波利亚的解题理论

一、波利亚的生平及主要著作

对于我们数学学习者而言，大多都有过这样的经历：一道题，自己怎么想也想不出解法，而老师却给出了一个绝妙的解法。这时候，我们最想知道“老师是怎么想出这个解法的”，如果这个解法不是很难，我们也许会问“自己完全可以想出，但为什么我没有想到呢？”

要回答这个问题，实际上牵涉到对揭发数学问题解决规律的深入研究。综观历史来看，美籍匈牙利数学家乔治。波利亚（George Polya，1887-1985）不仅对上述问题特别感兴趣，而且在该领域做出了许多奠基性的工作。波利亚是法国科学院，美国科学院和匈牙利科学院的院士，1887年出生在匈牙利，青年时期曾在布达佩斯、维也纳、哥廷根、巴黎等地攻读数学、物理和哲学，获博士学位。1914年在苏黎世著名的瑞士联邦理工学院任教。1940年移居美国，1942年起任美国斯坦福大学教授。他一生发表200多篇论文和许多专著。他在数学的广阔领域内有精深的造诣，对实变函数、复变函数、组合论、概率论、数论、几何等若干分支领域都做出了开创性的贡献，一些术语和定理都以他的命名。由于他在数学教育方面所取得的成就和对世界数学教育所产生的影响，在他93岁高龄时，还被ICME（国际数学教育大会）聘为名誉主席。

《怎样解题》（1944），《数学的发展》（1945）和《数学与猜想》（1961）这三本书就是他智慧的结晶。这些书被译成很多国家的文字出版，其中《怎样解题》 一书被译成17种文字，仅平装本就销售了100万册以上。著名数学家范。德。瓦尔登 1952年2月2日在瑞士苏黎世大学的会议致辞中说：“每个大学生，每个学者，特别是每个老师都应该都读读这本引人入胜的书”。这些书成了世界范围内的数学教育名著，对数学教育产生了深刻的影响。

二、波利亚对数学教育的基本看法

波利亚对于数学教育的目的、价值、方法非常关注。他认为，“中小学生到底为什么要学习数学？要学什么样的数学？通过什么途径学好数学？”具体一点就是，在中小学阶段，是以“学数学”为主呢，还是以学如何“用数学”为主呢？这一点必须弄清楚。在他看来，中学数学教育的根本目的就是“教会学生思考”，意味着数学教师不只是传授知识，还应努力发展学生运用所学知识的能力，他应

该强调技能、技巧、有益的思考方式和理想的思维习惯。这种思考既是有目的的思考，产生式的思考，也包括形式的和非形式的思维。教师要努力做的就是“教学生证明问题，甚至也教他们猜想问题”，启发学生自己发现解法，从而从根本上提高学生的解题能力。当然，他也强调数学教育中培养学生的兴趣、好奇心、毅力、意志、情感体验等非智力品质的重要性。因为，需要有一定的意志品质的，并不是说在玩中就能学会解题，要学好数学毕竟不是一件轻轻松松的事情。 波利亚将学生依照未来的职业分为三类：数学家(包括理论物理学家、天文学家及某些专门研究领域里的工程师)约占1%，用到数学的人(工程师、科学家及一些社会科学家、数学教师。科学教师等)约占29%，不用数学的人(实业家、律师、牧师等)约占70%，他指出数学教育应当符合于两个原则：

第一，每一个学生应当能够从他的学习中得到某些收获而不管他以后的职业是什么。

第二，那些在数学上表现出有一些资质的学生应当受到鼓励和吸引，而不要由于拙劣的教育使他们嫌弃数学。

波利亚的数学教育宗旨是：“教会思考”，“培养创造精神”，“倡导探索式教学”，既注重智能因素的培养，又不忽视非智能因素的作用。

为了教会学生思考，教师在教学时应遵循学习过程的三个原则：

1．主动学习原则。“学东西的最好方式是发现它”“亲自发现能够在你脑海里留下一条小路；今后一旦需要，你便可以再次利用它。”因而，教师应该“尽量让学生在现有条件下亲自发现尽可能多的东西。”思想应在学生头脑里产生，教师则只起助产士的作用。

