一、培优题易错题
1．股民老黄上星期五买进某股票1000股，每股35元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（单位：元）（注：用正数记股价比前一日上升数，用负数记股价比前一日下降数） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 +2.4 ﹣0.8 ﹣2.9 +0.5 +2.1 （1）星期四收盘时，每股是多少元？
（2）本周内最高价是每股多少元？最低价每股多少元？
（3）根据交易规则，老黄买进股票时需付0.15%的手续费，卖出时需付成交额0.15%的手续费和0.1%的交易税，如果老黄在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 【答案】（1）解： 星期 每股涨跌 实际股价 一 +2.4 37.4 二 ﹣0.8 36.6 三 ﹣2.9 33.7 四 +0.5 34.2 五 +2.1 36.3 星期四收盘时，每股是34.2元
（2）解：本周内最高价是每股37.4元，最低价每股33.7元
（3）解：买入总金额=1000×35=35000元；买入手续费=35000×0.15%=52.5元； 卖出总金额=1000×36.3=36300元；卖出手续费=36300×0.15%=54.45元； 卖出交易税=36300×0.1%=36.3元；
收益=36300﹣（35000+52.5+54.45+36.3）=1156.75元
【解析】【分析】（1）根据表中的数据，列式计算，就可求出星期四收盘时每股的价格。 （2）根据表中的数据，先求出每天收盘时的每股的价格，从而就可得出本周内最高价股价和最低股价。
（3）根据题意分别求出买入总金额、买入手续费、卖出总金额、卖出手续费、卖出交易税，再求出收益，就可得出答案。
2．如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着-5，-2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等.
（1）求前4个台阶上数的和是多少？ （2）求第5个台阶上的数 是多少？ （3）应用 求从下到上前31个台阶上数的和．
发现 试用含k（k为正整数）的式子表示出数“1”所在的台阶数． 【答案】（1）解：由题意得前4个台阶上数的和是-5-2+1+9=3
（2）解：由题意得-2+1+9+x=3， 解得：x=-5，
则第5个台阶上的数x是-5
（3）解：应用：由题意知台阶上的数字是每4个一循环， ∵31÷4=7…3， ∴7×3+1-2-5=15，
即从下到上前31个台阶上数的和为15； 发现：数“1”所在的台阶数为4k-1
【解析】【分析】（1）由台阶上的数求出台阶上数的和即可；（2）根据题意和（1）的值，求出第5个台阶上的数x的值；（3）根据题意知台阶上的数字是每4个一循环，得到从下到上前31个台阶上数的和，得到数“1”所在的台阶数为4k-1.
3．规定两数a，b之间的一种运算，记作(a，b)：如果 例如：因为23=8，所以(2，8)=3．
（1）根据上述规定，填空：（3，27）=________，（5，1）=________，（2， ）=________．
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n ， 4n）=（3，4）小明给出了如下的证明：
设（3n ， 4n）=x，则（3n）x=4n ， 即（3x）n=4n ， 所以3x=4，即（3，4）=x， 所以（3n ， 4n）=（3，4）．
请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：(3，4)+(3，5)=(3，20) 【答案】（1）3；0；-2
，那么(a，b)=c．
（2）解：设（3，4）=x，（3，5）=y，则 （3，20）=x+y ， ∴(3，4)+(3，5)=(3，20)
， =5，∴ ，∴
【解析】（1）∵33=27，50=1，2-2= ，∴（3，27）=3，（5，1）=0，（2， ）=-2． 故答案依次为：3，0，-2
【分析】根据新定义的运算得到幂的运算规律，由幂的运算规律得到相等的等式.
