2.2 基本不等式
【素养目标】
1．了解基本不等式的代数和几何背景．(数学抽象) 2．理解并掌握基本不等式及其变形．(逻辑推理)
3．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．(数学运算)
4．会用基本不等式进行代数式大小的比较及证明不等式．(逻辑推理) 5．会用基本不等式求最值问题和解决简单的实际问题．(数学运算) 【学法解读】
1．本节学习时，学生先复习完全平方公式(a－b)2＝a2－2ab＋b2，由(a－b)2≥0可得a2－2ab＋b2≥0，即a2＋b2≥2ab．然后以a，b分别代替a，b推得基本不等式，从代数观点认识基本不等式．
2．借助教材“探究”中的问题，使学生从几何角度认识基本不等式．
3．重点掌握应用基本不等式求最值的前提条件，通过具体实例强化公式的应用技巧．
第1课时 基本不等式
必备知识·探新知
基础知识
知识点1 重要不等式与基本不等式
思考1：(1)基本不等式中的a，b只能是具体的某个数吗？ (2)基本不等式成立的条件“a，b＞0”能省略吗？请举例说明． 提示：(1)a，b既可以是具体的某个数，也可以是代数式． －3＋－4
(2)不能，如≥
2
－3×－4是不成立的．
知识点2 基本不等式与最值
已知x，y都为正数，则
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s2
(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值____．
4(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值__2p__． 思考2：应用基本不等式求最值的关键是什么？
提示：依定值去探求最值，探求的过程中常需依具体的问题进行合理的拆、凑、配等变换．
基础自测
1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)
a＋b
(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥ab成立的条件是相同的．( × )
2(2)当a＞0，b＞0时，a＋b≥2ab．( √ ) a＋b2
(3)当a＞0，b＞0时，ab≤()．( √ )
21
(4)函数y＝x＋的最小值是2．( × )
x
a＋b
[解析](1)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；不等式≥ab成立的条件是a＞0，
2b＞0．
(2)基本不等式的变形公式． (3)基本不等式的变形公式． 1
(4)当x＜0时，x＋是负数．
x2．下列不等式正确的是( C ) 1
A．a＋≥2
a1
C．a2＋2≥2
a
1
B．(－a)＋(－)≤－2
a1
D．(－a)2＋(－)2≤－2
a
3．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是__a＝1__． 1
4．已知x＞0，求x＋的最小值．
x1
[解析]因为x＞0，所以x＋≥2
x
1x·＝2， x
1
当且仅当x＝，即x2＝1，x＝1时，等号成立，因此所求的最小值为2．
x
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关键能力·攻重难
题型探究
题型一 利用基本不等式判断命题真假
例1 (1)下列不等式一定成立的是( C ) A．
1x2＋＞x(x＞0)
4
1
B．x＋≥2(x≠0)
xD．
＞1(x∈R) x2＋11
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
(2)设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是( B ) A．a＜b＜ab＜
a＋b
2
B．a＜ab＜
a＋b
＜b 2
a＋b
C．a＜ab＜b＜
2a＋b
D．ab＜a＜＜b
2
111
[解析](1)选项A中，x2＋≥x(当且仅当x＝时，x2＋＝x)，故选项A不正确；选项B中，
42411
x＋≥2(x＞0)，x＋≤－2(x＜0)，故选项B不正确；选项C中，x2－2|x|＋1＝(|x|－1)2≥0(x∈xxR)，故选项C正确；选项D中，x2＋1≥1，则0＜
≤1，故选项D不正确．
x2＋11
a＋b
(2)解法一：∵0＜a＜b，∴a＜＜b，排除A，C两项，又ab－a＝a(b－a)＞0，即
2ab＞a，排除D项，故选B．
a＋ba＋b
解法二：取a＝2，b＝8，则ab＝4，＝5，所以a＜ab＜＜b．
22【对点练习】❶ 若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是( D ) A．a2＋b2＞2ab 112
C．＋＞
ababB．a＋b≥2ab ba
D．＋≥2
ab
[解析]对于A，若a＝b时，a2＋b2＝2ab，则A中的不等式不恒成立．当a＜0，b＜0时，选项B，C不成立，故选D．
