问题导学
预习教材P１２２—P１２３，并思考以下问题： １．对数的概念是什么？
２．对数式中底数和真数分别有什么限制？ ３．什么是常用对数和自然对数？
１．对数的概念
一般地，如果ax＝N（a>0，且a≠１），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
■名师点拨
logaN是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写． ２．对数式与指数式的关系
理解和掌握对数的性质，会求简单的对数值 数学运算 数学抽象、数学运算 核心素养
３．常用对数与自然对数
４．对数的基本性质
（１）负数和0没有对数．
（２）loga１＝0（a＞0，且a≠１）． （３）logaa＝１（a＞0，且a≠１）．
判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） （１）对数log３9和log9３的意义一样．（ ）
（２）（—２）３＝—8可化为log（—２）（—8）＝３．（ ） （３）对数运算的实质是求幂指数．（ ） 答案：（１）× （２）× （３）√
若a２＝M（a＞0且a≠１），则有（ ） Ａ．log２M＝a Ｂ．logaM＝２ Ｃ．loga２＝M Ｄ．log２a＝M 答案：B
把对数式loga４9＝２写成指数式为（ ） Ａ．a４9＝２ Ｃ．４9２＝a 答案：D
log３错误!＝0，则x＝________． 答案：３
Ｂ．２a＝４9 Ｄ．a２＝４9
指数式与对数式的互化
将下列指数式与对数式互化： （１）ea＝１6;
（２）6４—错误!＝错误!； （３）log３9＝２;
（４）logxy＝z（x＞0且x≠１，y＞0）． 【解】 （１）loge１6＝a，即ln １6＝a. （２）log6４错误!＝—错误!. （３）３２＝9． （４）xz＝y. 错误!
将下列指数式与对数式互化：
（１）log２１6＝４; （２）log错误!２7＝—３； （３）４３＝6４; （４）错误!错误!＝１6． 解：（１）由log２１6＝４可得２４＝１6．
（２）由log错误!２7＝—３可得错误!错误!＝２7． （３）由４３＝6４可得log４6４＝３．
（４）由错误!错误!＝１6可得log错误!１6＝—２．
利用对数式与指数式的关系求值
求下列各式中x的值：
（１）log２7x＝—错误!； （２）logx１6＝—４； （３）lg 错误!＝x; （４）—ln e—３＝x. 【解】 （１）因为log２7x＝—错误!，
所以x＝２7—错误!＝（３３）—错误!＝３—２＝错误!. （２）因为logx１6＝—４，
所以x—４＝１6， 即x—４＝２４.
所以错误!错误!＝２４， 所以错误!＝２，即x＝错误!. （３）因为lg 错误!＝x， 所以１0x＝１0—３， 所以x＝—３．
（４）因为—ln e—３＝x， 所以—x＝ln e—３， 即e—x＝e—３， 所以x＝３． 错误!
求对数式logaN（a>0，且a≠１，N>0）的值的步骤
（１）设logaN＝m.
（２）将logaN＝m写成指数式am＝N.
（３）将N写成以a为底的指数幂N＝ab，则m＝b，即logaN＝b.
求下列各式的值：
（１）log５２５；（２）log２错误!；（３）lg １ 000；（４）lg 0．00１． 解：（１）设x＝log５２５，则５x＝２５＝５２， 所以x＝２，即log５２５＝２．
（２）设x＝log２错误!，则２x＝错误!＝２—４，所以x＝—４， 即log２错误!＝—４．
（３）设x＝lg １ 000，则１0x＝１ 000＝１0３， 所以x＝３， 即lg １ 000＝３．
（４）设x＝lg 0．00１，则１0x＝0．00１＝１0—３，所以x＝—３，即lg 0．00１＝—３．
利用对数的性质求值
求下列各式中x的值： （１）log３（lg x）＝１； （２）log３[log４（log５x）]＝0． 【解】 （１）因为log３（lg x）＝１， 所以lg x＝３１＝３， 所以x＝１0３＝１ 000．
（２）由log３[log４（log５x）]＝0可得 log４（log５x）＝１，
故log５x＝４，所以x＝５４＝6２５． 错误!
利用对数的性质求值的方法
（１）求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求loga（logbc）的值，先求logbc的值，再求loga（logbc）的值．
（２）已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．
求下列各式中的x的值：
（１）log（２x２—１）（３x２＋２x—１）＝１； （２）log２[log３（log４x）]＝0．
解：（１）由log（２x２—１）（３x２＋２x—１）＝１得 错误!
解得x＝—２．
（２）由log２[log３（log４x）]＝0， 可得log３（log４x）＝１， 故log４x＝３， 所以x＝４３＝6４．
１．２—３＝错误!化为对数式为（ ） Ａ．log错误!２＝—３ C．log２错误!＝—３ 答案：C
２．若loga２b＝c则（ ） Ａ．a２b＝c Ｃ．bc＝２a
Ｂ．a２c＝b Ｄ．c２a＝b
B．log错误!（—３）＝２ Ｄ．log２（—３）＝错误!
