电磁场第一章解读

2023-11-07 来源：客趣旅游网

第零章矢量分析

第0章矢量分析

Vector Analysis

标量场和矢量场标量场的梯度矢量场的通量与散度矢量场的环量与旋度亥姆霍兹定理电磁场的特殊形式返回下页第零章矢量分析

直角坐标系 z 直角(x, y , z) z = z 0 ez x = x 0 ex O P eyy = y 0 y x 第零章矢量分析

圆柱坐标系第零章矢量分析

第零章矢量分析

球坐标系第零章矢量分析

第零章矢量分析

0.1 标量场和矢量场

Scalar Field and Vector Field

场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中任一个点都有一个确定的标量或矢量。例如，在直角坐标下：

5 (x,y,z)2224π [(x1)(y2)z]标量场

如温度场、电位场、高度场等； A(x,y,z)2xyexxzeyxyzez如流速场、电场、涡流场等。 22矢量场

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形象描绘场分布的工具——场线 (1) 标量场--等值线(面) 其方程为: h (x,y,z)const思考

图0.1.1 等高线

在某一高度上沿什么方向高度变化最快？

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矢量场--矢量线其方程为： Adl0在直角坐标下：二维场三维场矢量管返回上页下页 AyAxdxdy图0.1.2 矢量线

AyAxAzdxdydz第零章矢量分析

0.2 标量场的梯度 Gradient of Scalar Field

设一个标量函数 (x，y，z)，若函数  在点 P 可微，则  在点P 沿任意方向的方向导数为 l(,,)(cos,cos,cos)lxyz,,),el(cos,cos,cos)设 g(xyz分别是任一方向式中 , , 与l x, y, z 轴的夹角

则有： gel|g|cos(g,el)l 当 ( g,e，0最大 l )l返回上页下页第零章矢量分析

exeyezgradxyz——梯度(gradient)

,,)式中 (xyz梯度的意义

——哈密顿算子

图0.1.3 等温线分布

标量场的梯度是一个矢量，是空间坐标点的函数。梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即最大方向导数。梯度的方向为该点最大方向导数的方向。返回上页下页第零章矢量分析

例 0.2.1 三维高度场的梯度高度场的梯度与过该点的等高线垂直；数值等于该点位移的最大变化率；图0.2.1 三维高度场的梯度

指向地势升高的方向。返回上页下页第零章矢量分析

例 0.2.2 电位场的梯度电位场的梯度与过该点的等位线垂直；数值等于该点的最大方向导数；指向电位增加的方向。图0.2.2 电位场的梯度

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0.3 矢量场的通量与散度

Flux and Divergence of Vector

0.3.1 通量 ( Flux )

矢量E 沿有向曲面 S 的面积分 ΦSEdS若S为闭合曲面 Φ EdSS图0.3.1 矢量场的通量

根据通量的大小判断闭合面中源的性质：  = 0 (无源)  < 0 (有负源)  > 0 (有正源)

图0.3.2 矢量场通量的性质返回上页下页第零章矢量分析

0.3.2 散度 ( Divergence )

如果包围点 P 的闭合面 S 所围区域 V 以任意方式缩小到点 P 时：

V0lim1V AdSdivASdivAAAxxAyyAzz———散度 (divergence)

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散度的意义

矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；散度代表矢量场的通量源的分布特性。 A0无源） (

A(正源)  A(负源)

图0.3.3 通量的物理意义

在矢量场中，若• A=  0，称之为有源场， 称为 ( 通量 ) 源密度；若矢量场中处处 • A=0 ，称之为无源场。返回上页下页第零章矢量分析

0.3.3 散度定理 ( Divergence Theorem )

A1limVV0 AdSS 通量元密度 Φ AdSlimSVn0SVAVn AdVVnn1图0.3.4 散度定理

AdS AdV——高斯公式

矢量函数的面积分与体积分的相互转换。返回上页下页第零章矢量分析

0.4 矢量场的环量与旋度

Circulation and Rotation of Vector Field 0.4.1 环量 ( Circulation ) 矢量 A 沿空间有向闭合曲线 L 的线积分 ΓLAdl——环量

图0.4.1 环量的计算

环量的大小与闭合路径有关，它表示绕环线旋转趋势的大小。返回上页下页第零章矢量分析

0.4.2 旋度 ( Rotation )

ΓAdl LeyyAyLAxexAyeyAzez SexxAxezzAzAAAAAAyyxxzz dydzdzdxdxdySzxyzxyAzAyAyAxAzAxexeyezdSSxzyx yx第零章矢量分析

AzAyAyAxAzAxrotA=AexezeyxzyxxyΓLAdlrotAdSS1. 环量密度

过点 P 作一微小曲面 S，它的边界曲线记为L，面的法线方向与曲线绕向符合右手定则。当 S 点 P 时，存在极限 dΓ1limΑdldSS0SL——环量密度

环量密度是单位面积上的环量。第零章矢量分析

2. 旋度

旋度是一个矢量，其大小等于环量密度的最大值；其方向为最大环量密度的方向。 rot AA它与环量密度的关系为 dΓ( A)endSex在直角坐标下: AxAx——旋度(curl)

en—— S的法线方向 eyyAyezzAz返回上页下页第零章矢量分析

3. 旋度的物理意义

矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。某点旋度的大小是该点环量密度的最大值，其方向是最大环量密度的方向。在矢量场中，若 A=J 0 称之为旋度场（或涡旋场），J 称为旋度源（或涡旋源）。若矢量场处处 A= 0 ，称之为无旋场。返回上页下页第零章矢量分析

4. 斯托克斯定理 ( Stockes’ Theorem )

dΓ(A)endS dΓ(A)endS(A)dSlAdlS(A)dS图 0.4.3 斯托克斯定理

——斯托克斯定理

矢量函数的线积分与面积分的相互转化。在电磁场理论中，高斯定理和斯托克斯定理是两个非常重要的公式。返回上页下页第零章矢量分析

0.5 无源场和无旋场

Solenoidal & Irrotational Fields

散度处处为零的矢量场称为无散场。 A0旋度处处为零的矢量场称为无旋场。 A0 散度和旋度都等于零的矢量场称为调和场。第零章矢量分析

两个重要公式： (A)0()0 左式表明，任一矢量场 A 的旋度的散度一定等于零。因此，任一无散场可以表示为另一矢量场的旋度，或者说，任何旋度场一定是无散场。右式表明，任一标量场 的梯度的旋度一定等于零。因此，任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度，或者说，任何梯度场一定是无旋场。第零章矢量分析

无散场，例如恒定磁场 B=0 B= A无旋场，例如静电场 E=0 E= -调和场（无旋无散场） A=0 A=又 A=0 02222xxx220(调和场)0(仅为无旋场)222第零章矢量分析

0.6 亥姆霍兹定理

Hymherze Theorem

亥姆霍兹定理：

在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边

界条件惟一地确定。已知：矢量A的通量源密度矢量A的旋度源密度场域边界条件电荷密度 在电磁场中

J （矢量 A 惟一地确定）电流密度场域边界条件返回上页下页第零章矢量分析

作业

试证明下列各题: 1. 1rr'3rr'rr'式中：

03. A02. rxexyeyzezrxexyeyzez(x,y,z)AAxexAyeyAzez返回上页

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