某某省某某市江北中学2016届九年级数学上学期期中试题
一、选择题（本题有12小题，每小题4分，共48分） 1．二次函数y=（x﹣1）﹣2的顶点坐标是( ) A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，2）
2．△ABC∽△DEF且它们的面积比为，则周长比是( ) A．
B．
C．
D．
C．（1，﹣2）
D．（1，2）
2
3．地球上陆地与海洋面积的比是3：7，宇宙中一块陨石进入地球，落在陆地的概率是( ) A．
B．
C．
D．
4．一条弧所对的圆心角为60°，那么这条弧所对的圆周角为( ) A．30° B．60° C．120° 5．已知A．x+y=5
，那么下列式子中一定成立的是( ) B．2x=3y
C．
D．
D．150°
6．已知正n边形的每一个内角都等于144°，则n为( ) A．9
7．从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是( )
B．10 C．12 D．15
A． B． C．
D．
8．下列命题中，
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①正五边形是中心对称图形；
②在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等； ③三角形有且只有一个外接圆；
④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 其中是真命题的有( ) A．1
9．抛物线y=﹣x+bx+c的部分图象如图所示，要使y＞0，则x的取值X围是( )
2
B．2 C．3 D．4
A．﹣4＜x＜1
10．如图，一根木棒AB的长为2m斜靠在与地面垂直的墙上，与地面的倾斜角∠ABO为60°，当木棒沿墙壁向下滑动至A′，AA′=
，B端沿地面向右滑动至点B′，则木棒中点
B．﹣3＜x＜1
C．x＜﹣4或x＞1
D．x＜﹣3或x＞1
从P随之运动至P′所经过的路径长为( )
A．1
B．
C．
D．
2
11．如图，直线y=kx+c与抛物线y=ax+bx+c的图象都经过y轴上的D点，抛物线与x轴交于A、B两点，其对称轴为直线x=1，且OA=OD．直线y=kx+c与x轴交于点C（点C在点B的右侧）．则下列命题中正确命题的个数是( )
①abc＞0；②3a+b＞0；③﹣1＜k＜0；④k＞a+b；⑤ac+k＞0．
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A．1
12．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}=b；当a＜b时min{a，b}=a．如：min{1，﹣3}=﹣3，min{﹣4，﹣2}=﹣4．则min{﹣x+1，﹣x}的最大值是( )
2
B．2 C．3 D．4
A．
B． C．1 D．0
二、填空题（每小题4分，共24分）
13．已知⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为3cm，则点A在⊙O__________（填“上”“外”或“内”）
14．已知点A（4，y1），B（﹣2，y2）都在二次函数y=（x﹣2）﹣1的图象上，则y1、y2的大小关系是__________．（用“＜”连接）
15．在圆心角为120°的扇形中，半径为6，则扇形的面积是__________．
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x经过平移得到抛物线y=x﹣2x，其对称轴与两抛物线所围成的阴影部分的面积是__________．
2
2
2
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17．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点．若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为__________．
18．如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1； 将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2； 将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3； …
如此进行下去，直至得C13．若P（37，m）在第13段抛物线C13上，则m=__________．
三、解答题（本大题8题，共78分） 19．已知（1）
，求下列算式的值． ；
（2）
．
20．在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共5只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
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摸球的次数n 摸到白球的次数m 摸到白球的频率
100 58
150 96
200 116
500 295
800 484
1000 601
