马鞍山市第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知A．C．
表示数列
的前项和，若对任意的
B．D．
），则它的极坐标是（ ） B．
C．
满足
，且
，则
（ ）
2． 已知点P（1，﹣A．
D．
3． 如果a＞b，那么下列不等式中正确的是（ ） A．
B．|a|＞|b|
C．a2＞b2
D．a3＞b3
4． 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若m＞1，且am﹣1+am+1﹣am2=0，S2m﹣1=38，则m等于（ ） A．38
B．20
C．10
D．9
，则M∪N=（ ）
5． 设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合
A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}
6． 若{an}为等差数列，Sn为其前项和，若a10，d0，S4S8，则Sn0成立的最大自 然数为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14 7． 已知命题p：对任意x0，，log4xlog8x，命题：存在xR，使得tanx13x，则下列命题为真命题的是（ ）
A．pq B．pq C．pq D．pq 8． 若函数yfx的定义域是1,2016，则函数gxfx1的定义域是（ ）
A．0,2016 B．0,2015 C．1,2016 D．1,2017
9． 已知某市两次数学测试的成绩ξ1和ξ2分别服从正态分布ξ1：N1（90，86）和ξ2：N2（93，79），则以下结论正确的是（ ）
A．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，也比第二次成绩稳定 B．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，但不如第二次成绩稳定 C．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，也比第一次成绩稳定
D．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，但不如第一次成绩稳定
10．给出下列结论：①平行于同一条直线的两条直线平行；②平行于同一条直线的两个平面平行；
第 1 页，共 13 页
精选高中模拟试卷
③平行于同一个平面的两条直线平行；④平行于同一个平面的两个平面平行．其中正确的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．已知a＞b＞0，那么下列不等式成立的是（ ） A．﹣a＞﹣b
B．a+c＜b+c
D．
C．（﹣a）2＞（﹣b）2
12．数列{an}满足an+2=2an+1﹣an，且a2014，a2016是函数f（x）=（a2000+a2012+a2018+a2030）的值是（ ） A．2
B．3
C．4
D．5
+6x﹣1的极值点，则log2
二、填空题
13．复数z=
14．把函数y=sin2x的图象向左平移
个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵
（i虚数单位）在复平面上对应的点到原点的距离为 ．
坐标不变），所得函数图象的解析式为 ．
15．定义在R上的函数f(x)满足：f(x)f'(x)1，f(0)4，则不等式exf(x)ex3（其 中为自然对数的底数）的解集为 .
16．一个圆柱和一个圆锥的母线相等，底面半径也相等，则侧面积之比是 ． 17．设函数f（x）=
，则f（f（﹣2））的值为 ．
18．设p：f（x）=ex+lnx+2x2+mx+1在（0，+∞）上单调递增，q：m≥﹣5，则p是q的 条件．
三、解答题
19．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=an﹣，数列{bn}中，b1=1，点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+2=0上．
（1）求数列{an}，{bn}的通项an和bn； （2）设cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和Tn．
第 2 页，共 13 页
精选高中模拟试卷
20．在（1）求（2）若
21．已知p：
中，、、是 角的大小; ，
、、所对的边，是该三角形的面积，且
，求的值。
222
，q：x﹣（a+1）x+a＜0，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
22．已知双曲线C：与点P（1，2）．
（1）求过点P（1，2）且与曲线C只有一个交点的直线方程； 理由．
（2）是否存在过点P的弦AB，使AB的中点为P，若存在，求出弦AB所在的直线方程，若不存在，请说明
第 3 页，共 13 页
精选高中模拟试卷
23．如图，椭圆C1：的离心率为
2
，x轴被曲线C2：y=x﹣b截得的线段长等于椭
圆C1的短轴长．C2与y轴的交点为M，过点M的两条互相垂直的直线l1，l2分别交抛物线于A、B两点，交椭圆于D、E两点， （Ⅰ）求C1、C2的方程；
（Ⅱ）记△MAB，△MDE的面积分别为S1、S2，若
，求直线AB的方程．
24．在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）满足（1）求点P的轨迹方程；
（2）过点F（0，1）的直线l交点P的轨迹于A，B两点，若|AB|=
，求直线l的方程．
=3，其中=（2x+3，y），=（2x﹣﹣3，3y）．
第 4 页，共 13 页
精选高中模拟试卷
马鞍山市第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】C
【解析】 令所以
答案：C
2． 【答案】C
【解析】解：∵点P的直角坐标为再由1=ρcosθ，﹣
=ρsinθ，可得
得
，所以
，即
，故选C
，所以
是以1为公差的等差数列，首项为
，
，∴ρ=
=2．
，
，结合所给的选项，可取θ=﹣
即点P的极坐标为 （2，故选 C．
），
【点评】本题主要考查把点的直角坐标化为极坐标的方法，属于基础题．
3． 【答案】D
【解析】解：若a＞0＞b，则
，故A错误；
若a＞0＞b且a，b互为相反数，则|a|=|b|，故B错误； 若a＞0＞b且a，b互为相反数，则a2＞b2，故C错误； 函数y=x3在R上为增函数，若a＞b，则a3＞b3，故D正确； 故选：D
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的单调性，难度不大，属于基础题．
4． 【答案】C
【解析】解：根据等差数列的性质可得：am﹣1+am+1=2am，
2
则am﹣1+am+1﹣am=am（2﹣am）=0，
解得：am=0或am=2，
第 5 页，共 13 页
精选高中模拟试卷
若am等于0，显然S2m﹣1=
=（2m﹣1）am=38不成立，故有am=2， ∴S2m﹣1=（2m﹣1）am=4m﹣2=38， 解得m=10．
故选C
5． 【答案】A
2
【解析】解：∵集合M={x|x+3x+2＜0}={x|﹣2＜x＜﹣1}， 集合
∴M∪N={x|x≥﹣2}， 故选A．
【点评】本题考查集合的运算，解题时要认真审题，仔细解答．
6． 【答案】A 【解析】
={x|2﹣x≤22}={x|﹣x≤2}={x|x≥﹣2}，
考
点：得出数列的性质及前项和．
【方法点晴】本题主要考查了等差出数列的性质及前项和问题的应用，其中解答中涉及到等差数列的性质，等差数列的前项和等公式的灵活应用的知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档题，本题的解答中，由“a10，d0”判断前项和的符号问题是解答的关键．
7． 【答案】D 【
解
析
】
考
点：命题的真假.
