2023-2024学年安徽省合肥市高一上册期末数学模拟试题(含解析)

一、单选题∣1x6,B{x∣3x3}，则图中阴影部分表示的集合1．已知全集UR，集合Ax为（）∣3x6A．x∣1x3}C．{x

【正确答案】A∣1x3}B．{x

∣3x1}D．{x【分析】由图可得阴影部分表示ðUBA，然后用补集和交集的定义进行求解【详解】由图可得，图中阴影部分表示的集合为ðUBA，∣1x6,B{x∣3x3}，因为Ax∣3x6，所以ðUBxx3或x3，ðUBAx故选：A2．若函数fxA．2,4C．2,4【正确答案】B【分析】由题意可得x26x80，解不等式即可得出定义域.【详解】要使函数fx

x26x8有意义，则x26x80，x26x8，则fx的定义域为（）B．,24,D．,24,则x2x40，解得：x2或x4，所以函数fx故选：Bx26x8的定义域为,24,，3．若命题“x1,2，x21a0”为真命题，则a的取值范围是（）A．a2B．a2C．a5D．a5

【正确答案】C【分析】利用分离参数法求解，把参数分离出来求解yx21的最大值即可.【详解】由已知x1,2，x21a0，则ax21max，即a5，所以a的取值范围是a5.故选：C.4．已知alog0.23，b0.30.2，clnπ，则（）A．abcB．acbC．bac

D．b【正确答案】A【分析】根据指数函数与对数函数的图像与性质，借助中间值法即可比较大小.【详解】由对数函数的图像与性质可得alog0.23log0.210，b0.30.2(0,1)，clnπ>lne=1，所以abc，故选：A.5．设fx是定义域为R的奇函数，且f1xfx，若f11

33，则f13

3

（A．5151

3B．3C．3D．3【正确答案】B【分析】根据奇函数的性质，结合已知等式判断函数的周期，利用周期进行求解即可.【详解】因为fx是定义域为R的奇函数，所以由f1xfxfxf2xf1xf2xfx，函数该函数的周期为2，f13f41f1

f

13331

3

3，）故选：Bπ

sin1sin21π

6．若tan，则（243sinπcosπ）A．3【正确答案】DB．3

5C．15D．-

35【分析】根据两角和的正切公式、二倍角公式，结合诱导公式、同角的三角函数关系式进行求解即可.11tan1π

tan2，【详解】tan

31tan34

π

sin1sin22

cossincoscossincos222cossincos22sinπcosπsincossincos

tan13

，2tan15故选：D2

7．设二次函数fxa2x3ax2在R上有最大值，最大值为ma，当ma取最小值时，a的值为（A．0【正确答案】A）B．1C．2D．49a28a16

,a2，换元令ta2，整理得【分析】根据二次函数分析可得ma

4a2y94t7，结合基本不等式运算求解.4t3a

，22a【详解】由题意可得：a20，即a2，2

且fxa2x3ax2的对称轴为x

3a9a28a16,a2，故maf22a4a2令ta20，则at2，可得y

9t28t216

4t2

9494t72t72，4t4t

当且仅当t4，即t2,a0时，等号成立，t即当a0时，ma取最小值2.故选：A.8．已知锐角，满足确的是（A．

）sinsin2，设atantan，fxlogax，则下列结论正coscosπ2B．sincosD．fcosfsinC．fsinfcos【正确答案】C【分析】根据题意结合基本不等式分析可得atantan0,1，对A：结合两角和的正切ππ

公式分析可得tan0，即可得0,；对B：由，结合正弦函数单调22

性以及诱导公式可得sincos；对C：由sincos，结合对数函数的单调性分析判断；对D：根据选项B、C的思路，先证sincos，再结合对数函数的单调性分析判断.sinsinπ0,0，【详解】因为,0,为锐角，则sin,cos,sin,cos均为正数，即coscos2sinsin又∵sinsincoscos，tantancoscos42当且仅当结合sinsin，即时等号成立，coscossinsin2，可得0tantan1，即0a1，coscostantan0，且0,π，1tantan对A：∵tan0,tan0,0tantan1，则tan

