一、培优题易错题
1．观察下列一组图形：它们是按照一定规律排列的，依照此规律，第个图形中共有________个“★”.
【答案】（3n＋1）
【解析】【解答】解：①为4个★，②为7个★，③ 为10个★，④为13个★， 通过观察，可得第n个图形为（3n＋1）个★. 故答案为：（3n＋1）
【分析】观察图形，先写出①②③④的★的个数，通过找规律，写出第n个图形中的★个数。
2．对于实数a、b，定义运算：a▲b=
；如：2▲3=2
﹣
3= ，
4▲2=42=16．照此定义的运算方式计算[2▲（﹣4）]×[（﹣4）▲（﹣2）]=________． 【答案】1
【解析】【解答】解：根据题意得：2▲（﹣4）=24=
2=16，
﹣
，（﹣4）▲（﹣2）=（﹣4）
则[2▲（﹣4）]×[（﹣4）▲（﹣2）]= ×16=1， 故答案为：1
【分析】先利用定义计算括号中的值，再进行计算即可.在利用新运算的时候需要先判断两个数的大小关系，根据其选择算式.
3．某儿童服装店老板以32元的价格买进30件连衣裙，针对不同的顾客，30件连衣裙的售价不完全相同，若以45元为标准，将超过的钱数记为正，不足的钱数记为负，记录结果如下表：
售出件数 7 6 3 5 4 5 售价（元） +2 +2 +1 0 ﹣1 ﹣2 请问，该服装店售完这30件连衣裙后，赚了多少钱？
【答案】解：由题意可得，该服装店在售完这30件连衣裙后，赚的钱数为： （45-32）×30+[7×2+6×2+3×1+5×0+4×（-1）+5×（-2）] =13×30+[14+12+3+（-4）+（-10）] =390+15
=405（元），
即该服装店在售完这30件连衣裙后，赚了405元
【解析】【分析】根据表格计算售出件数与售价积的和，再以45元为标准32元的价格买进30件，求出差价，计算即可.
4．用“⊕”定义一种新运算：对于有理数a和b，规定a⊕b=2a+b，如1⊕3=2×1+3=5 （1）求2⊕（﹣2）的值； （2）若[（
）⊕（﹣3）]⊕ =a+4，求a的值．
【答案】（1）解：原式=2×2+（﹣2）=2 （2）解：根据题意可知： 2[（a+1）+（﹣3）]+ =a+4， 2（a﹣2）+ =a+4， 4（a﹣2）+1=2（a+4）， 4a﹣8+1=2a+8， 2a=15， a= .
【解析】【分析】（1）根据定义的新运算，进行计算。（2）根据题目中定义的新运算，写出算式，计算出a的值
5．纽约、悉尼与上海的时差如下表（正数表示同一时刻比上海时间早的时数，负数表示同一时刻比上海晚的时数）： 城市 悉尼 纽约 时差/时 +2 -12 （1）当上海是10月1日上午10时，悉尼时间是________.
（2）上海、纽约与悉尼的时差分别为________（正数表示同一时刻比悉尼时间早的时数，负数表示同一时刻比悉尼晚的时数）.
（3）王老师2018年9月1日，从纽约Newwark机场，搭乘当地时间上午10:45的班机，前往上海浦东国际机场，飞机飞行的时间为14小时55分钟，问飞机降落上海浦东国际机场的时间. 【答案】（1）12
（2）-2，-14
（3）解：10时45分+14时55分+12时=37时40分.
故飞机降落上海浦东国际机场的时间为2018年9月2日下午1:40
【解析】【解答】（1）10+（+2）=12时，即当上海是10月1日上午10时，悉尼时间是12时.
（ 2 ）12-10=2； -12-2=-14；
故上海、纽约与悉尼的时差分别为-2，-14.
【分析】（1）根据表格得到悉尼时间是10+（+2）；（ 2 ）由表格得到上海与悉尼的时差是2，纽约与悉尼的时差-12-2；（3）根据题意得到10时45分+14时55分+12时，得到飞机降落上海浦东国际机场的时间.
6．在浓度为
的盐水中加入一定量的水，则变为浓度
.求 .
