湖南省涟源一中2012届高三第四次月考理科数学试题

涟源一中2012届高三第四次月考理科数学试题

时量：120分钟 总分：150分 命题人：

友情提示：

1、所有试题的答案全部做到答卷纸上，做在本试题卷上的答案一律无效． 2、做好三方面的准备，才能在考试中超常发挥．第一，要有一颗平常心；第二不要怕出错；第三，千万不要作弊，连想都不要想．

祝同学们考试顺利！

一、

选择题（每小题5分，共40分）

1．已知集合Ax|x24x0,Bx||x1|2，那么集合AB等于（ ） （A） x|3x4（C）（D）x|0x3 （B）x|1x0x|1x0或3x4 2．下列命题中是假命题的是 （ ） A．,R,使cos()cossin

2B．x0,有lnxlnx10

C．mR，使f(x)(m1)xm24m3是幂函数，且在（0，+）上递减

D．R，函数ysin(2x)都不是偶函数

3．一颗骰子连续掷两次，朝上的点数依次为a,b，使复数(abi)(b4ai)为实数的概率是（ ）（A）

13 （B）

14 （C）

16 （D）

112

4．已知一个四棱锥的正视图和侧视图为两个完全相同的等腰直角三角形（如图示），腰长为1，则该四棱锥的体积为（ ） （A）

23 （B）

13 （C）

n526 （D）

16 (3f)(20f03)(33f)5．已知函数f(n)cos(nN)，则

1f(1)f(2)f(11)(f22)的值为（ ）

（A）1 （B）cos526．若不等式[(1a)na]lga0对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是（ ）

（C） （D）2

{a0a{aa1} （B）（A）

111}（C）{a0a或a1}（D）{a0a或a1} 2237．ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且3OA4OB5OC0，则OCAB的

15值为（ ）（A） （B）

15 （C）65 （D）

65

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28．设a，b，c为实数，f(x)(xa)(x2bxc),g(x)(ax1（)cxbx1).记集

合Sx|f(x)0,xR,Tx|g(x)0,xR的元素个数，则下列结论不可能的是（ ） ．．．

，

若cardS,cardT分别为集合S，T

（A）cardS=1, cardT=0 （B）cardS=1, cardT=1 （C）cardS=2, cardT=2 （D）cardS=2, cardT=3 二、填空题（每小题5分，共35分）

x12t,xs,9．若直线l1:（s(t为参数)与直线l2:y2kt.y12s.为参数）垂直，则k ．

10．（如图示）已知PA是圆O（O为圆心）的切线，切点为A，PO交圆O于B、C两点，AC2,PAB30，则圆O的

0面积为 ．

11．用黄金分割法寻找最佳点，试验区间为[1000，2000]，若第一个二个试点为好点，则第三个试点应选在 ．

12．实数x,y,z满足x2y2z21，则2xyyz的最大值为____________．

13．若数列an 满足a10,an1an121an(nN)，则an ．

*14．已知一个公园的形状如图所示，现有4种不同的植物(可以全种，也可以种一部分)要种在此公园的A，B，C，D，E这五个区域内，要求有公共边界的的两块相邻区域种不同的植物，共有 种不同的种法．

15．从集合A=1,2,3,,n中任取k(kn)个元素，组成集合A的子集B，记全部子集中

kk所有各元素之和为Sn，则当S104620时，k的值为 ．

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三、解答题（共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

（本小题满分12分）已知向量a(2cosx,16．

22函数f(x)ab，3)，b(1,sin2x)，

g(x)b．

（Ⅰ）求函数g(x)的最小正周期；

（Ⅱ）在ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且f(C)3，c1，ab23，且ab，求a,b的值．

17．（本小题满分12分）

某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为490,495，495,500，…，510,515，由此得到样本的频率分布直方图，如右图所示．

（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量． （2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列．

