安徽省合肥市第十一中学2020-2021学年高二下学期期中理科数学试题(A卷)参考答案

理科数学试题（A卷）

参考答案

1．A【思路点拨】先求出导函数，再代入可求得值.

【解析】因为fxln2x1ax,f(x)722a1,解得a，a,f(2) 22+12x15故选：A.

【点睛】本题考查导函数的计算，关键在于正确地求出函数的导函数，注意复合函数的导函数的求解，属于基础题.

2．D【思路点拨】利用分步乘法计数原理可得出结果. 【解析】将3封信投入2个邮箱，共有238种投法. 故选：D.

3．C【思路点拨】分别考虑0x1,x1时fx的取值正负，由此判断出fx的单调性选择出合适的函数图象. 【解析】当0x1时， ∵xfx0，∴fx0， ∴yfx在0,1上为减函数； 当x1时，

∵xfx0，∴fx0，

∴yfx在1,上为增函数，只有C项符合. 故选：C.

【点睛】关键点点睛：利用导函数fx的图象判断原函数fx的大致图象时，主要是通过fx的取值正负，确定出fx的单调性，由此选择合适图象.

4．C【思路点拨】先转化对立事件，根据独立事件概率乘法公式以及对立事件概率公式求解，即得结果.

【解析】因为目标被击中,指甲、乙两人至少有一人命中目标，其对立事件为甲、乙两人都112未命中目标，所以目标被击中的概率是1(1)(1)，

233答案第1页，共11页

故选：C

【点睛】本题考查独立事件概率乘法公式以及对立事件概率公式，考查基本分析求解能力，属基础题.

5．C【思路点拨】根据题意转化为从装有2只螺口灯池与9只卡口灯泡中抽取一只，恰为卡口灯泡的概率，再根据古典概型概率公式求解，也可利用条件概率公式求解.

【解析】方法一：因为电工师傅每次从中任取一只且不放回，且第1次抽到的是螺口灯泡，所以第1次抽到的是螺口灯泡，第2次抽到的是卡口灯泡的概率等价于：从装有2只螺口灯池与9只卡口灯泡中抽取一只，恰为卡口灯泡的概率，即为

99， 2+911方法二：设事件A为：第1次抽到的是螺口灯泡，事件B为：第2次抽到的是卡口灯泡, 则第1次抽到的是螺口灯泡，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为

39P(AB)12119P(B|A)

3P(A)1112故选：C

【点睛】本题考查条件概率，考查基本分析求解能力，属基础题.

6．D【思路点拨】令x0可以得到a0的值，令x1得到a0a1a2a6的值，从而得到答案.

【解析】因为23xa0a1xa2x2a6x6

6所以令x0得到2a0，

6令x1，得到1a0a1a2a6 所以可得a1a2a61a063， 故选D.

【点睛】本题考查求二项展开式的常数项和项的系数和，属于简单题. 7．D【思路点拨】利用离散型随机变量的期望与方差公式，转化求解即可. 【解析】解：随机变量X服从二项分布，即X6Bn,p，且EX2，DX1.6，

可得np2，np1p1.6，解得p0.2，n10， 故选：D.

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【点睛】此题考查离散型随机变量的期望与方差公式的应用，考查二项分布的性质，属于基础题 8．A

r10rx2y，令r4得系数为【解析】试题分析：二项展开式通项公式为Tr1C10r4C1024840

考点：二项式定理

9．B【思路点拨】先计算数字1和2相邻的不同排法，再将数字1和2视为一个整体和其它数字排列计算即可．

【解析】数字1和2相邻有A2=2种不同排法，再将数字1和2视为一个整体，共有

24A2A4=224=48种不同的排法，

2故选：B

10．A【思路点拨】设切点x0,2lnx0，写出切线方程y代入切线方程即可求解.

【解析】设l：y2exb与曲线y2lnx相切于点x0,2lnx0， 则fx0则y22， 所以的方程为y2lnx0xx0，

x0x02x2lnx02，从而可得x01，x0e22x2lnx02，故2e，解得x01， x0x0e则直线l：y2ex4，所以b4， 故选：A.

11．B【思路点拨】判断函数的奇偶性，再判断函数值的正负，从而排除错误选项，得正确选项.

【解析】因为yfx所以fxxsinx

exexxsinxxsinxxx

exexee得fxfx， 所以yxsinx为奇函数，

exex排除C；

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在[0,)，设g(x)xsinx，gx1cosx0，g(x)单调递增，因此g(x)g(0)0， 故yxsinx0在[0,)上恒成立，

exex排除A、D， 故选：B.