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近__________；（精确到0.1） （2）试估算口袋中白种颜色的球有多少只？
（3）请画树状图或列表计算：从中先摸出一球，不放回，再摸出一球；这两只球颜色不同的概率是多少？
21．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）． （1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．
22．抛物线y=﹣x+（m﹣1）x+m与y轴交于点（0，3）． （1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线与坐标轴的交点坐标；
（3）①当x取什么值时，y＞0？②当x取什么值时，y的值随x的增大而减小？
23．如图，已知⊙O的弦CD垂直于直径AB，点E在CD上，且EC=EB． （1）求证：△CEB∽△CBD； （2）若CE=3，CB=5，求DE的长．
2
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24．某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，有如下探讨： 甲同学：我发现这种多边形不一定是正多边形．如圆内接矩形不一定是正方形． 乙同学：我知道边数为3时，它是正三角形；我想，边数为5时，它可能也是正五边形… 丙同学：我发现边数为6时，它也不一定是正六边形．如图2，△ABC是正三角形，弧AD、弧BE、弧CF均相等，这样构造的六边形ADBECF不是正六边形．
（1）如图1，若圆内接五边形ABCDE的各内角均相等，则∠ABC=__________°，并简要说明圆内接五边形ABCDE为正五边形的理由；
（2）如图2，请证明丙同学构造的六边形各内角相等；
（3）根据以上探索过程，就问题“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”的结论与“边数n（n≥3，n为整数）”的关系，提出你的猜想（不需证明）．
25．如图，抛物线y=ax+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
2
（1）求该抛物线的解析式及顶点M坐标； （2）求△BCM面积与△ABC面积的比；
（3）若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，随着P点的运动，在抛
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物线上是否存在这样的点Q，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
26．（14分）定义一种变换：平移抛物线F1得到抛物线F2，使F2经过F1的顶点A．设F2的对称轴分别交F1，F2于点D，B，点C是点A关于直线BD的对称点．
（1）如图1，若F1：y=x，经过变换后，得到F2：y=x+bx，点C的坐标为（2，0），则： ①b的值等于__________； ②四边形ABCD为( )
A、平行四边形；B、矩形；C、菱形；D、正方形．
（2）如图2，若F1：y=ax+c，经过变换后，点B的坐标为（2，c﹣1），求△ABD的面积； （3）如图3，若F1：y=x﹣x+，经过变换后，AC=2点P到点D的距离和到直线AD的距离之和的最小值．
2015-2016学年某某省某某市江北中学九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题有12小题，每小题4分，共48分） 1．二次函数y=（x﹣1）﹣2的顶点坐标是( ) A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，2） 【考点】二次函数的性质．
【分析】已知解析式为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．
C．（1，﹣2）
D．（1，2）
2
222
2
，点P是直线AC上的动点，求
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【解答】解：因为y=（x﹣1）﹣2是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点，顶点坐标为（1，﹣2）． 故选C．
【点评】本题考查通过抛物线的顶点坐标式写出抛物线的顶点坐标，比较容易．
2．△ABC∽△DEF且它们的面积比为，则周长比是( ) A．
B．
C．
D．
2
【考点】相似三角形的性质． 【专题】计算题．
【分析】先利用相似三角形的面积的比等于相似比的平方得到相似比为，然后根据相似三角形的周长的比等于相似比求解． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF， 而它们的面积比为， ∴相似比为， ∴它们的周长比是． 故选B．
【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
3．地球上陆地与海洋面积的比是3：7，宇宙中一块陨石进入地球，落在陆地的概率是( ) A．
B．
C．
D．
【考点】几何概率．
