考试时间120分钟，满分150分．
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题正确的是( D ) 11
A．若a＞b，则＜
abC．若a＞b，则a·c2＞b·c2
B．若a＞b＞0，c＞d，则a·c＞b·d D．若a·c2＞b·c2，则a＞b
11
[解析] 由题意，对于选项A中，当a＞0＞b时，此时＞，所以A是错误的；对于选
ab项B中，当0＞c＞d时，此时不等式不一定成立，所以B是错误的；对于选项C中，当c＝0时，不等式不成立，所以C是错误的．
根据不等式的性质，可得若ac2＞bc2时，则a＞b是成立的，所以D是正确的．
x＋2
≤02．若集合A＝xx－1
，B＝{x|－1＜x＜2}，则A∩B＝( C )
A．{x|－2≤x＜2} C．{x|－1＜x＜1}
x＋2
[解析] 由题意，A＝{x|≤0}
x－1＝{x|－2≤x＜1}，B＝{x|－1＜x＜2}， 则A∩B＝{x|－1＜x＜1}．
B．{x|－1＜x≤1} D．{x|－1＜x＜2}
ba
3．设A＝＋，其中a，b是正实数，且a≠b，B＝－x2＋4x－2，则A与B的大小关系
ab是( B )
A．A≥B C．A＜B
B．A＞B D．A≤B
[解析] 因为a，b都是正实数，且a≠b， ba
所以A＝＋＞2ab
ba·＝2，即A＞2， ab
B＝－x2＋4x－2＝－(x2－4x＋4)＋2 ＝－(x－2)2＋2≤2， 即B≤2，所以A＞B．
- 1 -
21
4．已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，若不等式＋≥m恒成立，则m的最大值等于( B )
abA．10 C．8
2121
[解析] ＋＝(＋)(2a＋b)
abab2a2b
＝5＋＋≥5＋2
ba
2a2b·＝5＋4＝9， ba
B．9 D．7
1
当且仅当a＝b＝时，取得最小值9．所以m≤9．
3
5．若不等式4x2＋ax＋4＞0的解集为R，则实数a的取值范围是( D ) A．{a|－16＜a＜0} C．{a|a＜0}
B．{a|－16＜a≤0} D．{a|－8＜a＜8}
[解析] 不等式4x2＋ax＋4＞0的解集为R， 所以Δ＝a2－4×4×4＜0，解得－8＜a＜8， 所以实数a的取值范围是{a|－8＜a＜8}．
6．当x＞0时，不等式x2－mx＋9＞0恒成立，则实数m的取值范围是( A ) A．{m|m＜6} C．{m|m≥6}
B．{m|m≤6} D．{m|m＞6}
9
[解析] 当x＞0时，不等式x2－mx＋9＞0恒成立⇔当x＞0时，不等式m＜x＋恒成立x99
⇔m＜(x＋)min，当x＞0时，x＋≥2
xx所以m＜6．
7．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式S＝pp－ap－bp－c求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a＋b＝12，c＝8，则此三角形面积的最大值为( C )
A．45 C．85
[解析] 由题意，p＝10， S＝
1010－a10－b10－c＝
10－a＋10－b
2010－a10－b≤20·＝85，
2
B．415 D．815
99x·＝6(当且仅当x＝3时取“＝”)，因此(x＋)min＝6，xx
当且仅当a＝b＝6时取等号，所以此三角形面积的最大值为85．
- 2 -
8．设实数1＜a＜2，关于x的一元二次不等式x2－(a2＋3a＋2)x＋3a(a2＋2)＜0的解集为( B )
A．{x|3a＜x＜a2＋2} C．{x|3＜x＜4}
B．{x|a2＋2＜x＜3a} D．{x|3＜x＜6}
[解析] 原不等式可化为(x－3a)(x－a2－2)＜0． ∵1＜a＜2，
∴3a＞a2＋2，所以不等式的解集为{x|a2＋2＜x＜3a}．故选B．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)
1
－＜x＜2，则下列结论正确的是( BCD ) 9．已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为x2
A．a＞0 C．c＞0
B．b＞0 D．a＋b＋c＞0
12－＜x＜2，[解析] 因为不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为x故相应的二次函数f(x)＝ax2
1
＋bx＋c的图象开口向下，所以a＜0，故A错误；易知2和－是方程ax2＋bx＋c＝0的两个
2cb3
根，则有＝－1＜0，－＝＞0，又a＜0，故b＞0，c＞0，故BC正确；由二次函数的图象
aa2可知f(1)＝a＋b＋c＞0，f(－1)＝a－b＋c＜0，故D正确，故选BCD．
10．使不等式x2－x－6＜0成立的充分不必要条件是( AC ) A．－2＜x＜0 C．0＜x＜3