π

∴0,，A项不正确；2

ππ

对B：∵0，则，22骣ππππysinx0,注意到,0,，则-Î琪，且在0,上单调递增，琪琪桫2222π

∴sinsincos，B错误；2

对C：由0a1，则fxlogax在定义域内是减函数，且0sincos，所以fsinfcos，C正确；对D：∵0

ππ

，则，22ππππ注意到,0,，则0,，且ysinx在0,上单调递增，2222π

∴0sinsincos，2

结合fxlogax在定义域内是减函数，则fsinfcos，D不正确.故选：C.结论点睛：对于锐角，，则有：（1）若（2）若（3）若

π

，则sincos；2π

，则sincos；2π

，则sincos；2此结论在三角形中应用较多.二、多选题9．下列说法正确的是（）1

的最小值是2lgx52A．x0,x1，则ylgxB．x0，则y

x5x4的最小值是x

C．x0，则y2

1

的最小值是142xD．y14的最小值为92sinxcos2x【正确答案】BD【分析】对于A，B，C，利用换元法及对勾函数的性质，结合函数单调性与最值的关系即可求解；对于D，利用同角三角函数的平方关系及商数关系，结合正余弦齐次式及基本不等式即可求解.1

t0，由对勾函数知，f(t)在,1,1,t

1

f(t)f(1)12，1,0,0,1上单调递减；单调递增，在所以当t0时，当t0

1【详解】对于A,令tlgxt0，则f(t)t

1

时，f(t)f(1)12，故A错误；1t2451对于B，令tx4t2，则xt4，f(t)由对勾函数的性质知，f(t)t，tt15

在2,单调递增，当t2时，f(t)取得最小值为f(2)2，所以当x0时，则22x55y的最小值是，故B正确；2x411x

对于C，令t2t1，则f(t)t，由对勾函数的性质知，f(t)在,单调递增，4t2

2

1115

11f()x

y21x0当t时，f(t)取得最小值为2，所以当时，则的最242242x2小值是5

，故C错误；2224sin2xcos2x14sinxcosx1对于D，y4tan2x52222sinxcosxsinxcosxtan2x

24tan2x1122

4tanx，当且仅当，即tanx时，等号成立，所以5922tanxtanx214y的最小值为9，故D正确.sin2xcos2x故选：BD.10．下列命题中正确的是（）A．命题：“x0，x20”的否定是“x0，x20”x)=ax-4+1（a0且a1）恒过定点4,2B．函数f(C．已知函数f2x1的定义域为1,1，则函数fx的定义域为1,3D．若函数f

x1x3x，则fxx2x2x1【正确答案】BCD【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可判断A，根据指数函数的性质可判断B，根据抽象函数的定义域可判断C，根据配凑法可判断D.【详解】A选项，“x0,x20”的否定是“x0,x20”，A错误；B选项，a0且a1，当x4时，f(4)a012，故函数f(x)ax41（a0且a1）恒过定点(4,2)，B正确；C选项，由x[1,1]得：2x11,3，故函数fx的定义域为1,3，C正确；D选项，f(x1)x3x

x1

2

x12，且x11，2

故fxxx2x1，D正确.故选：BCD.11．已知定义在R上的函数fx在,2上单调递增，且fx2为偶函数，则（A．直线x2是fx的对称轴B．2,0是fx的对称中心C．f1f41

D．不等式fx3f4x的解集为,1,5

）【正确答案】AD【分析】由题意可得fx图象的对称轴为直线x2，即可判断A，B；结合对称性可得fx在2,上单调递减，从而f1f5f4，即可判断C；由不等式fx3f4x结合fx的对称性及单调性，可得x324x2，解不等式即可判断D．【详解】因为fx2为偶函数，其图象关于y轴对称，所以fx图象的对称轴为直线x2，故A正确，B错误；又fx在,2上单调递增，所以fx在2,上单调递减，所以f1f5f4，故C错误；由不等式fx3f4x结合fx的对称性及单调性，得x324x2，即1

(x32)2(4x2)2，即(5x1)(3x3)0，解得x或x1，所以不等式fx3f4x51

的解集为,1,，故D正确，5

故选：AD．12．把函数fx3sinxcosx0π的图象向左平移图象恰好关于y轴对称，则下列说法正确的是（A．fx的最小正周期为π

）π

个单位长度，得到的函数65π

B．fx关于点,0对称12ππ

C．fx在,上单调递增124

ππ

D．若fx在区间,a上存在最大值，则实数a的取值范围为,

126

【正确答案】ABD【分析】先利用辅助角公式化简fx，再通过图像平移求得新的函数，从而利用图象关于y轴对称求得2，由此得到fx的解析式，最后结合三角函数的性质即可对选项逐一判断.π【详解】由题意可得：fx3sinxcosx2sinx，6π

对A：函数fx的图象向左平移个单位长度，得到6yfxπ2sinx6ππππ2sinx，6666ππππ∵y2sinx关于y轴对称，即y2sinx为偶函数，6666ππ2k1π则,kZ，则6k4,kZ，662注意到0π，则k1,2，故fx的最小正周期为T

