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高一数学第二学期重要知识点总结
①对数部分 ： 如果 a＞ 0、 a≠ 1、
log a MN
log a M
ｂ
log a N
ａ
log a
M N
log a M
log a N log a M
n
n log a M
ｌｏｇ Ｎ
（ 其中 a＞0、 1. 换底公式： ｌｏｇ Ｎ＝
ｌｏｇ ｂ ａ
a≠1、
变式：
x
log a N log a b
对数函数的图像及其性质：
② 三角部分：
弧长 - 面积公式
l r
S
扇
1 2
r
2
扇 S
1
l r 2
l
n r
180
三角比
sin
y r x y
cos sec
x r r x
tan
y x r y
cot csc
同 角 三 角 比 的 sin ? csc 关系
tan sin
2
1 cos ? sec
cot 1
1 tan
2
1 tan ? cot 1
sin cos cos
2
cos sin
sec
2
1 cot
2
csc
2
诱导公式、两角和差正弦、余弦、正切公式：
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sin 2k sin sin sin
sin sin sin sin
cos 2k cos cos cos
cos
cos tan 2k tan tan tan
tan tan tan tan
cot 2k cot cot cot
cot cot cot cot
cos cos
sin
2
cos cos
2
sin tan
2
cot cot
2
tan
sin
2
cos cos
2
sin tan
2
cot cot
2
sin
cos sin
cos cos sin cos tan
tan
sin sin cos sin
cos sin
cos cos sin cos tan
tan
sin sin cos sin
tan
1 tan tan
a sin
b cos
a a
2
tan
2
2
1 tan tan
a b
2
b sin
b a
2
辅助角公式：
cos
,sin
b
2
二倍角的正弦、余弦和正切公式： sin 2 2 sin cos 2
cos2
cos
sin
2
2 cos
2
1 1 2sin
2
tan 2
2 tan 1 tan
2
半角的余弦正弦和正切公式：
cos
1 cos
2
sin 2
1 cos
2
sin
1 cos
2
2 tan
tan
2
1 cos 2
sin
1 cos 1 cos
tan
万能置换公式：
2 tan
sin
1 tan
补充：
2
1 tan
cos
1 tan
2
2 2
2 tan
tan
2 2
22
2
1 tan
2
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sin
cos 2 2
1 sin sin
cos
2 2 cos sin
2 2
1 sin
解斜三角形
正弦定理： a
sin A
b sin B
c sin C
2 R
余弦定理：
a
2
b c 2bccosA
2accos B 2abcos C
S ABC p
1 2
p p a p b p c a b c
2 2
cos A
b
2
c a 2 bc
c
2
2 2
b c
2
a a
2
c
2
cos B
a
2
b
2
2 ac
b
2
2 2
b
2
cos C
a
2
c
2
2 ab
* 海伦公式 ： ③ 三角函数
[p 即半周长 ]
终边在 x 、y 轴上的角 的集合：
终边在坐标轴上的角的集合
k , k Z
k
2
, k Z
|
|
k 2
k
, k Z
、
4 k
Z
终边在 y=x 轴上的角的集合：
终边在 y 合：
x 轴上的角的集
| k
, k Z 4
正弦、余弦、正切、余切函数的图像及其性质：
y cosx
y sin x
定义域
y tan x
y cot x
x x
k
R R
2
R
且 x R, k Z
值域
[ 1, 1] 2
奇函数
偶函数
[ 1, 1]
2
xx k 且
x
R,k Z
周期 奇偶
奇函数 奇函数
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[
单调性
2 2
2k ,
2
2k ] 2k ]
[2k [2k ,2k
数 ( k
,2k ]
上增函数
[
3 2k ,
2
k , k 2 2
数 ( k
上为增函
k , k
( k Z )
上 为 减 函 数
] 上 为 减 函
Z )
上为减函数 ( k Z )
Z )
对称轴为 x k
对称性
对称中心为 (k
、
2
对称轴为 x 对称中心
k
、
无对称轴、
对称中心为 k
无对称轴、
,0) 、 k Z
(k
,0) k Z 2
(
2
,0) k Z
对称中心为 k
(
2
,0) k Z
三角函数的积化和差与和差化积公式：
sin cos cos sin cos cos sin sin
1 2 1 2 1 sin sin cos cos
sin sin cos cos
sin
sin cos
sin
sin cos
2sin
2cos 2sin
2
2 2
cos
sin sin
2
2 2
2 1 2
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④ 反三角函数
x [ 1,1]
、 y [
y arcsin x
, ] 2 2
x [ 1,1]
、
y arccosx
y [0, ]
x ( y (
, )
y arctan x
, ) 2 2
x ( , )
y arccot x
y (0, )
最简三角方程的解集： sin x a
a ＞ 0
x x k
1 arcsin a, k Z
k
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cos x a
a ＜ 0
x x 2k x x k
arccosa, k Z arctana, k Z
tanx a
基本函数对比 :
函数名称
函数的记号
函数的图形
函数的性质
a): 不论 x 为何值 ,y 总为正数 ;
指数函数
b): 当 x=0 时 ,y=1.
a): 其图形总位于 y 轴右侧 , 并过 (1,0) 点
对数函数
b): 当 a＞ 1 时 , 在区间 (0,1) 的值为负；在 区间 (- ,+ ∞) 的值为正；在定义域内单调增
.