解析：选Ｂ．loga２b＝c⇔（a２）c＝b⇔a２c＝b. ３．求下列各式中x的值： （１）x＝log错误!４； （２）x＝log9错误!.
解：（１）由已知得错误!错误!＝４， 所以２—错误!＝２２，—错误!＝２， 解得x＝—４．
（２）由已知得9x＝错误!，即３２x＝３错误!. 所以２x＝错误!，x＝错误!.
[A 基础达标]
１．如果a３＝N（a＞0，a≠１），则有（ ） Ａ．log３N＝a Ｃ．logaN＝３ 答案：C
２．log３错误!等于（ ） Ａ．４ Ｃ．错误!
Ｂ．—４ Ｄ．—错误! Ｂ．log３a＝N Ｄ．loga３＝N
解析：选Ｂ．因为３—４＝错误!，所以log３错误!＝—４．
３．对数式M＝log（a—３）（１0—２a）中，实数a的取值范围是（ ） Ａ．（—∞，５） Ｃ．（３，＋∞）
解析：选Ｄ．由题意得错误! 解得３ 解析：选Ｄ．因为log２x＝３， 所以x＝２３＝8． 所以x错误!＝8错误!＝错误!＝错误!. 故选Ｄ． ５．已知loga错误!＝m，loga３＝n，则am＋２n等于（ ） Ａ．３ Ｃ．9 解析：选Ｄ．由已知得am＝错误!，an＝３． 所以am＋２n＝am×a２n＝am×（an）２＝错误!×３２＝错误!.故选Ｄ． 6．若log２错误!＝１，则x＝________． 解析：因为log２错误!＝１，所以错误!＝２． 即２x—５＝6． 解得x＝错误!. 答案：错误! 7．已知f（x）＝错误!则满足f（x）＝错误!的x的值为________． 解析：由题意得１错误!或２错误! Ｂ．错误! Ｄ．错误! Ｂ．错误! Ｄ．错误! Ｂ．（３，５） Ｄ．（３，４）∪（４，５） 解１得x＝２，与x≤１矛盾，故舍去， 解２得x＝３， 符合x＞１． 所以x＝３． 答案：３ 8．先将下列式子改写成指数式，再求各式中x的值． （１）log２x＝—错误!； （２）logx３＝—错误!. 解：（１）因为log２x＝—错误!，所以x＝２错误!＝错误!＝错误!. （２）因为logx３＝—错误!，所以x错误!＝３， 即x＝３—３＝错误!. 9．若log错误!x＝m，log错误!y＝m＋２，求错误!的值． 解：因为log错误!x＝m，所以错误!错误!＝x，x２＝错误!错误!. 因为log错误!y＝m＋２，所以错误!错误!＝y，y＝错误!错误!. 所以错误!＝错误! ＝错误!错误!＝错误!错误!＝１6． [B 能力提升] １0．方程lg（x２—１）＝lg（２x＋２）的根为（ ） Ａ．—３ Ｃ．—１或３ Ｂ．３ Ｄ．１或—３ 解析：选Ｂ．由lg（x２—１）＝lg（２x＋２），得x２—１＝２x＋２，即x２—２x—３＝0，解得x＝—１或x＝３．经检验x＝—１是增根，所以原方程的根为x＝３． １１．若m>0，m错误!＝错误!，则log错误!m等于（ ） Ａ．２ Ｃ．４ Ｂ．３ Ｄ．6 解析：选Ｂ．因为m错误!＝错误!，m>0，所以m＝错误!错误!＝错误!错误!， log错误!m＝log错误!错误!错误!＝３． １２．已知log２（log３（log４x））＝0，且log４（log２y）＝１．求错误!·y错误!的值． 解：因为log２（log３（log４x））＝0， 所以log３（log４x）＝１， 所以log４x＝３，所以x＝４３＝6４． 由log４（log２y）＝１，知log２y＝４， 所以y＝２４＝１6． 所以错误!·y错误!＝错误!×１6错误!＝8×8＝6４． １３．已知logab＝logba（a>0，且a≠１；b>0，且b≠１）．求证：a＝b或a＝错误!. 证明：设logab＝logba＝k， 则b＝ak，a＝bk，所以b＝（bk）k＝bk２， 因为b>0，且b≠１，所以k２＝１， 即k＝±１．当k＝—１时，a＝错误!； 当k＝１时，a＝b.所以a＝b或a＝错误!，命题得证． [C 拓展探究] １４．（１）计算２３＋log２３＋３２—log３9＝________． （２）已知logx２7＝３１＋log３２，则x＝________． 解析：（１）２３＋log２３＋３２—log３9＝２３×２log２３＋错误!＝8×３＋错误!＝２５．故填２５． （２）logx２7＝３１＋log３２＝３×３log３２＝３×２＝6． 所以x6＝２7，所以x6＝３３，又x>0，所以x＝错误!.故填错误!. 答案：（１）２５ （２）错误! 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容