2．最佳动机原则。为了使学习富有成效，学生应该对学习倍感兴趣并且在学习活动中寻求欢乐。最佳的刺激应该是对所学知识的兴趣。另外，还可以在学生做题之前，让他们猜测学习的结果。（使学生感兴趣的学习材料是教学内容本身的内在魅力，而最佳动机则是学生期望在学习、探索这种强烈心智活动中找到乐趣的心理状态。）

3．循序渐进原则。学习过程是从行动和感知开始的，进而发展到词语和概念，以养成合理的思维习惯而结束。波利亚把人类学习全过程分为三个阶段：探索、形式化（阐明）和同化（吸收）。探索，是对事物的观察和初步了解，处于

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比较直观和启发式的水平上（按：这是起始的感性学习阶段）；形式化，是对所接触的事物进行了分类整理，引入了适当的定义、术语，认识了其中的规律性，上升到较为概念化的水平上（按：这是学习的理性思维阶段）；同化，学习者（按：指学习者即学生）已经消化了学习材料，事物的规律性在更广的范围内被认识、推广和应用（按：这是学习的感性与理性相结合的高级阶段）（把所学的知识都在头脑里消化了，然后吸收到自己的知识系统中来，扩大智力的范围。）。

波利亚认为学习的三条原则同时也是教学的三条原则，并以教学的三条原则为基础结合长期教学经验，给数学教师提出了十条建议。

（1）对自己的科目要有兴趣；

（2）熟知自己的科目（按：即教师应有尽可能高的数学修养）；

（3）懂得学习的途径：学习任何东西的最佳途径是亲自独立地发现其中的奥妙。

（4）努力观察学生的面部表情，察觉他们的期望和困难，设身处地地为学生考虑；

（5）不仅要传授知识，还要传授技能技巧，培养思维方式及科学的工作习惯；

（6）让学生学会猜想问题（按：即合情推理）； （7）让学生学会证明问题（按：即逻辑推理）；

（8）从手头的题目中寻找出一些可能用于解今后题目的特征，揭示出存在于具体情况下的一般模式（按：包括两方面：一是重视基本概念、原理，二是学习、总结、掌握解决问题的策略）；

（9）不要把你的全部秘诀一下子倒给学生——让他们猜测一番，然后再讲给他们听——让他们独立地找出尽可能多的东西（按：教师要学会装傻，还要装得象，这样学生才会积极地、兴趣盎然地去自主探索）；

（10）启发问题，而不要填鸭式地塞给学生。

波利亚强调，要成为一个好的解题者，如果“头脑不灵活起来，是很难学到什么东西的，也肯定学不到更多的东西”，“学东西的最好途径是亲自去发现它”，最富有成效的学习是学生自己去探索、去“发现”。只有学习者自己的思维活动起来了，他在学习中才会寻求到快乐。有了成功的经验，他对数学知识本身才可

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能产生内在的兴趣。学好数学不只在于练习、操作、演算，最重要的是从心底萌发出的对数学的浓厚兴趣与自我归纳理解后的解题思路。

另外，波利亚从教师的角度出发，根据自己的实践经验，立足于艺术形式对人的影响和作用方面（主要表现为兴趣、动机、情感等方面）来认识教学，并坚持说“教学是一门艺术”。他把教学比做舞台艺术，以说明教师的教态对学生起着潜移默化的影响和熏陶作用；他把教学与音乐、诗歌、轶事比较，以说明教师的语言和所表达的内容对学生能够产生较大的吸引力，能引起学生的兴趣和好奇心。当然，关于教学是否是科学这一点，他并没有正面回答。他更多的是，以一个教育家自身的教学实践和经验，以一个数学家“无意识”地遵从、运用科学规律来说明教学过程本身应该遵循一些规律性的东西，并尤其强调兴趣对学生学习数学的重要性。这从他致力于解题研究可以窥视一二。 三、波利亚关于解题的研究 1．怎样解题

