２０１８年第７期（上） 中学数学研究 １７ 对两类周期数列的研究 辽宁省黑山县第一高级中学数学组（１２１４００） 刘大鹏 王洪峰 各种竞赛中经常出现周期数列，这引起了笔者的兴趣， 其中Ｃ１，Ｃ２是 胜一 丸 穆考 ｒ（ｃｌ ｃｏｓ Ｏ＋ ｃ２ ｓｉｎ Ｏ）＝ ａｌ、类型Ｉ数列的通项 的唯一解．［ 】 Ｌ …～ …～ ２。。 我们称形如：已知ａ１，ａ２，ａｎ＋２＝ａａ ＋１＋ｂａ ， ｆａ。＋４ｂ＜０）的数列为类型Ｉ数列．以下讨论该型数列 证明（用第二数学归纳法） ｉ）当佗：１时，ａｌ：ｒ（ｃｌ ＣＯＳ ＋ｃ２ ｓｉｎ ），结论成立 ｉｉ）将特征根带入特征方程，得 Ｔ通项公式的求法． 定义方程Ｘ。一ａ３７一ｂ：０叫做递推公式ａｎ＋２： ａ０ ＋ ＋ｂａ 的特征方程，其根叫做特征根． ２（ｃｏｓ２０＋ｉ ｓｉｎ２０）：ａｔ（ｃｏｓ０＋ｉ ｓｉｎ０）＋ｂ， 所以 ｒ２ ＣＯＳ２０＝ｎ ｒＣＯＳ０＋ｂ． 定理１若特征方程有两个共轭虚根Ｘｌ：ｒ（ＣＯＳ ０＋ ｉ ｓｉｎ ），Ｘ２＝Ｔ（ＣＯＳ０一ｉ ｓｉｎ ），则 ａｎ＝ｒｎ（ｃ１ ＣＯＳｎＯ＋Ｃ２ ｓｉｎ％ ）， ２ ｒｓｉｎ２０＝ａｒ ｓｉｎ０． 假设ａ ＝ｒ （ｃｌ ＣＯＳｎＯ＋Ｃ２ ｓｉｎｎＯ）对不超过ｋ（１＜几≤ ） 的自然数成立，当ｎ＝ｋ＋１时， 解析注意到目标函数是两个绝对值之和，故联想到绝 ２０１５年高考数学浙江卷理科第ｌ８题已知函数 对值三角不等式进行放缩： ｆ（ｘ）＝ ＋ａｘ＋ｂ（ａ，ｂ Ｅ Ｒ），记Ｍ（ａ，ｂ）是Ｉ，（ ）ｌ在区 间ｆ一１，１１上的最大值． Ｉ２ ＋Ｙ一２ｌ＋Ｊ６一Ｘ～３ｙ Ｊ ≥ｆ（２ ＋Ｙ一２）一（６一 一３ｙ）ｆ ＝（１）证明：当ｌｎ１≥２时，Ｍ（ａ，ｂ）≥２； （２）当ａ，ｂ满足Ｍ（ａ，ｂ）≤２时，求ｌａ１＋ｌｂ】的最大值． Ｉｓ一（３ｘ＋４ｙ）Ｉ＝８一（３ｚ＋４ｙ）≥３ 而 解析（１）当ＪａＩ≥２时，易知，（ ）在［－１，１］上单调，从 当且仅当数（ｘ，ｙ）：（ ， ４）时，等号成立． 注 当ｚ。＋Ｙ。≤１时，由三角代换合一变形可知 Ｍ（ａ，ｂ）＝ｍａｘ｛Ｉｆ（－１）Ｉ．【ｆ（１）Ｉ｝ ｎｌＩ】ｂ＋１ ）≥ ３ ＋４ｙ≤５，故ｌ８一（３ｚ＋４ ）Ｉ＝８一（３ｘ＋４ ）． 试题点评本题如上解法利用绝对值三角不等式 放缩较为简单；若采用规划知识来处理，则首先要去掉 ≥ —————～—— ■二——————） 一一 ：ｌ１ ａｌ１≥２．· （２）由于Ｍ（ａ，ｂ）≤２，故｝，（一１）Ｉ≤２，）ｆＯ）Ｊ≤２， 即目标函数中的两个绝对值，观察力好的话，可以注意到 Ｊ６一 一３ｙ Ｊ＝６一Ｘ一３ｙ，因为 ＋３ｙ≤、／１０．