题型二 利用基本不等式求最值
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12
例2 (1)当x＞0时，求＋4x的最小值；
x12
(2)当x＜0时，求＋4x的最大值；
x
a
(3)已知4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，求a的值．
x12
[解析](1)∵x＞0，∴＞0,4x＞0．
x12
∴＋4x≥2x
12·4x＝83． x
12
当且仅当＝4x，即x＝3时取最小值83，
x12
∴当x＞0时，＋4x的最小值为83．
x(2)∵x＜0，∴－x＞0． 则
＋(－4x)≥2－x12
·－4x＝83， －x12
12
当且仅当＝－4x时，即x＝－3时取等号．
－x12
∴＋4x≤－83． x
12
∴当x＜0时，＋4x的最大值为－83．
xa
(3)4x＋≥2
x
a4x·＝4a， x
a
当且仅当4x＝，即a＝4x2＝36时取等号，∴a＝36．
x[归纳提升]在利用基本不等式求最值时要注意三点
一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备．
32【对点练习】❷ (1)若0＜x＜1，则x3－2x的取值X围是__(0，]__；
411
(2)已知a＞0，b＞0，＋＝4，则a＋b的最小值为__1__．
ab[解析](1)由0＜x＜1知3－2x＞0，
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故
112x＋3－2x323
x3－2x＝·2x3－2x≤·＝，当且仅当x＝时，上式等号成立．
24422
x3－2x≤
32
． 4
所以0＜
1111
(2)由＋＝4，得＋＝1．
ab4a4b
111ba1所以a＋b＝(＋)(a＋b)＝＋＋≥＋2
4a4b24a4b2题型三 利用基本不等式证明不等式
a2b2c2
例3 已知a，b，c＞0，求证：＋＋≥a＋b＋c．
bca
a2b2c2a2b2
[解析]∵a，b，c＞0，∴利用基本不等式可得＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，∴＋＋
bcabcc2a2b2c2
＋a＋b＋c≥2a＋2b＋2c，故＋＋≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时，等号成立． abca
[归纳提升]利用基本不等式证明不等式的思路
利用基本不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之转化为能使用基本不等式的形式；若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换，另外，解题时要时刻注意等号能否取到．
111
【对点练习】❸ 已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，证明：＋＋≥9．
abc111a＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c[解析]＋＋＝＋＋
abcabcbacacb＝3＋(＋)＋(＋)＋(＋)
abacbc≥3＋2＋2＋2＝9．
1
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
3
课堂检测·固双基
1．下列不等式成立的是( A ) a2＋b2
A．ab≤
2
a2＋b2
B．ab≥
2
ba1×＝1．当且仅当a＝b＝时取等号． 4a4b2
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C．a＋b≥2ab D．a＋b≤2ab
a2＋b2
[解析]a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以a2＋b2≥2ab，即≥ab．
22．设a＞b＞0，则下列不等式中一定成立的是( C ) A．a－b＜0 a＋b
C．ab＜
2
a＋b
[解析]由基本不等式知ab≤，
2a＋b
∵a＞b＞0，∴ab＜，故选C．
2
3．对于任意正数a，b，A是a，b的算术平均数，G是a，b的几何平均数，则A与G的大小关系是__A≥G__．
4．已知x＞0，y＞0，且xy＝100，则x＋y的最小值为__20__． [解析]x＋y≥2xy＝2100＝20(当且仅当x＝y＝10时取等号)． a＋b2
5．已知a，b∈R，求证：ab≤()．
2a＋ba2＋2ab＋b2
[证明]∵()2－ab＝－ab
24a2－2ab＋b2a－b2
＝＝≥0，
44a＋b
∴()2≥ab，
2a＋b
即ab≤()2．
2
a
B．0＜＜1
bD．ab＞a＋b
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