【分析】利用地球上陆地与海洋面积的比得出陆地面积与地球面积的比，进而求出宇宙中一块陨石进入地球，落在陆地的概率．
【解答】解：∵地球上陆地与海洋面积的比是3：7，
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∴宇宙中一块陨石进入地球，落在陆地的概率是：故选：B．
=．
【点评】此题主要考查了几何概率的应用，得出陆地面积与地球面积的比是解题关键．
4．一条弧所对的圆心角为60°，那么这条弧所对的圆周角为( ) A．30° B．60° C．120° 【考点】圆周角定理．
【分析】直接根据圆周角定理进行解答即可． 【解答】解：∵一条弧所对的圆心角为60°， ∴这条弧所对的圆周角=×60°=30°． 故选A．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键． 5．已知A．x+y=5
，那么下列式子中一定成立的是( ) B．2x=3y
C．
D．
D．150°
【考点】比例的性质．
【分析】根据比例的性质对各个选项进行判断即可． 【解答】解：∵∵∵
，∴x+y=5不一定成立，A错误；
，∴3x=2y，∴2x=3y不成立，B错误； ，∴=，C错误，D正确，
故选：D．
【点评】本题考查的是比例的性质，掌握内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质是解题的关键．
6．已知正n边形的每一个内角都等于144°，则n为( )
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A．9 B．10 C．12 D．15
【考点】多边形内角与外角．
【分析】首先计算出每一个外角的度数，利用外角和除以外角度数可得边数． 【解答】解：∵正n边形的每一个内角都等于144°， ∴每一个外角都是180﹣144=36（度）， ∴n=360÷36=10． 故选：B．
【点评】此题主要考查了多边形的内角与外角，关键是掌握多边形的内角与相邻的外角互补．
7．从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是( )
A． B． C．
D．
【考点】圆周角定理．
【分析】根据圆周角定理（直径所对的圆周角是直角）求解，即可求得答案． 【解答】解：∵直径所对的圆周角等于直角，
∴从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是B． 故选：B．
【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
8．下列命题中，
①正五边形是中心对称图形；
②在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等； ③三角形有且只有一个外接圆；
④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 其中是真命题的有( )
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A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】命题与定理．
【分析】根据中心对称图形的定义对①进行判断；根据圆周角定理对②进行判断；根据确定圆的条件对③进行判断；根据垂径定理的推论对④进行判断． 【解答】解：正五边形是不是中心对称图形，所以①错误； 在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，所以②正确； 三角形有且只有一个外接圆，所以③正确；
平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，所以④错误． 故选B．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
9．抛物线y=﹣x+bx+c的部分图象如图所示，要使y＞0，则x的取值X围是( )
2
A．﹣4＜x＜1
B．﹣3＜x＜1
C．x＜﹣4或x＞1
D．x＜﹣3或x＞1
【考点】二次函数的图象．
【分析】根据抛物线的对称性可知，图象与x轴的另一个交点是﹣3，y＞0反映到图象上是指x轴上方的部分，对应的x值即为x的取值X围．
【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点是（1，0），对称轴是x=﹣1， 根据抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一交点是（﹣3，0）， 又图象开口向下， ∴当﹣3＜x＜1时，y＞0． 故选：B．
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【点评】主要考查了二次函数图象的对称性．要会利用对称轴和与x轴的一个交点坐标求与x轴的另一个交点坐标．
10．如图，一根木棒AB的长为2m斜靠在与地面垂直的墙上，与地面的倾斜角∠ABO为60°，当木棒沿墙壁向下滑动至A′，AA′=
，B端沿地面向右滑动至点B′，则木棒中点
从P随之运动至P′所经过的路径长为( )
A．1
B．
C．
D．