而Ｊ２ ＋Ｙ一２Ｉ 的绝对值要去掉，则要分类讨论． 试题综评这些试题背景熟悉、设问新颖、内涵丰富、方 法多样． ｛。Ｉ ｌｂ６＋ 一圳≤２，于是｛一３≤ 一。≤ ，又因为 ＋１＋日｝≤２ ｌ一３≤ｂ＋ｎ≤１ ｌａｌ＋Ｉｂｌ＝｛ ：。ａｂ ＜１＞。Ｏ，． 卅 １８ 中学数学研究 三、考题再现 ２０１８年第７期（上） ａｋ＋ｌ ０ｎ ＋ｂａｋ一１ 例１（１９８９年浙江高中数学竞赛）数列｛０ ｝，ａｎ＋１＝ ＝ｎｒ ｃｌ ｃｏｓｋＯ＋ｃ２ ｓｉｎｋＯ）＋ｂｒ 一 ｆｃ１ ｃｏｓ（ｋ一１）０ ＋ｃ２ ｓｉｎ（ｋ—ｉ）Ｏ１ 老 ，求ａｌＯＯｌ－ａ４ｏｌ 一２，Ｐ＝ｉ，ｑ＝一ｉ， ＝－————－－——————·－—————－———— ——－——————－———————．—————————————————二 解ａ＝１，ｃ＝ ＝ｃｌｒ 一 ａｒ ｃｏｓｋＯ＋ｂｃｏｓ（ｋ—１） ）＋ｃ２ｒ 一 （ａｔ ｓｉｎｋＯ ＋ｂ ｓｉｎ（ｋ一１）０） 。一ｃｐ １＋（２一 ）ｊ（ 一４７）（ ＋ 。一ｃｑ １一（２一 ） （ 一４７）（亟 一 丌 ．． 丌 ） ＝Ｃ１Ｔ ～ （＂０Ｔ（ｃｏｓ（ｋ一１）０ ｃｏｓ ０一ｓｉｎ（ｋ一１）０ ｓｉｎ Ｏ） ＋ｂｃｏｓ（ｋ一１）０１＋｛３２ｒ ～ （ａｒ（ｓｉｎ（ｋ一１）０ ｃｏｓ０ 。。 ＋ 一 “ ｍ ２７ｒ ．．２７ｒ —— 。。。 ——■■－元－ 。 ＋ ｍ西 所以Ｔ＝１２，６００：１２×５０，所以ａ１ｏ０１一ｎ４ｏｌ＝０． ＋ｃｏｓ＠一１）ｏ ｓｉｎ０）＋ｂ ｓｉｎ（ｋ一１）０） ￣Ｃ１ｒ 一 ｆｒ ｃｏｓ（ｋ一１）０ｃｏｓ２０一ｒ。ｓｉｎ（ｋ一１）０ ｓｉｎ２０） －例２（２００５湖南高考题）已知数列ａ ），ａ ：０， ＝ ＋Ｃ２Ｔ ～ ｆｒ。ｓｉｎ（ｋ一１）０ｃｏｓ２０＋ｒ。ｃｏｓ（ｋ～１）０ ｓｉｎ２０） ：ｒ ＋ （ｃｌ ｃｏｓ（ｋ＋１）ｏ＋ｃ２ ｓｉｎ（惫＋ 综上，结论对一切自然数竹都成立． 等，求ｎ。。的值（） ．Ａ·０ Ｂ·一 ｃ． Ｄ． ． 解ａ １，ｃ： ２７１ｃ。ｓ －ｉ，ｑ＝ｉ， ａ－ｃｐ＝ ＝ 推论１在定理１中，若ｒ＝１，０＝竿，南＞１，ｋ∈Ｎ，则 ｆｎ ’是周期为 的数列． 推论２在推论１的条件下，｛Ⅱ ｌ的相邻ｈ项的和为０． ＋ ｓｉｎ ，所以 ：３，ｎ２。：ａ２：一 ． 例３（１９８５年美国数学邀请赛试题）已知整数数列｛。 ） 满足ａｎ＋２＝ａｎ＋ｌ—ａｎ，Ｓ１４９２＝１９８５，Ｓ１９８５＝１４９２，求 Ｄｏ１的值．【。