第 6 页，共 13 页
精选高中模拟试卷
8． 【答案】B 【解析】
9． 【答案】C
【解析】解：∵某市两次数学测试的成绩ξ1和ξ2分别服从正态分布ξ1：N1（90，86）和ξ2：N2（93，79）， ∴μ1=90，▱1=86，μ2=93，▱2=79，
∴第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，也比第一次成绩稳定， 故选：C．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
10．【答案】B 【解析】
考
点：空间直线与平面的位置关系．
【方法点晴】本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系的判定与证明，其中解答中涉及到直线与直线平行的判定与性质、直线与平面平行的判定与性质的应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中熟记直线与直线平行和直线与平面平行的判定与性质是解答的关键．
11．【答案】C
22【解析】解：∵a＞b＞0，∴﹣a＜﹣b＜0，∴（﹣a）＞（﹣b），
故选C．
【点评】本题主要考查不等式的基本性质的应用，属于基础题．
12．【答案】C
【解析】解：函数f（x）=∵a2014，a2016是函数f（x）=
+6x﹣1，可得f′（x）=x2﹣8x+6， +6x﹣1的极值点，
2
∴a2014，a2016是方程x﹣8x+6=0的两实数根，则a2014+a2016=8．
第 7 页，共 13 页
精选高中模拟试卷
数列{an}中，满足an+2=2an+1﹣an， 可知{an}为等差数列，
∴a2014+a2016=a2000+a2030，即a2000+a2012+a2018+a2030=16， 从而log2（a2000+a2012+a2018+a2030）=log216=4． 故选：C．
【点评】熟练掌握利用导数研究函数的极值、等差数列的性质及其对数的运算法则是解题的关键．
二、填空题
13．【答案】
．
=﹣i（1+i）=1﹣i，
．
【解析】解：复数z=复数z=故答案为：
（i虚数单位）在复平面上对应的点（1，﹣1）到原点的距离为：．
【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，考查计算能力．
14．【答案】 y=cosx ．
【解析】解：把函数y=sin2x的图象向左平移故答案为：y=cosx．
15．【答案】(0,) 【
解
析
】
个单位长度，得
，即y=cos2x的图象，把y=cos2x
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=cosx的图象；
考点：利用导数研究函数的单调性.