【考点】弧长的计算；直角三角形斜边上的中线．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OP=AB=A′B′=OP′，即P是随之运动所经过的路线是一段圆弧；在Rt△AOB中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠AOP=30°，OA=
，则易求出OA′=OA﹣AA′=
，即可得到△A′OB′为等腰直
角三角形，得到∠A′B′O=45°，则∠POP′=∠A′OP′﹣∠AOP=15°，然后根据弧长公式计算即可．
【解答】解：如图，连接OP、OP′， ∵ON⊥OM，P为AB中点， ∴OP=AB=A′B′=OP′， ∵AB=2， ∴OP=1，
当A端下滑B端右滑时，AB的中点P到O的距离始终为定长1， ∴P是随之运动所经过的路线是一段圆弧， ∵∠ABO=60°， ∴∠AOP=30°，OA=
，
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∵AA′=（，），OA′=OA﹣AA′=，
∴sin∠A′B′O=∴∠A′B′O=45°， ∴∠A′OP=45°
=，
∴∠POP′=∠A′OP′﹣∠AOP=15°， ∴弧PP′的长=
=
，
，
即P点运动到P′所经过路线PP′的长为故选：D．
【点评】本题考查了弧长公式：l=
（n为弧所对的圆心角的度数，R为半径），也考查
了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及含30度的直角三角形三边的关系和等腰直角三角形的性质．
11．如图，直线y=kx+c与抛物线y=ax+bx+c的图象都经过y轴上的D点，抛物线与x轴交于A、B两点，其对称轴为直线x=1，且OA=OD．直线y=kx+c与x轴交于点C（点C在点B的右侧）．则下列命题中正确命题的个数是( )
①abc＞0；②3a+b＞0；③﹣1＜k＜0；④k＞a+b；⑤ac+k＞0．
2
A．1
B．2
C．3
D．4
【考点】二次函数图象与系数的关系．
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【分析】根据抛物线的性质逐项判断即可．由抛物线的开口判断a的符号；由对称轴判断b及b与2a的关系；还可由图象上点的坐标判断． 【解答】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0．
∵抛物线对称轴是x=1， ∴b＜0且b=﹣2a．
∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴c＞0．
∴①abc＞0错误； ②3a+b＞0正确；
∵直线y=kx+c经过一、二、四象限， ∴k＜0． ∵OA=OD，
∴点A的坐标为（c，0）． 直线y=kx+c当x=c时，y＞0， ∴kc+c＞0可得k＞﹣1． ∴③﹣1＜k＜0正确；
∵直线y=kx+c与抛物线y=ax+bx+c的图象有两个交点 ∴ax+bx+c=kx+c，
2
2
得x1=0，由图象知x2＞1，
．
∴＞1
∴k＞a+b
∴④k＞a+b正确；
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∵
∴2a﹣ac=1． ∴ac=2a﹣1， ∵﹣1＜k＜0，
，
∴⑤令ax+bx+c=kx+c， ∴ax+b=k， ∵b=﹣2a， ∴x=
．
2
∵交点在B（2﹣c，0）右边， ∴
＞2﹣c，
∴k+2a＞2a﹣ac， ∴ac+k＞0，故正确． 故选D．
【点评】本题主要考查了抛物线的性质，利用图象判断系数的符号以及一次函数的性质．
12．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}=b；当a＜b时min{a，b}=a．如：min{1，﹣3}=﹣3，min{﹣4，﹣2}=﹣4．则min{﹣x+1，﹣x}的最大值是( )
2
A． B． C．1 D．0
【考点】二次函数的最值；正比例函数的性质． 【专题】新定义．
【分析】画出函数图象草图，利用函数图象的性质可得结论．
【解答】解：在同一坐标系xOy中，画出函数二次函数y=﹣x+1与正比例函数y=﹣x的图象，如图所示．设它们交于点A、B．
2
令﹣x+1=﹣x，即x﹣x﹣1=0，解得：x=
22
或，
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∴A（，），B（，）．
观察图象可知：
①当x≤时，min{﹣x+1，﹣x}=﹣x+1，函数值随x的增大而增大，其最大值为
22
；
②当＜x＜时，min{﹣x+1，﹣x}=﹣x，函数值随x的增大而减小，其最大值
2
为；
③当x≥时，min{﹣x+1，﹣x}=﹣x+1，函数值随x的增大而减小，最大值为
22
．
综上所示，min{﹣x+1，﹣x}的最大值是故选：A．
2
．
【点评】本题考查了二次函数与正比例函数的图象与性质，充分理解定义min{a，b}和掌握函数的性质是解题的关键．
二、填空题（每小题4分，共24分）
13．已知⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为3cm，则点A在⊙O内（填“上”“外”或“内”）
【考点】点与圆的位置关系；圆的认识． 【专题】推理填空题．
【分析】根据点到圆心的距离与圆的半径大小的比较，确定点A与⊙O的位置关系．
