安徽省马鞍山市第二中学2018-2019学年上学期期中高考数学模拟题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

log2（a－x），x＜1

1． 已知函数f（x）＝x若f（－6）＋f（log26）＝9，则a的值为（ ）

2，x≥1

A．4 C．2

则正方体棱长为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【命题意图】本题考查以正方体为载体考查四面体的外接球半径问题，意在考查空间想象能力和基本运算能力． 3． 在极坐标系中，圆

B．3 D．1

M-ABD的外接球体积为36p， 2． 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是线段AC11的中点，若四面体

的圆心的极坐标系是( )。

ABCD

1y2}，则有（ ） 2A．AØB B．ABB C．A(ðRB) D．A(ðRB)R

4． 已知全集UR，A{x|23x9}，B{y|5． 若集合

,则

= ( )

ABCD

6． 已知全集为R，且集合A{x|log2(x1)2}，B{x|A．(1,1) B．(1,1] C．(1,2] D．[1,2]

x20}，则A(CRB)（ ） x1【命题意图】本题考查集合的交集、补集运算，同时也考查了简单对数不等式、分式不等式的解法及数形结合的思想方法，属于容易题.

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2＋2z

7． 复数满足＝iz，则z等于（ ）

1－iA．1＋i C．1－i

B．－1＋i D．－1－i

8． 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ） A． 2 B．4 C．

48 D． 33

【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的体积度量，重点考查空间想象能力及对基本体积公式的运用，难度中等. 9． 设为全集，

是集合，则“存在集合使得是“”的（ ）

A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件

D既不充分也不必要条件

A．64 B．72 C．80 D．112

10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）

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【命题意图】本题考查三视图与空间几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力与运算求解能力. 11．对于复数

,若集合具有性质“对任意,必有”,则当

时,A1 B-1 C0 D

等于 ( )

xn(1)sin2n,x2n,2n1212．已知函数f(x)（nN），若数列am满足

(1)n1sinx2n2,x2n1,2n22amf(m)(mN*)，数列am的前m项和为Sm，则S105S96（ ） A.909 B.910 C.911 D.912

【命题意图】本题考查数列求和等基础知识，意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）

13．在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若ccosBa则边c的最小值为_______．

【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等基础知识，意在考查基本运算能力．

13b，ABC的面积Sc， 212第 3 页，共 15 页

14．已知f（x）＝x（ex＋ae－x）为偶函数，则a＝________． 15．平面内两定点M（0，一2）和N（0,2），动点P（x，y）满足为曲线E，给出以下命题： ①m，使曲线E过坐标原点； ②对m，曲线E与x轴有三个交点；

③曲线E只关于y轴对称，但不关于x轴对称；

④若P、M、N三点不共线，则△ PMN周长的最小值为2m＋4;

⑤曲线E上与M,N不共线的任意一点G关于原点对称的另外一点为H，则四边形GMHN 的面积不大于m。

其中真命题的序号是 ．（填上所有真命题的序号）

，动点P的轨迹

x2y216．已知抛物线C1：y4x的焦点为F，点P为抛物线上一点，且|PF|3，双曲线C2：221

ab（a0，b0）的渐近线恰好过P点，则双曲线C2的离心率为 . 2【命题意图】本题考查了双曲线、抛物线的标准方程，双曲线的渐近线，抛物线的定义，突出了基本运算和知识交汇，难度中等.

三、解答题（本大共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．（本小题满分12分）设f（x）＝－x2＋ax＋a2ln x（a≠0）． （1）讨论f（x）的单调性；

（2）是否存在a＞0，使f（x）∈[e－1，e2]对于x∈[1，e]时恒成立，若存在求出a的值，若不存在说明理由．

18．（本题满分14分）

在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，已知cosC(cosA3sinA)cosB0． （1）求角B的大小；

（2）若ac2，求b的取值范围．

【命题意图】本题考查三角函数及其变换、正、余弦定理等基础知识，意在考查运算求解能力．

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19．（本小题满分12分）△ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD是BC边上的中线．

1

（1）求证：AD＝2b2＋2c2－a2；

2

19sin B3

（2）若A＝120°，AD＝，＝，求△ABC的面积．

2sin C5

20．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，且ABC120．点E是棱PC的中点，平面ABE 与棱PD交于点F． （1）求证：AB//EF；

（2）若PAPDAD2，且平面PAD平面ABCD，求平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余 弦值．

PFDAECB

【命题意图】本小题主要考查空间直线与平面，直线与直线垂直的判定，二面角等基础知识，考查空间想象能力,推理论证能力,运算求解能力，以及数形结合思想、化归与转化思想.

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21．（本小题满分12分）已知函数fxax2bxlnx（a,bR）．

1（2）当a0时，是否存在实数b，当x0,e（e是自然常数）时，函数f(x)的最小值是3，若存在，求

（1）当a1,b3时，求函数fx在,2上的最大值和最小值；

2出b的值；若不存在，说明理由；

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安徽省马鞍山市第二中学2018-2019学年上学期期中高考数学模拟题（参考答案） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1． 【答案】

【解析】选C.由题意得log2（a＋6）＋2log26＝9. 即log2（a＋6）＝3，

∴a＋6＝23＝8，∴a＝2，故选C. 2． 【答案】C

3． 【答案】B 【解析】4． 【答案】A

【解析】解析：本题考查集合的关系与运算．A(log32,2]，B(,2]，∵log32log33选A． 5． 【答案】B 【解析】6． 【答案】D

，圆心直角坐标为（0,-1），极坐标为

，选B。

121，∴AØB，2

7． 【答案】

2＋2z

【解析】解析：选D.法一：由＝iz得

1－i2＋2z＝iz＋z， 即（1－i）z＝－2，

－2（1＋i）

∴z＝＝＝－1－i.