为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个另人困惑的问题，波利亚专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成《怎样解题》一书。这本书的核心是他分析解题的思维过程得到的一张“怎样解题”表（见表1），并以例题表明这张表的实际应用。书中各部分基本上是配合这张表的，也可以说是对该表的进一步阐述和注释。在这张包括“弄清问题”、“拟定计划”、“实际计划”和“回顾”四大步骤的解题全过程的解题表中，对第二步即“拟定计划”的分析是最为引人入胜的。他指出寻找解法实际上就是“找出已知数和未知数之间的联系，如果找不出直接联系，你可能不得不考虑辅助问题。最终得出一个求解计划。”波利亚认为，“对你自己提出问题是解决问题的开始”，“当你有目的的向自己提出的问题时，它就变作你的问题”。而“假使你能适应地应用这些问句和提示来问你自己，它们可以帮助你解决你的问题”。他还把寻找并发现解法的思维过程分解为五条建议和23个具有启发性的问题，它们就好比是寻找和发现解法的思维过程的“慢动作镜头”，使我们对解题的思维过程看得见，摸得着。

波利亚的“怎样解题”表的精髓是启发你去联想。联想什么？怎样联想？这可以通过一连串建议性或启发性问题来加以回答。“你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个

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可能用的上的定理？看看未知数！试指出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。这里有一个与你现在的问题有联系且早已解决的问题。你能不能利用它？你能利用他的结果吗？你能利用他的方法吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方式重新叙述它？”

表1 波利亚提供的“怎样解题”表

了 解 问 题 第一步 必须了解问题 Δ未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？ Δ可能满足什么条件？ Δ画一个图，引入适当记号。 拟 定 计 划 Δ你以前曾见过它吗？ 第二步 找出已知数和未知数间的关系。假使你不能找出关系，就的考虑辅助问题，最后应想出一个计划 Δ你知道什么有关的问题吗？ Δ注视未知数！试想出一个有相同或相似的未知数的熟悉的问题。 Δ这里有一个与你有关而且以前解过的问题，你能应用它吗？ Δ你可以改述这问题吗？回到定义。 Δ你若不能解这问题，使先解一个有关的问题。 Δ你用了全部条件吗？ 实 行 计 划 第三步 实行你的计划 Δ实行你的解决计划，校核每一步骤。 回 顾 第四步 校核所得的解答 Δ你能校核结果吗？你能校核论证吗？ Δ你能用不同的方法得出结果吗？ Δ你能应用这结果或方法到别的问题上去吗？ 波利亚说他在写这些东西时，脑子里重现了他过去在研究数学时解决问题的过程。实际上是他解决研究问题时的思维过程的总结。这正是数学家在研究数学教育，特别是研究解题教学时的优势所在，绝非“纸上谈兵”。仔细想一想，我们在解题时，为了找到解法，实际上也思考过表中的某些问题，只不过不自觉，没有意识到罢了。现在波利亚用这些问题和建议去寻找解法。这样，解题的过程中，也使自己的思维受到良好的训练。久而久之，不仅提高了解题能力，而且养成了有益的思维习惯。而这是比任何具体的数学知识重要的多的东西。

从“怎样解题”表中，我们可以看出，其中的问句与提示是用来促发念头的。

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“有某种念头来开始着手工作，这是很大的优点”；“如果你有一个念头，你就够幸运的了”；“如果你走运的话你或许能找到另一个念头”；在这个过程中，至少你会增进对问题的认识与理解；“或者在明显失败的尝试和一度忧郁不决之后，突然闪出一个念头”。真正糟糕的事是，“我们根本没有念头”，因为“想不起什么念头，我们只有对问题感到疲倦的危险”。这时，“任何一个可能指明问题新方面的问题，都值得欢迎，因为它可以引起我们的兴趣，可以使我们继续工作，继续思索。”

“怎样解题”表的实践

例1给定正四棱台的高h，上底的一条边长a和下底的一条边长b，求正四棱台的体积f。(学生已学过棱柱、棱锥的体积)

【讲解】第一，弄清问题 问题1．你要求解的是什么?