（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率．

18．如图示，已知平行四边形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=1，AD=2，

ADC60,AF1,M是线段EF的中点．

（1）求证：ACBF；（2）设二面角A—FD—B的大小为，求sin的值；

（3）设点P为一动点，若点P从M出发，沿棱按照MEC的路线运动到点C，求这一过程中形成的三棱锥P—BFD的体积的最小值．

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19．(本大题满分13分)某种出口产品的关税税率t．市场价格x(单位：千元)与市场供应量

p(单位：万件)之间近似满足关系式：p2(1kt)(xb)2，其中k．b均为常数．当关税

税率为75%时，若市场价格为5千元，则市场供应量约为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件． (1)试确定k．b的值；

(2)市场需求量q(单位：万件)与市场价格x近似满足关系式：q2x．P = q时，市场价格称为市场平衡价格．当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率t的最大值．

22xy20．（本小题满分13分）设椭圆C:221(ab0)的一个顶点与抛物线

ab12C:x43y的焦点重合，F1,F2分别是椭圆的左、右焦点，且离心率e且过椭

2圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M、N两点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）是否存在直线l，使得OMON2.若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.

（3）若AB是椭圆C经过原点O的弦， MN//AB，求证：

21．（本题满分13分）对于函数f(x) ，若存在x0R，使f(x0)x0成立，则称x0为f(x)xabxc2*|AB|2|MN|为定值．

的不动点．如果函数f(x)(b,cN)有且仅有两个不动点0，2，且f(2)12．

（1） 求函数f(x)的单调区间；

1（2） 已知数列an各项不为零且不为1，满足4Snf(11ann11； nanan)1，求证：

ln（3） 设bn

1an，Tn为数列bn的前n项和，求证：T20121ln2012T2011.

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源一中2012届高三第四次月考理科数学参考答案

一、 题次 答案 （仅供参考，如有差错请老师们自行更正）

选择题（每小题5分，共40分） 1 C 2 D 3 D 4 C 5 A 6 C 7 A 8 D 二、填空题（每小题5分，共35分） 9． 1 ． 10．

13． n21 ．14． 168 种 15． 4或7 ．

三、解答题（共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

21cos4x132g(x)b1sin2x1cos4x：（Ⅰ） …………2分 16．解

2222∴函数g(x)的最小周期T ……………4分 42（Ⅱ）f(x)ab(2cos2x,3)(1,sin2x)

23 11． 1236 12． ___

3______． 2

2cosx2sin(2xf(C)2sin(2C23sin2xcos2x13sin2x

6)1 ……………6分 )13 sin2(C66)1 ………………7分

C是三角形内角， ∴2C即：C66(136,6)， ∴2C62

…………8分

bac2ab2222 ∴cosC232

即：ab7 …………………10分

2 将ab23可得：a12a27 解之得：a23或4，

∴a3或2 所以当a3，

3时，b2；

当a2，b

ab ∴a2，b3． …………12分

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17．解：（1）根据频率分步直方图可知，重量超过505克的产品数量为