【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置. （2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.

12．A【思路点拨】将不等式x3ax2lnx恒成立，转化为不等式ax恒成立，令gxxlnx，用导数法求得其最小值即可. x2lnx 在0,上x2【解析】因为不等式x3ax2lnx恒成立， 所以不等式ax令gxxlnx 在0,上恒成立， 2xlnx， x2x312lnx则gx，

x33令hxx12lnx，

2则hx3x20， x所以hx在0,上是递增，又h10， 所以当0x1时，hx0，即gx0， 当x1时，hx0，即gx0， 所以当x1时，gx取得最小值g11， 所以 a1， 故选：A

【点睛】方法点睛：恒成立问题的解法：

若f(x)在区间D上有最值，则xD,fx0fxmin0；

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xD,fx0fxmax0；

若能分离常数，即将问题转化为：afx（或afx），则afxafxmax；

afxafxmin.

13．2【思路点拨】由瞬时速度的极限计算方法即可得.

222【解析】s(t0t)4(t0t)5(t04t05)2t0tt4t

因为vlims2t040，所以t02.

t0t故答案为：2.

14．0.8【思路点拨】先根据正态分布对称性求PX，再求PX.

2【解析】因为随机变量X~N1,， PX20.2，

所以PXPX20.2

因此PX1PX10.20.8 故答案为：0.8

【点睛】本题考查利用正态分布对称性求概率，考查基本分析求解能力，属基础题. 15．20【思路点拨】将x2看成一个整体，利用5次方的二项式公式展开，然后分别考察x各项进一步展开后的情况，寻找到各项展开后含有x3的系数，进而求和即得.

222222【解析】x1=x5x10x10x5x1

xxxxxx010C110C3, 只有第一项和第三项的展开式中含有x3,系数分别是C52，5210C320,

55432故答案为：20.

【点睛】利用二项式定理研究三项式的展开式中特定项的系数问题时，有两种思路： 一是利用通分，分解因式转化成两个二项式的乘积的问题;二是将三项式中的某两项组合成一个整体，利用二项式定理展开后，再考虑各项的进一步展开式. 16．150

12233【解析】满足条件的方案种数为A3(C5C5C3)150种.

217．（1）3，4，5，6. （2）分布列见解析.【思路点拨】（1）根据取出的白球和黑球的个数，可得X的可能取值为3，4，5，6.

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（2）根据古典概型概率公式结合组合知识求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列 【解析】（1）从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球， 全是白球得6分，1黑球2白球得5分，2黑球1白球得4分，3黑球得3分 所以X的可能取值为3，4，5，6.

31C5C52C452010, , PX4（2）PX333C942C94221123C5C4155C421PX53, PX63

C94214C94221所以X的分布列为

X P 3 5 424 10 215 6 1 215 14176518．（1）a，b＝﹣1（2）f（x）min＝，f（x）max＝【思路点拨】（1）先对函数求

333 导，由题意可得f'(x)＝3ax2+2bx﹣3＝0的两个根为﹣1和3，结合方程的根与系数关系可求，（2）由（1）可求f'(x)，然后结合导数可判断函数的单调性，进而可求函数的最值. 【解析】解：（1）f'(x)＝3ax2+2bx﹣3，

由题意可得f'(x)＝3ax2+2bx﹣3＝0的两个根为﹣1和3， 2b133a则，

113a解可得a，b＝-1，

﹣3)(x1)， （2）由（1）f'(x)＝(x13易得f（x）在(-,-1)，(3,)单调递增，在(1,3)上单调递减， 又f（﹣4）57620，f（﹣1），f（3）＝﹣9，f（4），

333576，f（x）max＝f（﹣1）.

33所以f（x）min＝f（﹣4）【点睛】本题考查利用极值求函数的参数，以及利用导数求函数的最值问题，属于中档题 19．（1）

7；（2）7，2.1.【思路点拨】（1）由分层抽样的定义得5人中3人看过电影，210人没看电影，至少有2人观看过电影即为两个互斥事件2人看过电影和3人看过电影的和，

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由此可得概率；

（2）由题意知，观看过该电影的频率为

7，将频率视为概率，则随机变量服从二项分布107B10,，由二项分布可得期望和方差． 10【解析】解：（1）依题意，从样本的中年人中按分层抽样方法取出的5人中， 观看过电影的有5303（人），没观看过的有2人， 50记抽取的3人中有i人观看过电影为事件Aii1,2,3．

13C32C2C33231PA 则PA2，333C5105C510从这5人中随机抽取3人，其中至少有2人看过该电影的概率为：

317PPA2PA3.