令 a=m/n
a): 当 m为偶数 n 为奇数时 ,y 是偶函
数
b): 当 m,n 都是奇数时 ,y 是奇函数 ;
这里只画出部分函数图形
的一部分。
( 正弦函数 )
三角函数
这里只写出了正弦函数
b): 正弦函数是奇函数且
c): 当 m奇 n 偶时 ,y 在 (- ∞,0) 无意义
a): 正弦函数是以 2π 为周期的周期函数
;
幂函数
a 为任意实数
.
一. 向量的基本概念与基本运算 1、向量的概念：
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①向量：既有大小又有方向的量
向量不能比较大小、
但向量的模可以比较大小．
②零向量：长度为 0 的向量、
记为 0 、
③单位向量：模为 1 个单位长度的向量
④平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量
0 与任意向量平行
r uuur uuur uuur uuur r uuur r 2、向量加法：设 AB a, BC b 、 a + b = AB BC = AC
则
（1） 0 a
a 0 a ；（ 2）向量加法满足交换律与结合律；
uuur uuur uuur AB BC CD L
3、向量的减法：
uur uuur uuur uPQ QR AR 、
．
但这时必须“首尾相连”
① 相反向量：与 a 长度相等、方向相反的向量、
a 的相反向量
b 可以表示为从 b
②向量减法： 向量 a 加上 b 的相反向量叫做 a与 b 的差、
a
的终点指向
a 的终点的向量（ a 、 b 有共同起点）
a 的积是一个向量、
a 、
它的长度与方向规定如
4、实数与向量的积：实数λ与向量 下：
（Ⅰ） a a ； （Ⅱ）当
0 时、 a 的方向与 a 的方向相同；当
0 时、 a 0 、
有且只有一个实数
0 时、
a 的方向与 a 的方向相反；当
5、两个向量共线定理：向量
b 与非零向量 a 共线
、 = a
使得 b
6、平面向量的基本定理： 如果 e1 , e2 是一个平面内的两个不共线向量、 任一向量 a 、
表示这一平面内所有向量的一组基底 二. 平面向量的坐标表示
1 平面向量的坐标表示：平面内的任一向量 2 平面向量的坐标运算：
1
那么对这一平面内的
,
2 使：
a
11
e
2 2 、
e
e1 ,e2 叫做
其中不共线的向量
r r r r
a 可表示成 a xi yj 、
记作
r
a =(x,y)。
r (1) 若 a
r x1, y1 ,b r r x2 , y2 、 a b
则
x1 x2 , y1 y2
uuur (2) 若 A x1, y1 , B x2 , y2 、 AB x2 x1 , y2 y1
则 r r
(3) 若 a =(x,y)、 a =( x, y) 则 r r r r (4) 若 a x1, y1 ,b x2 , y2 、 a // b x1 y2 x2 y1 0
则 则
r (5) 若 a
r
x1, y1 ,b
r r
x2 , y2 、 a b x1 x2
y1 y2
0
y1 y2
r r
若 a b 、 x1 x2
则
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三．平面向量的数量积
1 两个向量的数量积：
r r 已知两个非零向量 a 与 b 、
它们的夹角为
r r r r 、 a ·b =︱ a ︱ ·︱ cos b ︱
则
r r
叫做 a 与 b 的数量积（或内积）
r r
规定 0 a 0
r r
b 在 a 方向上的投影 投影的绝对值称为射
r r r a b
cos = r ∈R、 2 向量的投影：︱ b ︱
| a| 称为向量
影
3 ar r r 数量积的几何意义：
·b
等于 a r
的长度与 b 在 a r 方向上的投影的乘积 4 向量的模与平方的关系： a r a
r r r a 2 | a |2
5 乘法公式成立：
a r b r a r b r ar 2 b
r 2 ar 2 r 2
b ； r r 2 a b
r 2a r b r r b
r r r 2 a 2
2 ar
2 2a b b
6 平面向量数量积的运算律：
a b r r b r ①交换律成立：ar
②对实数的结合律成立：
ar b r ar b
r ar
b
r R
③分配律成立： a r r b c r a r c r r b c r r a r r c b 特别注意：（ 1）结合律不成立： a r b r c
r a b r r c r ；
（2）消去律不成立 ar b r ar c r
不能得到 b r c r 3） a r b r =0 不能得到 a r r r 0
r （=0 或 b =7 两个向量的数量积的坐标运算：
已知两个向量 r ( xr r r a 1 , y1), b ( x2 , y2 ) 、 a·b = x1x2
y1 y2
则
ruu8 向 量
的 夹 角 ： 已 知 两 个 非 零 向 量 ar
与 b 、 作
OA ur r uuru r
= a , OB = b （ 0 0
180 0
）叫做向量 ar
r
与
b 的夹角 cos = cos a, r b r a ? b ra ?b r
r r = x1 x2 y1 y2 x 2 2 2
1 y 1 x 2
y 2
2
当且仅当两个非零向量 a r r
与 b 同方向时、
=00 、
θ
ar r
与 反方向时
当且仅当
b
θ
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则 ∠ AOB=
r
=1800、 同时 0
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与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题
r r r r 0
b 垂直、 b 的夹角为 90 则称 a 与 9 垂直：如果 a 与
记作
10 两个非零向量垂直的充要条件
r r
b a ⊥
：
b a ⊥
b ＝O a ·
x1 x2 y1 y2
0 平面向量数量积的性质
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