等式进行变形,可得fxfx10,结合要求的不等式可知在不等式两边同时乘以e,即
x
【方法点晴】本题是一道利用导数判断单调性的题目,解答本题的关键是掌握导数的相关知识,首先对已知的不
第 8 页，共 13 页
精选高中模拟试卷
以构造满足前提的特殊函数,比如令fx4也可以求解.1 16．【答案】 2：1 ．
【解析】解：设圆锥、圆柱的母线为l，底面半径为r， 所以圆锥的侧面积为：圆柱的侧面积为：2πrl
所以圆柱和圆锥的侧面积的比为：2：1 故答案为：2：1
17．【答案】 ﹣4 ．
【解析】解：∵函数f（x）=
2
∴f（﹣2）=4﹣=
exfxexfxex0,因此构造函数gxexfxex,求导利用函数的单调性解不等式.另外本题也可
=πrl
，
， ）=
=﹣4．
f（f（﹣2））=f（
故答案为：﹣4．
18．【答案】 必要不充分
x
【解析】解：由题意得f′（x）=e++4x+m， x2
∵f（x）=e+lnx+2x+mx+1在（0，+∞）内单调递增， x
∴f′（x）≥0，即e++4x+m≥0在定义域内恒成立，
由于+4x≥4，当且仅当=4x，即x=时等号成立，
x
故对任意的x∈（0，+∞），必有e++4x＞5 x
∴m≥﹣e﹣﹣4x不能得出m≥﹣5
x
但当m≥﹣5时，必有e++4x+m≥0成立，即f′（x）≥0在x∈（0，+∞）上成立
∴p不是q的充分条件，p是q的必要条件，即p是q的必要不充分条件 故答案为：必要不充分
第 9 页，共 13 页
精选高中模拟试卷
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）∵Sn=an﹣， ∴当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=an﹣﹣即an=3an﹣1，． ∵a1=S1=
﹣，∴a1=3．
n
，
∴数列{an}是等比数列，∴an=3． ∵点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+2=0上， ∴bn+1﹣bn=2，
即数列{bn}是等差数列，又b1=1，∴bn=2n﹣1．
n
（2）∵cn=an•bn=（2n﹣1）•3，
23n1n
∵Tn=1×3+3×3+5×3+…+（2n﹣3）3﹣+（2n﹣1）3， 234nn+1
∴3Tn=1×3+3×3+5×3+…+（2n﹣3）3+（2n﹣1）3， 234nn+1
两式相减得：﹣2Tn=3+2×（3+3+3+…+3）﹣（2n﹣1）3，
=﹣6﹣2（n﹣1）3n+1， ∴Tn=3+（n﹣1）3
20．【答案】
【解析】 解
：
n+1
．
（1）由得
，即 （2）
21．【答案】
第 10 页，共 13 页
精选高中模拟试卷
【解析】解：由p： ⇒﹣1≤x＜2，
，
2222
方程x﹣（a+1）x+a=0的两个根为x=1或x=a， 22
若|a|＞1，则q：1＜x＜a，此时应满足a≤2，解得1＜|a|≤
当|a|=1，q：x∈∅，满足条件， 综上﹣本题的关键．
22．【答案】
．
2
当|a|＜1，则q：a＜x＜1，此时应满足|a|＜1，
【点评】本题主要考查复合命题的应用，以及充分条件和必要条件的应用，结合一元二次不等式的解法是解决
【解析】解：（1）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1，与曲线C有一个交点．… 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣2=k（x﹣1），代入C的方程，
2222*
并整理得（2﹣k）x+2（k﹣2k）x﹣k+4k﹣6=0 （） 2
（ⅰ）当2﹣k=0，即k=±
…
*
时，方程（）有一个根，l与C有一个交点
所以l的方程为
2
（ⅱ）当2﹣k≠0，即k≠±
时
2222
△=[2（k﹣2k）]﹣4（2﹣k）（﹣k+4k﹣6）=16（3﹣2k），
①当△=0，即3﹣2k=0，k=时，方程（*）有一个实根，l与C有一个交点． 所以l的方程为3x﹣2y+1=0… 综上知：l的方程为x=1或
2222
则2x1﹣y1=2，2x2﹣y2=2，
或3x﹣2y+1=0…
（2）假设以P为中点的弦存在，设为AB，且A（x1，y1），B（x2，y2），
两式相减得2（x1﹣x2）（x1+x2）=（y1﹣y2）（y1+y2）… 又∵x1+x2=2，y1+y2=4， ∴2（x1﹣x2）=4（y1﹣y2） 即kAB=
=，…
第 11 页，共 13 页
精选高中模拟试卷
∴直线AB的方程为y﹣2=（x﹣1），…
222
代入双曲线方程2x﹣y=2，可得，15y﹣48y+34=0，
由于判别式为48﹣4×15×34＞0，则该直线AB存在． …
2
【点评】本题考查了直线和曲线的交点问题，考查直线方程问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵椭圆C1：
22∴a=2b，
的离心率为，
令x﹣b=0可得x=±
2，
2
∵x轴被曲线C2：y=x﹣b截得的线段长等于椭圆C1的短轴长，
∴2=2b，
∴b=1，
∴C1、C2的方程分别为
2
，y=x﹣1； …
22
（Ⅱ）设直线MA的斜率为k1，直线MA的方程为y=k1x﹣1与y=x﹣1联立得x﹣k1x=0 2
∴x=0或x=k1，∴A（k1，k1﹣1）
同理可得B（k2，k2﹣1）…
2
∴S1=|MA||MB|=•|k1||k2|…
），
y=k1x﹣1与椭圆方程联立，可得D（
同理可得E（） …
∴S2=|MD||ME|=•• …
∴
若则
或
解得或…
∴直线AB的方程为
第 12 页，共 13 页
精选高中模拟试卷
【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与抛物线、椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，联立方程，确定点的坐标是关键．
24．【答案】
【解析】解：（1）由题意，
22
可化为4x+3y=12，即：
=（2x+3）（2x﹣3）+3y2=3， ； ；
∴点P的轨迹方程为
（2）①当直线l的斜率不存在时，|AB|=4，不合要求，舍去；
②当直线l的斜率存在时，设方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
22
代入椭圆方程可得：（4+3k）x+6kx﹣9=0，
∴x1+x2=∴|AB|=∴k=±
，
，x1x2=•|x1﹣x2|=
，
=
，
∴直线l的方程y=±x+1．
【点评】本题考查了与直线有关的动点的轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了向量的坐标运算，训练了利用数量积，属于中档题．
第 13 页，共 13 页
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容