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【解答】解：∵OA=3cm＜4cm∴点A在⊙O内． 故答案是：内．
【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离比圆的半径小，可以确定点A在圆内．
14．已知点A（4，y1），B（﹣2，y2）都在二次函数y=（x﹣2）﹣1的图象上，则y1、y2的大小关系是y1＜y2．（用“＜”连接） 【考点】二次函数图象上点的坐标特征． 【专题】计算题．
【分析】分别计算自变量为4和﹣2时的函数值，然后比较函数值的大小即可． 【解答】解：当x=4时，y1=（x﹣2）﹣1=3；当x=﹣2时，y2=（x﹣2）﹣1=15， 所以y1＜y2． 故答案为y1＜y2．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．解决本题的方法就是直接计算出y1和y2的值．
15．在圆心角为120°的扇形中，半径为6，则扇形的面积是12π． 【考点】扇形面积的计算．
【分析】直接根据扇形的面积公式计算即可． 【解答】解：由题意得，n=120°，R=6，
2
2
2
故可得扇形的面积S=故答案为：12π．
==12π．
【点评】此题考查了扇形的面积计算，属于基础题，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式．
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x经过平移得到抛物线y=x﹣2x，其对称轴与两抛物线所围成的阴影部分的面积是1．
2
2
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【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】先利用配方法得到抛物线y=x﹣2x的顶点坐标为（1，﹣1），则抛物线y=x向右平移1个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=x﹣2x，然后利用阴影部分的面积等于三角形面积进行计算．
【解答】解：y=x﹣2x=（x﹣1）﹣1，即平移后抛物线的顶点坐标为（1，﹣1）， 所以抛物线y=x向右平移1个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=x﹣2x， 所以对称轴与两抛物线所围成的阴影部分的面积=×1×2=1． 故答案为1．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
17．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点．若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为．
2
2
2
2
2
2
2
【考点】圆周角定理；三角形中位线定理． 【专题】压轴题．
【分析】由点E、F分别是AC、BC的中点，根据三角形中位线定理得出EF=AB=3.5为定值，则GE+FH=GH﹣EF=GH﹣3.5，所以当GH取最大值时，GE+FH有最大值．而直径是圆中最长的
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弦，故当GH为⊙O的直径时，GE+FH有最大值14﹣3.5=10.5． 【解答】解：当GH为⊙O的直径时，GE+FH有最大值． 当GH为直径时，E点与O点重合， ∴AC也是直径，AC=14． ∵∠ABC是直径上的圆周角， ∴∠ABC=90°， ∵∠C=30°， ∴AB=AC=7．
∵点E、F分别为AC、BC的中点， ∴EF=AB=3.5，
∴GE+FH=GH﹣EF=14﹣3.5=10.5． 故答案为：10.5．
【点评】本题结合动点考查了圆周角定理，三角形中位线定理，有一定难度．确定GH的位置是解题的关键．
18．如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1； 将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2； 将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3； …
如此进行下去，直至得C13．若P（37，m）在第13段抛物线C13上，则m=2．
【考点】二次函数图象与几何变换． 【专题】压轴题．
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【分析】根据图象的旋转变化规律以及二次函数的平移规律得出平移后解析式，进而求出m的值．
【解答】解：∵一段抛物线：y=﹣x（x﹣3）（0≤x≤3）， ∴图象与x轴交点坐标为：（0，0），（3，0）， ∵将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2； 将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3； …
如此进行下去，直至得C13．
∴C13的解析式与x轴的交点坐标为（36，0），（39，0），且图象在x轴上方， ∴C13的解析式为：y13=﹣（x﹣36）（x﹣39）， 当x=37时，y=﹣（37﹣36）×（37﹣39）=2． 故答案为：2．