[解析] 由x2－x－6＜0得－2＜x＜3，
若使不等式x2－x－6＜0成立的充分不必要条件，则对应范围是{x|－2＜x＜3}的真子集，故选AC．
11．设a，b为非零实数，且a＜b，则下列不等式恒成立的是( CD ) A．a2＞ab 11C．2＜2
abab
B．a2＜b2 D．a3＜b3 B．－3＜x＜2 D．－2＜x＜4
[解析] 对于A，当a＝2，b＝3时，a＜b，但22＜2×3，故A中不等式不恒成立； 对于B，当a＝－2，b＝1时，a＜b，但(－2)2＞12，故B中不等式不恒成立；
- 3 -
11a－b
对于C，2－2＝＜0恒成立，故C中不等式恒成立；
ababab2
131
对于D，a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)[(a＋b)2＋b2]，∵a＜b，∴a－b＜0，又(a＋
2423
b)2＋b2＞0，∴a3＜b3，故D中不等式恒成立，故选CD．
4
12．设a、b是正实数，下列不等式中正确的是( BD ) 2ab
A．ab＞
a＋bC．a2＋b2＞4ab－3b2
2ab
B．a＞|a－b|－b 2
D．ab＋＞2
ab
2aba＋b
[解析] 对于A，ab＞⇒1＞⇒＞ab，当a＝b＞0时，不等式不成立，故
2a＋ba＋bA中不等式错误；对于B，a＋b＞|a－b|⇒a＞|a－b|－b，故B中不等式正确；对于C，a2＋b2＞4ab－3b2⇒a2＋4b2－4ab＞0⇒(a－2b)2＞0，当a＝2b时，不等式不成立，故C中不等式错2
误；对于D，ab＋≥22＞2，故D中不等式正确．
ab
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上) 1
13．若x∈{x|x＞1}，则y＝3x＋的最小值是__3＋23__．
x－111
[解析] ∵x＞1，∴x－1＞0，因此y＝3x＋＝3(x－1)＋＋3≥2
x－1x－1＝3＋23，
131
当且仅当3(x－1)＝，即x＝＋1时取等号，因此y＝3x＋的最小值是3＋23．
3x－1x－1
11
＜x＜，则a＝__－6__，c＝__－1__． 14．不等式ax2＋5x＋c＞0的解集为x23
1
3x－1·＋3
x－1
11
[解析] 由题意知a＜0，且不等式对应方程的两个根分别为，，根据根与系数的关系得
32
－a＝3＋2，c11a＝3×2，
511
a＝－6，解得
c＝－1．
15．已知命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1＞0为真命题，则实数a的取值范围是__[0,4)__．
a＞0
[解析] ①当a＝0时，1＞0对∀x∈R恒成立；②当a≠0时，则解得02－4a＜0Δ＝a
- 4 -
＜a＜4．
综上所述，实数a的取值范围是[0,4)．
x＋14
16．已知x＞0，y＞0，且4x＋y＝1，则＋的最小值为__17__．
xy
x＋141414y16x
[解析] ∵x＞0，y＞0，且4x＋y＝1，则＋＝1＋＋＝1＋(＋)(4x＋y)＝9＋＋xyxyxyxy≥9＋2y16x·＝17． xy
y16x11
当且仅当＝，即y＝4x且4x＋y＝1取等号，此时x＝，y＝．
xy82
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知不等式ax2－3x＋6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}． (1)求a，b的值；
(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0．
[解析] (1)因为不等式ax2－3x＋6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}， 所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，b＞1且a＞0．
由根与系数的关系，得2
1×b＝，a
即(x－2)(x－c)＜0．
31＋b＝，
a
a＝1，解得
b＝2．
(2)由(1)知不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0可化为x2－(2＋c)x＋2c＜0，
当c＞2时，不等式(x－2)(x－c)＜0的解集为{x|2＜x＜c}； 当c＜2时，不等式(x－2)(x－c)＜0的解集为{x|c＜x＜2}； 当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)＜0的解集为∅．
18．(本小题满分12分)(1)若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，求xy的最小值． x2＋7x＋10
(2)求函数y＝(x＞－1)的最小值．
