2019年湖南省对口高考数学试卷及参考答案

一、选择题（每小题4分，共40分） 1、已知集合A{1，3},B{0,a}，且AB{0,1,2,3}，则a（ ） A、0 B、1 C、2 D、3

【解析】因为AB{1,3}{0,a}{0,1,3,a}{0,1,2,3}，所以a2，选C

2、“x4”是“x2”的（ ）条件

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充分必要 D、既不充分又不必要 【解析】因为由“x4”可以得出“x2”，而“x2”不能得出“x4”，所以“x4”是“x2”的充分不必要条件。选A

3、过点P(1,1)且与直线3x4y0平行的直线方程是（ ）

A、4x3y70 B、3x4y10 C、4x3y10 D、3x4y10

【解析】过一点与已知直线AxByC0的平行的直线方程可以设为AxByC10。本题中设所求直线方程为3x4yc0，将P(故所求直线方程为3x4y10。11,)代入得：c1，选D

4、函数f(x)log2x(x[1,8])的值域为（ ）

A、[0,4] B、[0,3] C、[1,4] D、[1,3]

【解析】f(x)log2x(x[1,8])是单调增函数，所以f(1)f(x)f(8)，又f(1)log210,

f(8)log283，所以f(x)log2x(x[1,8])的值域为[0,3]。选B 5、不等式x(x1)0的解集是（ ）

A、{x|x1} B、{x|x0} C、{x|1x0} D、{x|x1或x0}

2【解析】因为x(x1)0的解为x11,x20，且x的系数1>0，所以x(x1)0的解集为{x|1x0}。选C

36、已知tan，且为第二象限角，则sin=（ ）

44433A、 B、 C、 D、

5555sin2sin2cos21sin221tan1【解析】由tan得：tan1，即 222coscoscoscos132251622()1cos所以，，又为第二象限角，所以sin1cos， 2cos41625163。选D 即sin1255227、已知A,B为圆xy1上两点，O为坐标原点，若|AB|2，则OAOB（ ）

13 B、0 C、 D、2 22【解析】由题意得：|OA||OB|1。OAOB|OA||OB|cosAOB11cosAOB

A、cosAOB。又|AB|2|OA|2|OB|22|OA||OB|cosAOB，所以有

(2)2112cosAOB,cosAOB0，所以OAOB0。选B

8、函数f(x)Asinx2（A为常数）的部分图像如下，则A=（ ）

【解析】由图可得：当x2时，f(x)Asin()2A23，所以A=1。选A

2A、1 B、2 C、3 D、-1 9、下列命题中，正确的是（ ） A、垂直于同一直线的两条直线平行 B、垂直于同一平面的两个平面平行

C、若平面外有两个点到一个平面的距离相等，则该直线平行于这个平面 D、一条直线与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直

【解析】垂直于同一直线的两条直线可以平行、相交、异面；垂直于同一平面的两个平面可以平行、相交；直线与平面斜交时，也存在两个点到该平面的距离相等。故选D 10、已知直线axby1（a,b为常数）经过点(cos则下列不等式一定成立的是（ ） ,sin)，

332222A、ab1 B、ab1 C、ab1 D、ab1

13【解析】由直线axby1经过点(cos,sin)得：a即a3b2，a23b b1，

223331a2b2(23b)2b24b2443b4(b23b1)4[(b23b)]44

32114[(b)]4(0)1,所以选A244二、填空题（每小题4分，共20分）

11、在一次射击比赛中，某运动员射击20次的成绩如下 8 9 10 单次成绩（环） 7 4 6 6 4 次数 则该运动员的平均成绩为 （环）。

4768694108.5

466412、已知向量a(1,0),b(0,1),c(13,14)，且cxayb，则xy 。

【解析】cxaybx(1,0)y(0,1)(x,0)(0,y)(x,y)(13,14)，所以x13,y14，xy27

513、已知(ax1)的展开式中x的系数为10，则a 。

【解析】x【解析】设第r1项的展开式含x，则有Tr1C5(ax)r5r1rC5ra5rx5r，所以5r1

r4。x的系数为C54a10，所以a2

14、将2，5，11三个数分别加上相同的常数m，使这三个数成等比数列，则m 。

2【解析】由题意得：(5m)(2m)(11m)，整理得：3m3，所以m1

15、已知函数f(x)(xR)为奇函数，g(x)(xR)为偶函数，且f(x)g(x)x4x1，则

2f(2)g(2) 。

【解析】由f(x)为奇函数g(x)为偶函数得：f(x)g(x)f(x)g(x)(x)4x1，

2242113又f(x)g(x)(x)4x1x4x1，所以f(2)g(2)，所以

f(2)g(2)13222三、解答题（每小题10分，共60分。第21、22为选做题，若两题都作答，则只计第21题分） 16、已知数列{an}为等差数列，a11,a23； （1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn(1)an，数列{bn}的前n项和为Tn，求T100