【点评】此题主要考查了二次函数的平移规律，根据已知得出二次函数旋转后解析式是解题关键．
三、解答题（本大题8题，共78分） 19．已知（1）
，求下列算式的值． ；
（2）．
【考点】比例的性质．
【分析】（1）由比例的性质容易得出结果； （2）设a=3k，则b=2k，代入计算化简即可． 【解答】解：（1）∵∴（2）∵
=； ，
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，
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∴设a=3k，则b=2k，
∴===．
【点评】本题考查了比例的性质，代数式的求值；熟练掌握比例的性质是解决问题的关键．
20．在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共5只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 摸到白球的次数m 摸到白球的频率
100 58
150 96
200 116
500 295
800 484
1000 601
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近；（精确到0.1） （2）试估算口袋中白种颜色的球有多少只？
（3）请画树状图或列表计算：从中先摸出一球，不放回，再摸出一球；这两只球颜色不同的概率是多少？
【考点】利用频率估计概率；列表法与树状图法． 【专题】计算题．
【分析】（1）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6；
（2）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算白球的个数；
（3）先利用列表法展示所有20种等可能的结果数，再找出两只球颜色不同所占结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）答案为：0.6；
（2）由（1）摸到白球的概率为0.6，所以可估计口袋中白种颜色的球的个数=5×0.6=3（只）； （3）画树状图为：
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共有20种等可能的结果数，其中两只球颜色不同占12种， 所以两只球颜色不同的概率=
=．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．也考查了列表法与树状图法．
21．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）． （1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．
【考点】垂径定理；勾股定理． 【专题】几何综合题．
【分析】（1）过O作OE⊥AB，根据垂径定理得到AE=BE，CE=DE，从而得到AC=BD； （2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，再根据勾股定理求出CE及AE的长，根据AC=AE﹣CE即可得出结论．
【解答】（1）证明：过O作OE⊥AB于点E， 则CE=DE，AE=BE，
∴BE﹣DE=AE﹣CE，即AC=BD；
（2）解：由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA， ∴OE=6， ∴CE=
∴AC=AE﹣CE=8﹣2
=．
=2
，AE=
=
=8，
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【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
22．抛物线y=﹣x+（m﹣1）x+m与y轴交于点（0，3）． （1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线与坐标轴的交点坐标；
（3）①当x取什么值时，y＞0？②当x取什么值时，y的值随x的增大而减小？ 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；抛物线与x轴的交点． 【分析】（1）将点（0，3）代入抛物线的解析式中，即可求得m的值；
（2）可以令y=0，可得出一个关于x的一元二次方程，方程的解就是抛物线与x轴交点的横坐标；
（3）根据（2）中抛物线与x轴的交点以及抛物线的开口方向即可求得x的取值X围． 【解答】解：（1）将点（0，3）代入抛物线y=﹣x+（m﹣1）x+m， m=3，
∴抛物线的解析式y=﹣x+2x+3；
（2）令y=0，﹣x+2x+3=0， 解得x1=3，x2=﹣1；
X轴：A（3，0）、B（﹣1，0）； Y轴：C（0，3）
（3）抛物线开口向下，对称轴x=1； 所以）①当﹣1＜x＜3时，y＞0； ②当x≥1时，y的值随x的增大而减小．
【点评】本题考查了二次函数解析式的确定．注意数形结合的思想，能够根据图象分析一元
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2
2
2