要求解的是几何体的体积，在思维中的位置用一个单点f象征性地表示出来。

问题2．你有些什么?

一方面是题目条件中给出的3个已知量a、b、h；另一方面是已学过棱柱、棱锥的体积公式，并积累有求体积公式的初步经验．把已知的三个量添到图示处，就得到新添的三个点a、b、h；它们与f之间有一条鸿沟，象征问题尚未解决，我们的任务就是将未知量与已知量联系起来。

第二，拟定计划 问题3．怎样才能求得f?

由于我们已经知道棱柱、棱锥的体积公式，而棱台的几何结构(棱台的定义)告诉我们，棱台是“用一个平行于底面的平面去截棱锥”，从一个大棱锥中截去一个小棱锥所生成的。如果知道了相应两棱锥的体积b和a，我们就能求出棱台的体积ｆ＝ｂ－ａ。

我们在图示上引进两个新的点a和b，用斜线把它们与f联结起来，以此表示这三个量之间的联系。这就把求f转化为求a、b。

问题4．怎样才能求得a与b?

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依据棱锥的体积公式，底面积可由已知条件直接求得，关键是如何求出两个棱锥的高。并且，一旦求出小棱锥的高x，大棱锥的高也就求出，为ｘ＋ｈ。

问题5．怎样才能求得x？

为了使未知数x与已知数a、ｂ、ｈ联系起来，建立起一个等量关系。我们调动处理立体几何问题的基本经验，进行“平面化”的思考。用一个通过高线以及底面一边上中点的平面去截两个棱锥，在这个截面上有两个相似三角形能把a、b、h、x联系起来(转化为平面几何问题)。这就将一个几何问题最终转化为代数方程的求解。解此方程，便可由a、b、h表示x,在图示中便可用斜线将x与ａ、ｂ、h连结起来。至此，我们已在f与已知数a、b、h之间建立起了一个不中断的联络网，解题思路全部沟通。

第三，实现计划

作辅助线(过程略)，由相似三角形的性质，得x。进而得两锥体的体积、棱台体积。

第四，回顾

(1)正面检验每一步，推理是有效的，演算是准确的．再作特殊性检验，令ａ→０，可得正四棱锥体的体积公式；令ａ→ｂ，可得正四棱柱体的体积公式。这既反映了新知识与原有知识的相容性，又显示出棱台体积公式的一般性；这既沟通了三类几何体极限状态间的知识联系，又可增进三个体积公式的联系记忆。

(2)回顾这个解题过程可以看到，解题首先要弄清题意，从中捕捉有用的信息(有棱台，a、b、h、f共5条信息)，同时又要及时提取记忆网络中的有关信息(如回想：棱台的定义、棱锥的体积公式、相似三角形的性质定理、反映几何结构的运算、调动求解立体几何问题的经验积累等不下6条信息)，并相应将两组信息资源作合乎逻辑的有效组合．这当中，起调控作用的关键是如何去构思出一个成功的计划(包括解题策略)。由这一案例，每一个解题者还可以根据自己的知识经验各自进一步领悟关于如何制定计划的普遍建议或模式。

(3)在解题方法上，这个案例是分析法的一次成功应用，从结论出发由后往前找成立的充分条件．为了求f，我们只需求a、b(由棱台体积到棱锥体积的转化——由未知到已知，化归)；为了求a、b，我们只需求x(由体积计算到线段计算的转化——由复杂到简单，降维)；为了求x，我们只需建立关于x的方程(由