］ 解 特征根 ＝ ：ｃｏｓ ＋ｉ ｓｉｎ ，所以 证明证法一：结论等价于Ｓ ＝０，ＣＯＳ０＋ＣＯＳ２０＋ ２ ｓｉｎ （ｃｏｓ０＋ｃｏｓ２０＋…＋ＣＯＳｋＯ） 一·＋ｃｏｓ ｋＯ＝——— ———————— ———————～２ ｓｉｎ ＝０，同 Ｔ：６，ａｎ＋３＝ａｎ＋２一ａ ＋ｌ＝一ａｎ，由推论２，Ｓｌ４９２＝ Ｓ６×２４８－｝－４＝ａｌ＋ａ２＋ｇ３＋ａ４＝０，２＋ａ３，Ｓ１９８５＝Ｓ６×３３０＋５： 理ｓｉｎ０＋ｓｉｎ２０＋．．．＋ｓｉｎｋＯ＝０． 证法二：见文［５】＇９￣ＩＮ １的证明 Ｓ５＝－ａ６＝ａ３＝１４９２，ａ２＝￥１４９２一Ｓ１９８５：１９８５—１４９２： ４９３，ａｌ＝－ａ４＝ａ２一ａ３：４９３—１４９２＝－９９９． 二、类型ＩＩ数列的通项 我们称形如：已知ａｌ，ａｎ＋１＝ｆ（ａ ），ａ１≠／（ａ１）的数列 为类型ＩＩ数列，其中．厂（ ）＝ ａｘ ＋ ｂ（ｃ≠Ｏ，ａｄ一６ｃ≠０）． ，００１＝ ×３３３＋３＝岛＝９８６． 以下两题供读者练习： 定义方程／（ｘ）＝ｘ的根叫做函数／（ｘ１的不动点． 定理２当函数ｆ（ｘ）有两个相异的不动点Ｐ，ｑ时， １．（２００６山西预赛试题）已知数列ａ ｝，。时２＝ ｛ｌ ａ｝是等比数列；当函数，（ ）有唯一的不动点Ｐ ｎ—ｇ Ｊ 。、 ０ ＋１一ａ ，ａ２＝１， 。Ｄ５＝２００６，求 ２ｏｏ６的值．［ 】 ２．（１９９４年第５届希望杯题）已知数列ａ ），ａｌ＝１３， ａ２＝５６，ａｎ＋１＝ａｎ＋２＋ａ＂，求３１９９４的值． 答案１． ０ｏ６＝２００７；２．ａｌ９９４＝５６． 时，｛— 一｝是等差数列．Ｉ 推论３在定理２中，Ｐ，ｑ是共轭复数时，记 Ｐ＝Ｔ（ＣＯＳ０＋ｉ ｓｉｎ ），ｇ＝Ｔ（ＣＯＳ０一ｉ ｓｉｎ０） ｎｎ＋ －ｐ＝—鸣谢对张兴波校长提供的帮助表示衷心的感谢！ 参考文献 （ａ －ｃ ｐ）（ ａ￣－ｐ）， ［１】刘博雷，刘叔才．竞赛中的递推数列问题【ＪＪ 数学通讯，２００８（８）： ４ｌ一４５． 。州一ｑ： ， ｆ２徐国君．不动点法求数列的通项中学数学教学参考，２］２００７（４）：２９—３１． ： ａｎ—ｑ ｆ， １一 ， ａｌ—ｑ＼、ａ—ｃｇ／ －【３】武增明 数列问题中的周期性［Ｊ】．高中数学教与学，２００６（１２）：４９， 『４］刘康宁，党效文．数列的综合问题【Ｊ１．数学通讯２００７（２，４）：８５－８８． ５刘大鹏，王洪峰．对一个猜想的证明［Ｊｌ中学数学研究（广州）， ２０ｌ８（４ 上半月：４５． 当 ａ—Ｃａ ：ｃｏｓ ２７（＋ｉ ｓｉｎ ２， ；时，。ｎ＋％：‰ ＞１， ∈Ｎ， 则｛ｎ 是周期为ｋ的数列．