2
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二次不等式的解集．
23．如图，已知⊙O的弦CD垂直于直径AB，点E在CD上，且EC=EB． （1）求证：△CEB∽△CBD； （2）若CE=3，CB=5，求DE的长．
【考点】相似三角形的判定与性质；圆周角定理． 【专题】几何综合题．
【分析】（1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定其相似；
（2）根据相似三角形的对应边成比例先求出CD的长，已知CE的长，那么DE的长就容易求得了．
【解答】（1）证明：∵弦CD垂直于直径AB， ∴BC=BD． ∴∠C=∠D． 又∵EC=EB， ∴∠C=∠CBE． ∴∠D=∠CBE． 又∵∠C=∠C， ∴△CEB∽△CBD．
（2）解：∵△CEB∽△CBD， ∴
．
∴CD=．
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∴DE=CD﹣CE=﹣3=．
【点评】考查了相似三角形的判定和性质，难易程度适中．
24．某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，有如下探讨： 甲同学：我发现这种多边形不一定是正多边形．如圆内接矩形不一定是正方形． 乙同学：我知道边数为3时，它是正三角形；我想，边数为5时，它可能也是正五边形… 丙同学：我发现边数为6时，它也不一定是正六边形．如图2，△ABC是正三角形，弧AD、弧BE、弧CF均相等，这样构造的六边形ADBECF不是正六边形．
（1）如图1，若圆内接五边形ABCDE的各内角均相等，则∠ABC=108°，并简要说明圆内接五边形ABCDE为正五边形的理由；
（2）如图2，请证明丙同学构造的六边形各内角相等；
（3）根据以上探索过程，就问题“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”的结论与“边数n（n≥3，n为整数）”的关系，提出你的猜想（不需证明）． 【考点】圆的综合题． 【专题】探究型．
【分析】（1）运用n边形的内角和定理就可求出∠ABC的度数；已知圆内接五边形ABCDE的各内角均相等，要证该五边形为正五边形，只需证该五边形的各边均相等，只需利用弧与圆周角之间的等量关系就可解决问题．
（2）由△ABC是正三角形可得∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，根据圆内接四边形的性质可得∠AFC、∠ADB、∠BEC均为120°，由
=
可得∠ABD=∠CAF，即可求出∠DAF=120°，同
理可得∠DBE=∠ECF=120°，问题得以解决．
（3）依据对（1）、（2）的探索积累的经验就可提出合理的猜想．
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【解答】解：（1）∵五边形的内角和=（5﹣2）×180°=540°， ∴∠ABC=
=108°．
故答案为：108． 理由：如图1， ∵∠A=∠B ∴∴∴
==﹣， ， =
﹣
，
∴BC=AE．
同理可得：BC=DE，DE=AB，AB=CD，CD=AE， ∴BC=DE=AB=CD=AE，
∴五边形ABCDE是正五边形；
（2）证明：如图2， ∵△ABC是正三角形， ∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°， ∵四边形ABCF是圆内接四边形， ∴∠ABC+∠AFC=180°， ∴∠AFC=120°．
同理可得：∠ADB=120°，∠BEC=120°． ∵∠ADB=120°， ∴∠DAB+∠ABD=60°． ∵
=
，
∴∠ABD=∠CAF， ∴∠DAB+∠CAF=60°，
∴∠DAF=∠DAB+∠CAF+∠BAC=120°．
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同理可得：∠DBE=120°，∠ECF=120°，
∴∠AFC=∠ADB=∠BEC=∠DAF=∠DBE=∠ECF=120°， 故图2中六边形各角相等；
（3）由（1）、（2）可提出以下猜想：
当n（n≥3，n为整数）是奇数时，各内角都相等的圆内接多边形是正多边形； 当n（n≥3，n为整数）时偶数时，各内角都相等的圆内接多边形不一定为正多边形．
【点评】本题主要探究的是各内角都相等的圆内接多边形是正多边形的构成条件，用到了弧与圆周角之间的等量关系、圆内接四边形的性质、等边三角形的性质、n边形内角和定理等知识，而运用弧与圆周角之间的等量关系是解决本题的关键；本题充分体现了合作与探究的新课程理念，是一道好题．
25．如图，抛物线y=ax+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
2
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（1）求该抛物线的解析式及顶点M坐标； （2）求△BCM面积与△ABC面积的比；
（3）若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，随着P点的运动，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【考点】二次函数综合题；平行四边形的性质． 【专题】综合题．
