双曲线及其标准方程教案

双曲线及其标准方程（第一课时）

教学目标：

1．掌握双曲线的定义，能说出其焦点、焦距的意义；

2．能根据定义，按照求曲线方程的步骤推导出双曲线的标准方程，熟练掌握两类标准方程；

3．能解决较简单的求双曲线标准方程的问题；

4．培养学生观察、分析、归纳和逻辑推理能力。

教学重点：双曲线的定义和标准方程。

教学难点：双曲线标准方程的推导过程。

教学过程：

一、创设情景，引入新课：

师：我们先来思考这样一个问题：（打开几何画板）已知定点F1(1,0)和F2(1,0)，定圆C1的圆心为F1，且半径为r，动圆C2过定点F2，且与定圆相切。

（1）若r4，试求动圆圆心的轨迹；（2）若r1，试求动圆圆心的轨迹。

（教师结合几何画板演示分析）：

师：当r4时，我们得到的轨迹是什么？

生：是椭圆。

师：为什么？

生：因为当r4时动圆C2内切于定圆C1，所以两个圆的圆心距MF1满足MF1MF1MF244MF2，移项后可以得到：

满足椭圆的定义，所以得到的轨迹是一个以F1、F2为定点，4为定长的椭圆。

师：很好。那么，当r1呢，此时动圆C2与定圆C1相切有几种情况？

生：有两种情况：内切和外切。

师：我们先来考察两圆外切时的情况（演示），我们得到的轨迹满足什么条件？

生（同时教师板书）：由于两圆外切，所以两个圆的圆心距MF1满足

MF11MF2，移项后可以得到：MF1MF21。(教师演示轨迹)

师：我们再来考察两圆内切时的情况（演示），我们得到的轨迹又满足什么条件？

生（同时教师板书）：由于两圆内切，所以两个圆的圆心距MF1满足

MF1MF21，移项后可以得到：MF1MF21。(教师演示轨迹)

师（同时演示两种情况下的轨迹）：我们可以得到与定圆相切且过定点的动圆的圆心满足MF1MF1MF21MF21即

，圆心的轨迹我们称之为双曲线。

二、新课讲解：

1、定义给出

师：今天我们来学习双曲线。同学们能否结合刚才的问题给双曲线下个一般定义？

生：双曲线是到平面上两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。

师：由椭圆的定义，一般情况下，我们设该常数为2a。那么什么情况下表示的是双曲线的右支，什么情况下表示的是双曲线的左支？

生：当MF1MF22a时，表示的是双曲线的右支，当MF1MF22a时，表示的是双曲线的左支。

2、定义探究

（教师引导学生分情况讨论）：

师：这个常数2a有没有限制条件？

生：有。这个常数2a要比焦距F1F2小。

师：很好。为什么要有这个限制条件呢？其他情况会是怎样的呢？我们一起来分析一下：

（1）若a=0，则有MF1MF20即MF1MF2，此时轨迹为线段F1F2的中垂线；

（2）若2a=F1F2,则有MF1点的两条射线；

MF2F1F2，此时轨迹为直线F1F2上除去线段F1F2中间部分，以F1、F2为端

（3）若2a>F1F2,则根据三角形的性质，轨迹不存在。

3、双曲线标准方程的推导过程：

师：我们学过求曲线的方程的一般步骤，现在我们一起根据定义求双曲线的标准方程。（师生互动，共同推导之）

第一步：建立直角坐标系；

第二步：设点：设M(x，y)，焦点分别为F1(c,0)和F2(c,0)，M到焦点的距离差的绝对值等于2a；

第三步：启发学生根据定义写出M点的轨迹构成的点集：

PMMF1MF22a；

；

第四步：建立方程：

(xc)2y2(xc)2y22ax2第五步：化简，得到a2y2b21(a0,b0)

x2教师强调：我们得到了焦点在x这里c22轴上，且焦点是F1(c,0)和F2(c,0)的双曲线标准方程为ay2b21(a0,b0)，

a2b2

师：那么如果焦点在y轴上呢？（学生练习）

y2生（练习后）：此时的标准方程应该是a2x2b21(a0,b0)。

4．双曲线标准方程的探讨：

师：刚才我们共同推导了双曲线的标准方程。请同学想一下，双曲线标准方程中字母a、b、c的关系如何？是不是ab？

生：a、b、c满足等式c2a2b2，所以有a2c2b2，可以得到a,bc，但不能判断ab。

师：很好。我们在求双曲线标准方程过程中还发现，确定焦点对求双曲线方程很重要。那么如何根据方程判定焦点在哪个坐标轴上呢？

x2生：由于焦点在x轴和y2轴上标准方程分别为ay2b21y22和ax2b21，我们发现焦点所在轴相关的未知数

的分母总是a，所以可以由a来判定。

师：很好。如果我们知道的方程是

x2y2132，那么你如何寻找

a？

生：因为a所在的这一项未知数的系数是正的，所以只要找正的系数就可以了。

师：如果方程是

x2y2132呢？

生：先化成标准方程。

师：请同学总结一下。

生：化标准，找正号。

5．运用新知：

【练习】已知方程

y2x219m1表示双曲线，则

m的取值范围是__________，此时双曲线的焦点坐标是

________________，焦距是________________；

【变式】若将9改成2m，则m的取值范围是________________________。

【例1】已知双曲线两个焦点的坐标为F1(5,0)、F2(5,0)，双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。

解：因为双曲线的焦点再x轴上，所以设它的标准方程为

x2

a2y2b21(a0,b0)，

因为2a=6，2c=10，所以a=3，c=5。

所以b2523216，

所以所求双曲线的标准方程为

x2y21916。

【变式】已知两个定点的坐标为F1(5,0)、F2(5,0)，动点P到F1、F2的距离的差等于6，求P点的轨迹方程。

x2 解：因为

PF1PF26，所以P的轨迹是双曲线的右支，设双曲线标准方程为a2y2b21(a0,b0)，

因为2a=6，2c=10，所以a=3，c=5。

所以b2523216，

所以所求P点的轨迹方程为

x2y21(x3)916。

【例2】已知双曲线的焦点在y标准方程。

9(3,42)、(,5)4，求双曲线的轴上，并且双曲线上两点P1、P2的坐标分别为

解：因为双曲线的焦点在y轴上，所以设所求双曲线的标准方程为

y2a2x2b21(a0,b0)，

因为点P1、P2在双曲线上，所以点P1、P2的坐标适合方程，代入得：

(42)232212ab292a1642521b29ba2可解得：。

y2x21169所以所求双曲线得标准方程为：。

9(3,42)、(,5)4，求双曲线【变式】已知双曲线的焦点在坐标轴上，并且双曲线上两点P1、P2的坐标分别为

的标准方程。（分情况讨论）

【练习】（1）ABC一边两个端点是B(0,6)和C(0,6)，顶点A满足

ABAC8， 求A的轨迹方程。

4 （2）ABC一边的两个端点是B(0,6)和C(0,6)，另两边所在直线的斜率之积是9，求顶点

A的轨迹。

三、本课小结：

师：我们总结一下本节课我们学了什么？

生：1、双曲线的定义；2、双曲线标准方程推导过程；3、运用已有知识解决一些简单的问题。

四、作业：

课本P108：2、3、4

问题：一炮弹在M处爆炸，在F1、F2处听到爆炸声。已知两地听到爆炸声的时间差为2s，又知两地相距800m，并且此时的声速为340m/s，那么M点一定在哪条曲线上？