（a＞0，且a≠１）的图象，已知a取错误!，错误!，错误!，错误!，则相应于C１，C２，C３，C４的a值依次为（ ）
Ａ．错误!，错误!，错误!，错误! Ｂ．错误!，错误!，错误!，错误!
Ｃ．错误!，错误!，错误!，错误! Ｄ．错误!，错误!，错误!，错误!
（２）函数y＝loga|x|＋１（0＜a＜１）的图象大致为（ ）
解析：（１）方法一 作直线y＝１与四条曲线交于四点，由y＝logax＝１，得x＝a（即交点的横坐标等于底数），所以横坐标小的底数小，所以C１，C２，C３，C４对应的a值分别为错误!，错误!，错误!，错误!，故选Ａ．
方法二 由对数函数的图象在第一象限内符合底大图右的规律，所以底数a由大到小依次为C１，C２，C３，C４，即错误!，错误!，错误!，错误!.故选Ａ．
增函数底数a＞１， 减函数底数0＜a＜１．
（２）函数为偶函数，在（0，＋∞）上为减函数，（—∞，0）上为增函数，故可排除选项B，C，又x＝±１时y＝１，故选Ａ．
先去绝对值，再利用单调性判断. 答案：（１）A （２）A
课时作业 ２３
一、选择题
１．下列函数是对数函数的是（ ） Ａ．y＝２＋log３x
Ｂ．y＝loga（２a）（a＞0，且a≠１） Ｃ．y＝logax２（a＞0，且a≠１） Ｄ．y＝ln x
解析：判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“y＝logax”的形式，A，B，C全错，D正确．
答案：D
２．若某对数函数的图象过点（４,２），则该对数函数的解析式为（ ） Ａ．y＝log２x Ｂ．y＝２log４x Ｃ．y＝log２x或y＝２log４x Ｄ．不确定
解析：由对数函数的概念可设该函数的解析式为y＝logax（a＞0，且a≠１，x＞0），则２＝loga４即a２＝４得a＝２．故所求解析式为y＝log２x.
答案：A
３．设函数y＝错误!的定义域为A，函数y＝ln（１—x）的定义域为B，则A∩B＝（ ） Ａ．（１,２） Ｂ．（１,２] Ｃ．（—２,１） Ｄ．[—２,１）
解析：由题意可知A＝{x|—２≤x≤２}，B＝{x|x＜１}，故A∩B＝{x|—２≤x＜１}． 答案：D
４．已知a＞0，且a≠１，函数y＝ax与y＝loga（—x）的图象只能是下图中的（ ）
解析：由函数y＝loga（—x）有意义，知x＜0，所以对数函数的图象应在y轴左侧，可排除A，Ｃ．又当a＞１时，y＝ax为增函数，所以图象B适合．
答案：B 二、填空题
５．若f（x）＝logax＋（a２—４a—５）是对数函数，则a＝________. 解析：由对数函数的定义可知 错误!，∴a＝５． 答案：５
6．已知函数f（x）＝log３x，则f错误!＋f（１５）＝________. 解析：f错误!＋f（１５）＝log３错误!＋log３１５＝log３２7＝３． 答案：３
7．函数f（x）＝loga（２x—３）（a＞0且a≠１）的图象恒过定点P，则P点的坐标是________．
解析：令２x—３＝１，解得x＝２，且f（２）＝loga１＝0恒成立，所以函数f（x）的图象恒过定点P（２,0）．
答案：（２,0） 三、解答题
8．求下列函数的定义域： （１）y＝log３（１—x）； （２）y＝错误!； （３）y＝log7错误!.
解析：（１）由１—x＞0，得x＜１，
∴函数y＝log３（１—x）的定义域为（—∞，１）． （２）由log２x≠0，得x＞0且x≠１． ∴函数y＝错误!的定义域为{x|x＞0且x≠１}． （３）由错误!＞0，得x＜错误!. ∴函数y＝log7错误!的定义域为错误!. 9．已知f（x）＝log３x.
（１）作出这个函数的图象；
（２）若f（a）＜f（２），利用图象求a的取值范围． 解析：（１）作出函数y＝log３x的图象如图所示
（２）令f（x）＝f（２），即log３x＝log３２， 解得x＝２．
由图象知，当0＜a＜２时，
恒有f（a）＜f（２）．∴所求a的取值范围为0＜a＜２． [尖子生题库]
１0．已知函数y＝log２x的图象，如何得到y＝log２（x＋１）的图象？y＝log２（x＋１）的定义域与值域是多少？与x轴的交点是什么？
解析：y＝log２x错误!y＝log２（x＋１），如图．
定义域为（—１，＋∞），值域为R，与x轴的交点是（0,0）．
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