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几何到代数的转化——数形结合)；最后，解方程求x，解题的思路就畅通了，在当初各自孤立而空旷的画面上，形成了一个联接未知与已知间的不中断网络，书写只不过是循相反次序将网络图作一叙述。这个过程显示了分析与综合的关系，“分析自然先行，综合后继；分析是创造，综合是执行；分析是制定一个计划，综合是执行这个计划”。

(4)在思维策略上，这个案例是“三层次解决”的一次成功应用。首先是一般性解决(策略水平上的解决)，把f转化为a，b的求解（ｆ＝ａ－ｂ），就明确了解题的总体方向；其次是功能性解决(方法水平的解决)，发挥组合与分解、相似形、解方程等方法的解题功能；最后是特殊性解决(技能水平的解决)，比如按照棱台的几何结构作图、添辅助线找出相似三角形、求出方程的解、具体演算体积公式等，是对推理步骤和运算细节作实际完成。

(5)在心理机制上，这个案例呈现出“激活——扩散”的基本过程．首先在正四棱台(条件)求体积(结论)的启引下，激活了记忆网络中棱台的几何结构和棱锥的体积公式，然后，沿着体积计算的接线向外扩散，依次激活截面知识、相似三角形知识、解方程知识……直到条件与结论之间的网络沟通。这种“扩散——激活”的观点，正是数学证明思维中心理过程的一种解释。

(6)在立体几何学科方法上，这是“组合与分解”的一次成功应用。首先把棱台补充(组合)为棱锥，然后再把棱锥截成(分解)棱台并作出截面，这种做法在求棱锥体积时曾经用过(先组合成一个棱柱、再分解为三个棱锥)，它又一次向我们展示“能割善补”是解决立体几何问题的一个诀窍，而“平面化”的思考则是沟通立体几何与平面几何联系的一座重要桥梁．这些都可以用于求解其他立体几何问题，并且作为一般化的思想(化归、降维)还可以用于其他学科。

(7)“你能否用别的方法导出这个结果?”在信念上我们应该永远而坚定地做出肯定的回答，操作上未实现只是能力问题或暂时现象．对于本例，按照化棱台为棱锥的同样想法，可以有下面的解法（略）。

(8)“你能不能把这一结果或方法用于其他问题?”能，至少我们可以由正四棱台体积公式一般化为棱台体积公式(方法是一样的)。

“怎样解题表”就“怎样解题”“教师应该教学生做什么”等问题，把“解题中典型有用的智力活动”，按照正常人解决问题时思维的自然过程分成四个阶

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段——弄清问题、拟订计划、实现计划、回顾，从而描绘出解题理论的一个总体轮廓，也组成了一个完整的解题教学系统。既体现常识性，又体现由常识上升为理论（普遍性）的自觉努力。

这四个阶段中“实现计划”虽为主体工作，但较为容易，是思路打通之后具体实施信息资源的逻辑配置，“我们所需要的只是耐心”；其次，“弄清问题”是认识、并对问题进行表征的过程，应成为成功解决问题的一个必要前提；与前两者相比，“回顾”是最容易被忽视的阶段，波利亚对其作为解题的必要环节而固定下来，是一个有远见的做法，在整个解题表中“拟订计划”是关键环节和核心内容。

“拟订计划”的过程是探索解题思路的发现过程，波利亚的建议是分两步走：第一，努力在已知与未知之间找出直接的联系（模式识别等）；第二，如果找不出直接的联系，就对原来的问题做出某些必要的变更或修改，引进辅助问题。为此波利亚又进一步建议：看着未知数回到定义去，重新表述问题，考虑相关问题，分解或重新组合，特殊化、一般化、类比等，积极诱发念头，努力变化问题。这实际上是阐述和应用解题策略，并进行资源的提取和分配，基础是“过去的经验和以有的知识”（也是一种解题力量）。

于是，这个系统就集解题程序、解题基础、解题策略、解题方法等于一身，融理论与实践于一体。

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