的新溶液.在这种新溶液中加入
与前次加入的水量相等的盐，溶液浓度变为
【答案】 解：设原来的盐水为100克，加入的水（或盐）重a克。
x=10+0.1a
因为：
x+a=30+0.6a 则：10+0.1a+a=30+0.6a 1.1a-0.6a=30-10 0.5a=20
a=40 所以x=30+0.6×40-40=14 答：x的值是14。
【解析】【分析】 设原来的盐水为100克，加入的水或（盐）重a克，根据混合后的浓度是10%列出一个方程，化简这个方程得到x与a的关系。然后根据加入盐后的浓度是30%列出另一个方程，把这个方程中x的值代换成a，解方程求出a的值，进而求出x的值。
7．有甲、乙、丙三个容器，容量为毫升．甲容器有浓度为 有清水
毫升；丙容器中有浓度为
的盐水
一半倒入乙容器搅匀后，再把乙容器中的盐水 【答案】 解：列表如下： 开始 甲 浓度 乙 溶液 浓度 溶液 的盐水
毫升；乙容器中 毫升倒入丙容
毫升．先把甲、丙两容器中的盐水各 毫升倒入甲容器，
器．这时甲、乙、丙容器中盐水的浓度各是多少？
第一次 第二次 开始 第一次 第二次 丙 浓度 溶液 答：这时甲容器盐水浓度是27.5%，乙容器中浓度为15%，丙容器中浓度为17.5%。 【解析】【分析】在做有关浓度的应用题时，为了弄清楚溶质质量、溶液质量的变化，尤其是变化多次的，常用列表的方法，使它们之间的关系一目了然。浓度=盐的质量÷盐水质量×100%，盐的质量=盐水质量×浓度。
8．一项工程，甲、乙合作
小时可以完成，若第 小时甲做，第 小时乙做，这样交替
轮流做，恰好整数小时做完；若第 小时乙做，第 小时甲做，这样交替轮流做，比上次轮流做要多 小时，那么这项工作由甲单独做，要用多少小时才能完成？ 【答案】 解：乙的工作效率是甲的：工作效率和：甲的工作效率：
，
，
，
甲独做的时间：1÷=21（小时）。
答：这项工作由甲单独做，要用21小时才能完成。
【解析】【分析】 若第一种做法的最后一小时是乙做的，那么甲、乙共做了偶数个小时，那么第二种做法中甲、乙用的时间应与第一种做法相同，不会多 小时，与题意不符．所以第一种做法的最后一小时是甲做的，第二种做法中最后 小时是甲做的，而这 小时之前的一小时是乙做的，这样就能求出乙的工作效率是甲的。用1除以合做的时间即可求出
工作效率和，然后根据分数除法的意义，用工作效率和除以（1+）即可求出甲的工作效率，进而求出甲独做完成需要的时间。
9．一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成．若甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，……，两人如此交替工作，请问：完成任务时，共用了多少小时？
【答案】 解：①若甲、乙两人合作共需多少小时？
（小时），
②甲、乙两人各单独做7小时后，还剩多少？
，
③余下的 由甲独做需要多少小时？
（小时），
④共用了多少小时？
（小时）。
答：共用了
小时。
【解析】【分析】在工程问题中，转换条件是常用手法．本题中，甲做1小时，乙做1小时，相当于他们合作1小时，也就是每2小时，相当于两人合做1小时。这样先算一下一共进行了多少个这样的2小时，余下部分问题就好解决了。
10．蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管需 小时，单开丙管需要 小时，要排光一池水，单开乙管需要 小时，单开丁管需要 小时，现在池内有 的水，若按甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁……的顺序轮流打开 小时，问多少时间后水开始溢出水池？
【答案】 解： 甲乙丙丁顺序循环各开1小时可进水： 循环5次后还空的水量：
，
，
这项水量要甲注需要：
（小时），
溢出的时间：4×5+答：
（小时）。
小时后水开始溢出水池。
【解析】【分析】四根水管交替循环开关，每个循环的进水量是 ， 每个循环4个水管各开1小时，共开4小时。开5个循环后水池的水距离溢出还需要的水量，这部分水量该甲来灌水，用这部分水量除以甲的工作效率即可求出注满这部分需要的时间，然后再加上5个循环需要的时间即可。
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