4．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB=14，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t>0）秒。
（1）写出数轴上点B表示的数 ________，点P表示的数________（用含t的代数式表示）；
（2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？
（3）若M为AP的中点，N为PB的中点．点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长； （4）若点D是数轴上一点，点D表示的数是x，请你探索式子|x+6|+|x-8|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】（1）-6；8-5t
（2）解：设点P运动x秒时，在点C处追上点Q（如图）
则AC=5x，BC=3x， ∵AC-BC=AB ∴5x-3x=14 解得：x=7，
∴点P运动7秒时，在点C处追上点Q
（3）解：没有变化．分两种情况： ①当点P在点A、B两点之间运动时：
MN=MP+NP= AP+ BP= （AP+BP）= AB=7 ②当点P运动到点B的左侧时：
MN=MP-NP= AP- BP= （AP-BP）= AB=7 综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为7
（4）解：式子|x+6|+|x-8|有最小值，最小值为14．
【解析】【解答】解：（1）点B表示的数是-6；点P表示的数是8-5t， 【分析】（1）点B表示的数是-6；点P表示的数是8-5t，
【分析】（1）根据点A的坐标和AB之间的距离即可得出B点的坐标和P点的坐标； （2）设点P运动x秒时，在点C处追上点Q，则AC=5x，BC=3x，根据距离的差为14列出方程即可求解；
（3）分类讨论：①当点P在点A、B两点之间运动时，根据MN=MP+NP进行计算即可；②当点P运动到点B的左侧时，根据MN=MP-NP计算即可；
（4）分三种情况去绝对值符号：x8时，原式=x+6+x-8=2x-214; -6x=x+6+8-x=14; x
-6时，原式=-x-6-x+8=-2x+2
14，综上所述得出最小值。
8时，原式
5．炒股员小李上星期日买进某公司股票1000股，每股28元，下表为本周内该股票的涨跌情况（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 六 每股涨跌 +4 -6 -1 -2．5 ＋4．5 +2 （1）星期四收盘时，每股是多少钱？ （2）本周内最高价和最低价各是多少钱？
（3）已知小李买进股票时付了1．5‰的手续费（a‰表示千分之a），卖出时需付成交额1．5‰的手续费和1‰的交易税，如果他在周六收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？
【答案】（1）解：由上表可得：28+4-6-1-2．5=22．5元 ∴星期四收盘时，每股是22．5元
（2）解：由题意得：星期一股价最高，为28+4=32元 星期四股价最低，由（1）知22．5元 ∴本周内股价最高为32元，最低为22．5元
（3）解：由题意得：买入时交易额为 28×1000=28000元 买入手续费为 28000×1．5‰=42元
卖出时交易额为29×1000=29000元 卖出手续费和交易税共29000×（1．5‰+1‰）=72．5元
总收益=29000-28000-（42+72．5）=885．5元
因此，如果小李在周六收盘前将全部股票卖出，他将收益885．5元
【解析】【分析】（1）由表格可知星期四收盘价格=28+4-6-1-2．5，计算可求得；
（2）分别算出这几天的股市价格，比较可得答案；
（3）分别算出买入时交易额、买入手续费、卖出时交易额、卖出手续费和交易税，则总收益=卖出时交易额-买入时交易额-买入手续费-卖出手续费和交易税，代入计算可得.