21－i

－2

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法二：设z＝a＋bi（a，b∈R）， ∴2＋2（a＋bi）＝（1－i）i（a＋bi）， 即2＋2a＋2bi＝a－b＋（a＋b）i，

2＋2a＝a－b∴， 2b＝a＋b

∴a＝b＝－1，故z＝－1－i. 8． 【答案】B

9． 【答案】C

【解析】由题意A⊆C，则∁UC⊆∁UA，当B⊆∁UC，可得“A∩B=∅”；若“A∩B=∅”能推出存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC，

∴U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的充分必要的条件。 10．【答案】C. 【

解

析

】

11．【答案】B 【解析】由题意，可取12．【答案】A.

【

解

析

】

，所以

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二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）

13．【答案】1

14．【答案】

【解析】解析：∵f（x）是偶函数，∴f（－x）＝f（x）恒成立， 即（－x）（e－x＋aex）＝x（ex＋ae－x）， ∴a（ex＋e－x）＝－（ex＋e－x），∴a＝－1. 答案：－1

15．【答案】①④⑤

解析：∵平面内两定点M（0，﹣2）和N（0，2），动点P（x，y）满足|∴

•

=m

①（0，0）代入，可得m=4，∴①正确；

②令y=0，可得x2+4=m，∴对于任意m，曲线E与x轴有三个交点，不正确；

|•|

|=m（m≥4），

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③曲线E关于x轴对称，但不关于y轴对称，故不正确； ④若P、M、N三点不共线，|

|+|

|≥2

=2

，所以△PMN周长的最小值为2

+4，正确；

⑤曲线E上与M、N不共线的任意一点G关于原点对称的点为H，则四边形GMHN的面积为2S△MNG=|GM||GN|sin∠MGN≤m，∴四边形GMHN的面积最大为不大于m，正确． 故答案为：①④⑤． 16．【答案】3

三、解答题（本大共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．【答案】

a2

【解析】解：（1）f（x）＝－x＋ax＋aln x的定义域为{x|x＞0}，f′（x）＝－2x＋a＋

x

a

－2（x＋）（x－a）

2

＝. x

a

①当a＜0时，由f′（x）＜0得x＞－，

2

a

由f′（x）＞0得0＜x＜－. 2a

此时f（x）在（0，－）上单调递增，

2

a

在（－，＋∞）上单调递减；

2

2

2

②当a＞0时，由f′（x）＜0得x＞a， 由f′（x）＞0得0＜x＜a，

此时f（x）在（0，a）上单调递增，在（a，＋∞）上单调递减． （2）假设存在满足条件的实数a， ∵x∈[1，e]时，f（x）∈[e－1，e2]， ∴f（1）＝－1＋a≥e－1，即a≥e，① 由（1）知f（x）在（0，a）上单调递增， ∴f（x）在[1，e]上单调递增，

∴f（e）＝－e2＋ae＋e2≤e2，即a≤e，②

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由①②可得a＝e， 故存在a＝e，满足条件．

18．【答案】（1）B【

3；（2）[1,2).

解

析

】

19．【答案】 【解析】解：

（1）证明：∵D是BC的中点，

a

∴BD＝DC＝.

2

a2

法一：在△ABD与△ACD中分别由余弦定理得c＝AD＋－2AD·

4

a

cos∠ADB，① 2

2

a22ab＝AD＋－2AD··cos∠ADC，②

42

2

222a①＋②得c＋b＝2AD＋，

2

2

2

即4AD2＝2b2＋2c2－a2，

1

∴AD＝2b2＋2c2－a2.

2

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法二：在△ABD中，由余弦定理得

AD2＝c2

＋a2a4－2c·2cos B

a2＝c2

＋a2

＋c2－b24－ac·2ac

2b2＋2c2－a2

＝4，

∴AD＝1

2

2b2＋2c2－a2.

（2）∵A＝120°，AD＝1sin B3

219，sin C＝5，

由余弦定理和正弦定理与（1）可得 a2＝b2＋c2＋bc，① 2b2＋2c2－a2＝19，②

bc＝3

5

，③ 联立①②③解得b＝3，c＝5，a＝7，

∴△ABC的面积为S＝12bc sin A＝12×3×5×sin 120°＝153

4. 即△ABC的面积为15

43.

20．【答案】 【

解

第 12 页，共 15 页析

】

∵BG平面PAD，∴GB(0,3,0)是平面PAF的一个法向量，

第 13 页，共 15 页

21．【答案】

【解析】【命题意图】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值、不等式的解法等基础知识，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、分析与解决问题的能力、探究能力、运算求解能力．

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（2）当a0时，fxbxlnx．

假设存在实数b，使gxbxlnxx0,e有最小值3，

f(x)b1bx1．………7分 xx4（舍去）．………8分 e①当b0时，f(x)在0,e上单调递减，f(x)minfebe13,b②当0111

e时，f(x)在0,上单调递减，在,e上单调递增， bbb

12∴f(x)ming1lnb3,be，满足条件．……………………………10分

b14③当e时，f(x)在0,e上单调递减，f(x)mingebe13,b（舍去），………11分

be2综上，存在实数be，使得当x0,e时，函数f(x)最小值是3．……………………………12分

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