【分析】（1）有抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，则可设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3）．由与y轴交于点C（0，﹣3），则代入易得解析式，顶点易知． （2）求△BCM面积与△ABC面积的比，由两三角形不为同高或同底，所以考虑求解求出两三角形面积再作比即可．因为S△BCM=S梯形OCMD+S△BMD﹣S△BOC，S△ABC=•AB•OC，则结论易得． （3）由四边形为平行四边形，则对边PQ、AC平行且相等，过Q点作x轴的垂线易得Q到x轴的距离=OC=3，又（1）得抛物线解析式，代入即得Q点横坐标，则Q点可求． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3）， ∵抛物线过点（0，﹣3）， ∴﹣3=a（0+1）（0﹣3）， ∴a=1，
∴抛物线解析式为y=（x+1）（x﹣3）=x﹣2x﹣3， ∵y=x﹣2x﹣3=（x﹣1）﹣4， ∴M（1，﹣4）．
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2
2
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（2）如图1，连接BC、BM、CM，作MD⊥x轴于D，
∵S△BCM=S梯形OCMD+S△BMD﹣S△BOC =•（3+4）•1+•2×4﹣•3•3 =+﹣=3
S△ABC=•AB•OC=•4•3=6， ∴S△BCM：S△ABC=3：6=1：2．
（3）存在，理由如下：
①如图2，当Q在x轴下方时，作QE⊥x轴于E，
∵四边形ACQP为平行四边形， ∴PQ平行且相等AC， ∴△PEQ≌△AOC， ∴EQ=OC=3，
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∴﹣3=x﹣2x﹣3，
解得 x=2或x=0（与C点重合，舍去）， ∴Q（2，﹣3）．
②如图3，当Q在x轴上方时，作QF⊥x轴于F，
2
∵四边形ACPQ为平行四边形， ∴QP平行且相等AC， ∴△PFQ≌△AOC， ∴FQ=OC=3， ∴3=x﹣2x﹣3， 解得 x=1+∴Q（1+
或x=1﹣，3）或（1﹣
， ，3）．
，3）或（1﹣
，3）
2
综上所述，Q点为（2，﹣3）或（1+
【点评】本题考查了二次函数图象与性质、平行四边形及坐标系中求不规则图形面积等基础考点，难度适中，适合学生练习．
26．（14分）定义一种变换：平移抛物线F1得到抛物线F2，使F2经过F1的顶点A．设F2的对称轴分别交F1，F2于点D，B，点C是点A关于直线BD的对称点．
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（1）如图1，若F1：y=x，经过变换后，得到F2：y=x+bx，点C的坐标为（2，0），则： ①b的值等于；
②四边形ABCD为( )
A、平行四边形；B、矩形；C、菱形；D、正方形．
（2）如图2，若F1：y=ax+c，经过变换后，点B的坐标为（2，c﹣1），求△ABD的面积； （3）如图3，若F1：y=x﹣x+，经过变换后，AC=2点P到点D的距离和到直线AD的距离之和的最小值． 【考点】二次函数综合题．
【专题】压轴题；新定义；动点型；分类讨论．
【分析】（1）已知F2的解析式，把已知坐标代入即可得出b的值； （2）在（1）的基础上求出S△ABD；
（3）要分情况讨论点C在点A的左边还是右边，作PH⊥AD交AD于点H，则PD+PH=PB+PH，是PB+PH值最小可求出h的最小值． 【解答】解：（1）﹣2；D；
（2）∵F2：y=a（x﹣2）+c﹣1， 而A（0，c）在F2上，可得a=． ∴DB=（4a+c）﹣（c﹣1）=2， ∴S△ABD=2；
（3）当点C在点A的右侧时（如图1）， 设AC与BD交于点N，
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2
，点P是直线AC上的动点，求
word
抛物线y=x﹣x+，配方得y=（x﹣1）+2， 其顶点坐标是A（1，2）， ∵AC=2
，
，2）．
22
∴点C的坐标为（1+2∵F2过点A，
∴F2解析式为y=（x﹣1﹣∴B（1+∴D（1+
，1）， ，3）
）+1，
2
∴NB=ND=1，
∵点A与点C关于直线BD对称， ∴AC⊥DB，且AN=NC ∴四边形ABCD是菱形． ∴PD=PB．
作PH⊥AD交AD于点H，则PD+PH=PB+PH． 要使PD+PH最小，即要使PB+PH最小，
此最小值是点B到AD的距离，即△ABD边AD上的高h． ∵DN=1，AN=
，DB⊥AC，
∴∠DAN=30°， 故△ABD是等边三角形．
∴h=AD= ．
．
．
∴最小值为
当点C在点A的左侧时（如图2），同理，最小值为
综上，点P到点D的距离和到直线AD的距离之和的最小值为
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【点评】本题综合考查的是考生的作图能力以及二次函数的灵活运用，难度较大．
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