51010（2）由题意知，观看过该电影的频率为

7，将频率视为概率， 1077则随机变量服从二项分布B10,，所以随机变量ξ的数学期望为E107，

101077方差为D1012.1．

101020．(1)见解析；（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）由

，得

（2）设

时，，所以

最小值为在

内单调递增．由此能够证明．列表讨论能求出

，于是

，于是对任意

．

，知

的单调区间区间及极值．

,由（1）知当

，都有．令

试题解析：解：∵f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R， ∴f′（x）=ex﹣2，x∈R． 令f′（x）=0，得x=ln2．

于是当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

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故f（x）的单调递减区间是（﹣∞，ln2）， 单调递增区间是（ln2，+∞）， f（x）在x=ln2处取得极小值，

极小值为f（ln2）=eln2﹣2ln2+2a=2（1﹣ln2+a），无极大值． （2）证明：设g（x）=ex﹣x2+2ax﹣1，x∈R， 于是g′（x）=ex﹣2x+2a，x∈R． 由（1）知当a＞ln2﹣1时，

g′（x）最小值为g′（ln2）=2（1﹣ln2+a）＞0．

于是对任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增． 于是当a＞ln2﹣1时，对任意x∈（0，+∞），都有g（x）＞g（0）． 而g（0）=0，从而对任意x∈（0，+∞），g（x）＞0． 即ex﹣x2+2ax﹣1＞0， 故ex＞x2﹣2ax+1．

考点：1.导数与单调性和极值；2.导数的应用.

21．0.104；.（1）（2）方案三较好，理由见解析【思路点拨】（1）先根据频率分布表得X25,29的概率，再根据二项分布概率公式求结果；

（2）先依次求出三种方案下概率分布以及数学均值，再根据大小确定选择. 【解析】（1）由频率分布表，得

P25X29P25X27P27X290.440.360.8

设在未来3年里，河流最高水位X25,29发生的年数Y， 则YB3,0.8.

记事件“在未来3年，至多有1年河流最高水位X25,29”为事件A，

0则PAPY0PY1C310.8C310.810.80.104.

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所以，在未来三年，至多有1年河流最高水位X25,29的概率为0.104. （2）由题设得P29X330.05.

用X1，X2，X3分别表示方案一、方案二、方案三的蔬菜销售收入，由题意得：

X1的分布列如下： X1 P 40000 0.15 12000 0.8 0 0.05

所以EX1400000.151200000.800.05102000；

X2的分布列如下： X2 P 70000 0.15 12000 0.8 0 0.05

所以EX2700000.151200000.800.05106500；

X3的分布列如下： X3 P 70000 0.15 12000 0.8 70000 0.05

所以EX3700000.151200000.8700000.05110000. 设三种方案下蔬菜种植户所获利润分别为Y1，Y2，Y3，则 Y1X160000，Y2X265000，Y3X367000，

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所以EY1EX16000042000，

EY2EX26500041500，

EY3EX36700043000.

因为EY2EY1EY3，

所以采取方案三利润的均值最大，故方案三较好.

【点睛】本题考查概率分布与数学期望、二项分布概率公式，考查基本分析求解能力，属中档题.

22．(1)答案见解析；(2)

2 ln2【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，通过讨论a的取值范围，即可求出函数的单调区间；

1（2）通过讨论的a的取值范围，求出函数在x[,1]上的单调区间，从而求出函数的最小

2值，确定实数a的值． 试题解析： （1）fx1aax12，x0， x2xx当a0时，fx0在0,上恒成立， 则fx的单调递减区间为0,； 当a0时，令fx0，得0x11，则fx的单调递减区间为0,． aa1（2）当a≤1时，f(x)在,1上单调递减，则fxminf110；

21当a≥2时，f(x）在,1上单调递增，

2212 则fxminf10，解得a2ln2111当1a2时，fx在,上单调递减，在,1上单调递增，

a2a11则fxminfaaln0，解得ae，舍去．

aa2综上，得a．

ln2点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，考查了数形结合思想和推理能力与计算能力，导

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数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、圆等知识联系； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题； (4)考查数形结合思想的应用．

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