【解析】（1）解：设数列{an}的公差为d，则da2a1312，ana1(n1)d2n1 （2）解：因为bn(1)(2n1)，所以b11,b23,b35,b47,nn,b99197,b100199

T1001357(197)199250100

17、10件产品中有2件不合格品，每次取一件，有放回地抽取三次，用表示取到不合格品的次数，求：（1）随机变量的分布列；

（2）三次中至少有一次取到不合格品的概率。 【解析】（1）解：（1）随机变量的取值为0，1，2，3

111C864C2C848312；P(1)C3(1)(1)； P(0)C(1)C10125C10C1012503111C2C812C21233；P(3)C3(1)。 P(2)C(1)(1)C10C10125C1012523分布列为：  P 0 1 2 3 64 12548 12512 1251 125（2）设A=｛三次中至少有一次取到不合格品｝，则A的对立事件A=｛三次中全部取到合格品｝，

646461，所以P(A)1 12512512561答：三次中至少有一次取到不合格品的概率为。

125x2,0x2,18、已知函数f(x)；（1）画出f(x)的图像；

6x,2x4（2）若f(m)2，求m的取值范围。

此时P(A)P(0)【解析】（1）解作图如右。抛物线部分描点如下：(0,0)、(0.5,0.25)、(1,1)、(1.5,2.25)、(2,4)，用光滑的曲线连接。线段部分描点如下：(2,4)、(4,2)，连接这两点间线段。

m22,0m2（2）解：由题意得：，所以有2m4

6m2,2m4故m的取值范围为[2,4]

19、如图在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，

ABBC1，ABC90，D为AC的中点； （1）证明：BD平面ACC1A1；

（2）若直线BA1与平面ACC1A1所成角为30，求三棱柱

ABCA1B1C1的体积。

【解析】（1）证明：因为ABBC1且D为AC的中点， 所以BDAC；因为AA1底面ABC，BD底面ABC，所以BDAA1。ACAA1A，所以BD平面ACC1A1。

（2）解：连DA1，因为BD平面ACC1A1，所以BA1在平面ACC1A1的射影为DA1，即直线BA1与DA1所成角为30。

在直角ABC中，所以BDDAABC90，ABBC1，在直角BDA1中，BDA190，BA1D30，BD2。 22，所以BA12。 2在直角BAA1中，BAA190，AB1,BA12，所以AA1211。

11111ABC的面积sABAC11，所以三棱柱的体积V三棱柱sh1。

222221即三棱柱ABCA1B1C1的体积为。

2x220、已知椭圆C：y21

2（1）求椭圆的离心率

（2）已知点M(1,0)，直线yx1与椭圆C交于A，B两点，求ABM的面积。 【解析】（1）解：由题可得：a2,b1，所以a离心率e22，ca2b2211。

c12 a22x2x22（2）解：将直线yx1与椭圆C：y1方程中得：(x1)21

222整理得：3x4x0

2设A、B坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)，则x1,x2满足方程3x4x0

422所以有x1x2,x1x20；又直线斜率k1，所以有|AB|1k(x1x2)4x1x2 3442112()240 33|Ax0By0C||1(1)101|2 点M(1,0)到直线xy10距离d2222AB1(1)所以ABM的面积sABM14242 233选做题：请在第21、22题中选做一题，若两题都作答，则只计第21题分，

请写清题号。

21、如图，在直角ABC中，ACB90,ABC60,BC2，M为ABC内一点，BMC90，且MC1。 （1）求AM的长；（2）求sinAMB的值。 【解析】（1）由BMC90，且MC1，，BC2得：BM3， MBC30。

90,ABC60,B，C所以在直角ABC中，ACBABM30，AB4

由余弦定理得：AMABBM2ABBMcosABM

222即AM4(3)243cos307，AM7 22247ABAM，即， sinAMBsin30sinAMBsinABM27所以sinAMB

7（2）由正弦定理得：

22、某企业生产A、B两种产品，生产一件A产品需要新型材料2千克，用3个工时；生产一件B产品需要新型材料1千克，用2个工时；生产一件A产品的利润为1600元，生产一件B产品的利润为1000元。现有新型材料200千克，问该企业在不超过360个工时的条件下，如何规划生产，才能使企业获得的总利润最大？并求出总利润的最大值。

【解析】解：设生产A、B产品分别为x,y件，可使企业获得的总利润z元，由题意得： 目标函数：z1600x1000y（元）

2xy200约束条件：3x2y360

x0y0作出可行域如右图。

当目标函数经过点A时，取得最大值。A点坐标由

2xy2003x2y360确定。求得A为(40,120) 所以z最大值1600401000120184000（元）

答：生产A、B产品分别为40,120件时，可使企业获得总利润最大，最大利润为184000元。

的