．………… 4分 [(0.010.05)5]4012（件）

（2）Y的可能取值为0，1，2． ………… 5分

P(Y0)C28C40C12C2402226313011130．P(Y1)C28C12C4021156130．

P(Y2)．………… 8分

Y的分布列为 ………… 9分

0 1 2 Y 635611 P

130130130（3）利用样本估计总体，该流水线上产品重量超过505克的概率为0．3．

令为任取的5件产品中重量超过505克的产品数量， 则B(5,0.3)，故所求概率为：

P(2)C5(0.3)(0.7)0.3087．………… 12分

223

18．略解：（1）易求得AC3，从而BACACD2，又AFAC，所以AC平面ABF，所以ACBF. ………… 4分 （2）易求得BD7,BF2,DF由勾股的5，

逆定理知BFD900.设点A在平面BFD内的射

影为O，过A作AGDF于G，连结GO，则AGO为二面角A—FD—B的平面角。即AGO，在ADF中，由等面积法易求得

2，由等体积法求得点A到平面BFD的距AG5离是AOsin643010，所以sinAGO64，即

………… 8分

（3）设AC与BD相交于O，则OF//CM，所以CM//平面BFD。当点P在M或C时，三棱锥P—BFD的体积最小，

(VPBFD)minVCBFDVFBCD11321sin1201.………… 12分 326

法二：第（2）问也可以以A为原点，AC、AB所在直线分别为X轴，Y轴建立空间直角

坐标系来解，具体过程略。

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(10.75k)(5b)1219．(1)解：由已知，2(10.75k)(7b)222(10.75k)(5b)20 2(10.75k)(7b)1 解得b = 5，k = 1 ………… 6分 (2)当p = q时，2(1t)(x5)2x

∴(1t)(x5)2xt125xx(x5)221x125x10

而f(x)x在(0，4]上单调递减

414∴当x = 4时，f (x)有最小值

3

故当x = 4时，关税税率t的最大值为500%． ………… 13分 20． 解：椭圆的顶点为(0,3)，即beca1ba2212，解得a2， 椭圆的标准方程为

x24y231 …… 3分

（2）由题可知,直线l与椭圆必相交.

①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．

②设存在直线l为yk(x1)(k0)，且M(x1,y1)，N(x2,y2).

2x2y1由4得(34k2)x28k2x4k2120， 3yk(x1)x1x28k2234k，x1x24k1234k2222，

OMONx1x2y1y2x1x2k[x1x2(x1x2)1]

2 =

4k212234kk(24k212234k8k34k1)5k212234k2

所以k2，故直线l的方程为y2(x1)或y2(x1) …………8分

（3）设M(x1,y1),N(x2,y2),A(x3,y3),B(x4,y4) 由（2）可得： |MN|=1k =(1k)[(22|x1x2|4k2(1k)[(x1x2)4x1x2]

2228k2234k)4(21234k)]12(k21)234k.

2x2y1212由4消去y，并整理得：x ， 3234kykx48(1k)2|AB|=1k2|x3x4|43(1k)34k2234k，∴4 为定值 … 13分 2|MN|12(k1)34k2|AB|22

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c202xa1b221．解：（1）设， x(1b)xcxa0(b1)bxc20a1ba02x21

所以，所以，由f(x)f(2)1c3， c

c1c2b1(1)xc22又b,cN*，所以c2,b2，所以f(x)于是f(x)2x2(x1)x24(x1)222x22(x1)2(x1)，

x2x2(x1)，

于是易求得f(x)的增区间为(,0),(2,)，减区间为(0,1),(1,2)………… 4分

22（2）由已知可得2Snanan，当n2时，2Sn1an1an 1两式相减得(anan1)(anan11)0，所以anan1或anan11 当n1时，2a1a1a12a11，若anan1，则a21与an1矛盾， 所以anan11，从而an，于是要证的不等式即为可以考虑证明不等式：

1x1lnx1x1t1x(x0)，令11x1n1lnn1n1n，于是我们

1t1t,x0，则t1，x

再令g(t)t1lnt,g(t)1，由t(所以当t(1,)时，g(t)1,)知g(t)0，

1xlnx1x,x0①

单调递增，所以g(t)g(1)0，于是t1lnt，即 令h(t)lnt1,hg(t)t11t1t1t2t1t2，当t(1,)时，h(t)单调递增，所以

1x11n1,x0② n1n1n1n1h(t)h(1)0，于是lnt1，即lnx1x由①②可知

1x1lnx1x1x(x0)，所以ln，

即原不等式成立。 ………… 9分 （3）由（2）可知bnn1,2,3,4,1213120121n，Tn112131n，在lnn1n1n中，令

,2，并将各式相加得0ln21ln32ln20122011Tn1121312011

即T20121ln2012T2011. ………… 13分

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