6． 、 、 三瓶盐水的浓度分别为
、
、
，它们混合后得到
克浓度为
的盐水．如果 瓶盐水比 瓶盐水多 克，那么 瓶盐水有多少克？
【答案】 解：设C瓶盐水有x克，则B瓶盐水为（x+30）克，A瓶盐水为100-（x+x+30）=70-2x克。
（70-2x）×20%+（x+30）×18%+16%x=100×18.8% 14-0.4x+0.18x+5.4+0.16x=18.8 0.06x=19.4-18.8
x=0.6÷0.06 x=10 70-2×10=50（克） 答：A瓶盐水有50克。
【解析】【分析】设C瓶盐水有x克，则B瓶盐水为（x+30）克，A瓶盐水为100-（x+x+30）=70-2x克。等量关系：A瓶中盐的重量+B瓶中盐的重量+C瓶中盐的重量=混合后盐的总重量。根据等量关系列方程求出x的值，进而求出A瓶盐水的重量。
7．规定两人轮流做一个工程，要求第一个人先做1个小时，第二个人接着做一个小时，然后再由第一个人做1个小时，然后又由第二个人做1个小时，如此反复，做完为止．如果甲、乙轮流做一个工程需要
小时，而乙、甲轮流做同样的工程只需要
小时，那乙
单独做这个工程需要多少小时？
【答案】 解：1-0.6=0.4（小时），1-0.8=0.2（小时），甲工作2小时相当于乙1小时的工作量，
9.8-5+5÷2=7.3（小时）
答：乙单独做这个工程需要7.3小时。
【解析】【分析】两队交替做工程，两种情况下做到最后剩下的工作量是相同的，两次需要的时间不同，是因为一种情况剩下的工作量是甲做的，另一种情况是剩下的工作量是乙做的，也就是
， 这样求出甲做0.4小时与乙做0.2小时
的工作量相等，这样就可以求出两人工作效率的倍数关系。9.8小时中甲做了5小时，乙做了4.8小时，而甲做的5小时相当于乙2.5小时，所以乙单独做需要4.8+2.5=7.3小时。
8．一份文件，如果甲抄10小时，乙抄10小时可以抄完；如果甲抄8小时，乙抄13小时
也可以抄完．现在甲先抄2小时，剩下的甲、乙合作，还需要几小时才能完成？ 【答案】 解：乙的工作效率：甲的工作效率：还需要的时间：
，
（小时）。 =
= ，
答：还需要小时才能完成。
【解析】【分析】 甲、乙合作的效率为 ；将甲抄8小时，乙抄13小时，转化为甲乙和抄8小时，乙单独抄5小时。用工作效率和乘8求出8小时完成的工作量，用1减去8小时完成的工作量即可求出乙5小时的工作量，用这个工作量除以5即可求出乙的工作效率，进而求出甲的工作效率。用1减去甲2小时的工作量求出剩下的工作量，用剩下的工作量除以两人的工作效率和即可求出还需要的时间。
9．甲、乙、丙三队要完成 ， 两项工程， 工程的工作量是 工程工作量再增加 ，如果让甲、乙、丙三队单独做，完成 工程所需要的时间分别是
天，
天，
天．现在
让甲队做 工程，乙队做 工程，为了同时完成这两项工程，丙队先与乙队合做 工程若干天，然后再与甲队合做 工程若干天．问丙队与乙队合做了多少天？ 【答案】 解： 三队合作完成两项工程所用的天数为： （天），
18天里，乙队一直在完成工作，因此乙的工作量为： 剩下的工作量应该是由丙完成，因此丙在 工程上用了： 答：丙队与乙队合做了15天。
【解析】【分析】 这个问题当中有两个不同的工程，三个不同的人，因此显得很难解决，数学中化归的思想很重要，即以一个为基准，把其他的量转化为这个量，然后进行计算，我们不妨设工程的工作总量为单位“1”，那么工程的工作量就是“ ”。用两项工程总工作量除以三队的工作效率和即可求出共同完成的时间。用乙的工作效率乘共同完成的时间即可求出乙完成的工作量，那么B工程剩下的工作量就由丙来做，这样用丙帮助乙完成的工作量除以丙的工作效率即可求出丙队帮助乙的时间，也就是丙与乙合做的天数。
，
（天）。
10．几个同学去割两块草地的草，甲地面积是乙地面积的4倍，开始他们一起在甲地割了
半天，后来留下12人割甲地的草，其余人去割乙地的草，这样又割了半天，甲、乙两地的草同时割完了，问：共有多少名学生？ 【答案】 解：每人每天割草：
（名）。
答：共有20名学生。
【解析】【分析】 有12人全天都在甲地割草，设有人上午在甲地，下午在乙地割草．由于这人在下午能割完乙地的草（甲地草的），所以这些人在上午也能割甲地的草，所以12人一天割了甲地的草，这样就可以求出每人每天割草量，用全部草量除以每人每天的割草量即可求出学生总数。
，
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