x＋1[解析] (1)xy＝2x＋y＋6≥22xy＋6， 令xy＝t2，可得t2－22t－6≥0．
又∵t＞0，解得t≥32，故xy的最小值为18．
- 5 -
(2)设x＋1＝t，则x＝t－1(t＞0)， t－12＋7t－1＋104∴y＝＝t＋＋5≥2tt
4t·＋5＝9． t
4
当且仅当t＝，即t＝2，且此时x＝1时，取等号，
t∴ymin＝9．
19．(本小题满分12分)(2021·天津高一联考)已知关于x的不等式ax2－3x＋2＞0(a＜0)． (1)当a＝－5时，求此不等式的解集；
(2)求关于x的不等式ax2－3x＋2＞－ax＋5的解集． [解析] (1)当a＝－5时，－5x2－3x＋2＞0， 即5x2＋3x－2＜0， 可化为(5x－2)(x＋1)＜0， 2解得－1＜x＜，
5
2
所以不等式的解集为{x|－1＜x＜}．
5
(2)不等式ax2－3x＋2＞－ax＋5可化为ax2＋ax－3x－3＞0，即(ax－3)(x＋1)＞0． 3
a＜0，不等式为(x－)(x＋1)＜0．
a3
①当a＜－3时，＞－1，
a3
不等式的解集为{x|－1＜x＜}；
a
3
②当a＝－3时，＝－1，不等式的解集为∅；
a3
③当－3＜a＜0时，＜－1，
a3
不等式的解集为{x|＜x＜－1}．
a
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－2x－8，g(x)＝2x2－4x－16， (1)求不等式g(x)＜0的解集；
(2)若对一切x＞2，均有f(x)≥(m＋2)x－m－15成立，求实数m的取值范围． [解析] (1)g(x)＝2x2－4x－16＜0， 所以(2x＋4)(x－4)＜0，所以－2＜x＜4，
- 6 -
所以不等式g(x)＜0的解集为{x|－2＜x＜4}． (2)因为f(x)＝x2－2x－8，
当x＞2时，f(x)≥(m＋2)x－m－15恒成立， 所以x2－2x－8≥(m＋2)x－m－15， 即x2－4x＋7≥m(x－1)． 因为对一切x＞2，均有不等式
x2－4x＋7x－1
≥m成立，而
x2－4x＋7x－1
＝(x－1)＋
4x－1
－
2≥24
x－1×－2＝2(当且仅当x＝3时等号成立)，
x－1
所以实数m的取值范围是{m|m≤2}．
21．(本小题满分12分)已知某公司生产某款手机的年固定成本为400万元，每生产1万部还需另投入160万元．设公司一年内共生产该款手机x(x≥40)万部并且全部销售完，每万部的收入为R(x)万元，且R(x)＝
74 000400 000
－． xx2
(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(万部)的函数关系式；
(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
[解析] (1)由题意，可得年利润W关于年产量x的函数关系式为W＝xR(x)－(160x＋400) 74 000400 000
＝x(－)－(160x＋400)
xx2400 000＝74 000－－160x－400
x400 000
＝73 600－－160x(x≥40)．
x400 000
(2)由(1)可得W＝73 600－－160x
x≤73 600－2
400 000·160x x
＝73 600－16 000＝57 600，
400 000
当且仅当＝160x，即x＝50时取等号，所以当年产量为50万部时，公司在该款手
x机的生产中取得最大值57 600万元．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2＋mx＋n(m，n∈R)．
- 7 -
(1)若m＋n＝0，解关于x的不等式f(x)≥x(结果用含m式子表示)；
(2)若存在实数m，使得当x∈{x|1≤x≤2}时，不等式x≤f(x)≤4x恒成立，求负数n的最小值．
[解析] (1)由题得：x≤x2＋mx－m，即(x＋m)(x－1)≥0； ①m＝－1时可得x∈R；
②m＜－1时，－m＞1，可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥－m}； ③m＞－1时，－m＜1，
可得不等式的解集为{x|x≤－m或x≥1}． (2)x∈{x|1≤x≤2}时，x≤x2＋mx＋n≤4x恒成立， 即为1≤x＋n
x
＋m≤4对x∈{x|1≤x≤2}恒成立，
即存在实数m，使得－x－nx＋1≤m≤－x－n
x＋4对x∈{x|1≤x≤2}恒成立，
所以(－x－nx＋1)max≤m≤(－x－n
x＋4)min，
即(－x－nx＋1)max≤(－x－n
x＋4)min．
由y＝－x－n
x
(n＜0)在[1,2]上递减，
所以－n≤2－n
2，即n≥－4，所以负数n的最小值为－4．
- 8 -
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