2π

π，A正确；π对B：由A可知：fx2sin2x，65ππ5π5π

由f2sin22sinπ0，则,0是fx的对称中心，B正确；1212126πππππ2x2kπ,kZ，解得kπxkπ,kZ，26236ππ

故fx的递增区间为kπ,kπkZ，36

ππππ令k0，且x,，可得x,，124126ππππ

故fx在,上单调递增，在,上单调递减，C错误；64126

πππ

对D：∵x,a，则2x0,2a，6612

ππππ

若fx在区间,a上存在最大值，则2a，解得a，66212

对C：令2kππ

即实数a的取值范围为,，D正确.6

故选：ABD.方法定睛：求解函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质问题的三种意识（1）转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式．（2）整体意识：类比y＝sinx的性质，只需将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sinx中的“x”，采用整体代入求解．①令ωx＋φ＝kπ＋π

(k∈Z)，可求得对称轴方程．2②令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标．③将ωx＋φ看作整体，可求得y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，注意ω的符号．三、填空题13．已知a0，且a1，函数yloga2x32的图象恒过点P，若P在幂函数fx图像上，则f8＝__________．【正确答案】22【分析】由loga10，知2x31，即x2时，y2，由此能求出点P的坐标．用待定系数法设出幂函数的解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，即可求得答案.【详解】loga10，2x31，即x2时，y2∴点P的坐标是P(2,2)由题意令y=f(x)=xa，图象过点(2,2)得22a,解得：ayf(x)x

121212f(8)822故答案为.22本题主要考查了求幂函数值，解题关键是掌握判断对数函数恒过定点的方法和幂函数的基础知识，考查了分析能力和计算能力,属于中档题.2sin50sin1013tan10cos10______.14．

【正确答案】3【分析】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、辅助角公式以及三角恒等变换的知识求得正确答案.2sin50sin1013tan10cos10【详解】

3sin102sin50sin101cos10cos10cos103sin102sin50sin10cos10cos102sin1030cos102sin50sin10cos102sin40

2sin50sin10cos10

cos10

sin50cos10sin40sin10

2cos10

cos10sin50cos10cos50sin10

2cos10

cos102sin50102sin603.故315．已知正数m,n满足3mn2mn0，则mn的最小值为__________.【正确答案】23##32【分析】首先将条件变形为13

2，再利用“1”的妙用，结合基本不等式求mn的最小值.mn13

2，m0,n0，mn【详解】因为3mn2mn0，所以所以mn1131n3m1n3m442mn2mn2mn2nn23，当n3m1333，即n3m，即m，n时等号成立，mn22所以mn的最小值是23.故23sinx,sinxcosxfxx0,2π，cosx,sinxcosx，则关于x的方程f2x12afxa2a016．若恰好有6个不同的实数解，则实数a的取值范围为______.2

【正确答案】2,1



【分析】由原方程可得fxa或fxa1，从而得到ya和ya1与yfx的图象共有6个不同的交点，画图可建立不等式求解即可.22

【详解】由fx12afxaa0，得fxa或fxa1，22

因为关于x的方程fx12afxaa0有6个不同的解，所以ya和ya1与yfx的图象共有6个不同的交点，2a122由图可知，解得a1，22a12222a所以的取值范围为2,1.2故2,1四、解答题217．设全集是R，集合Ax|axa2,B1,5．(1)若AB，求实数a的取值范围；(2)条件p:xA，条件q:xB，若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【正确答案】(1)1a7(2)a7【分析】（1）分A和A讨论，特别是A时，直接根据集合间的包含关系列不等式组求解；（2）根据q是p的充分不必要条件得到B解.【详解】（1）若AB,当A时，aa22，解得1a2，aa22



当A时，a1，解得2a7，2a25

A，直接根据集合间的包含关系列不等式组求综合得1a7（2）条件p:xA，条件q:xB，若q是p的充分不必要条件，则BA，a1且等号不能同时成立，2a25解得a73518．已知，为锐角，cos，cos.55(1)求sin2的值；(2)求cos的值.【正确答案】(1)sin2(2)552425【分析】（1）根据同角的三角函数关系式，结合正弦二倍角公式进行求解即可；（2）根据同角的三角函数关系式，结合两角差的余弦公式进行求解即可.394

【详解】（1）因为为锐角，cos，所以sin1cos21，52553424

则sin22sincos2；5525（2）由于，为锐角，则0，又cos

5125，所以sin1cos21

555532545coscos.coscossinsin555552

19．已知函数fxxmx2m1mR(1)若x1,，求函数fx的最小值；(2)解不等式fx2x1.【正确答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）根据二次函数的对称轴与所给区间的相对位置分类讨论即可；（2）利用因式分解法，结合一元二次方程两根的大小关系分类讨论求解即可.2【详解】（1）因为函数fxxmx2m1的对称轴为x

m

，22

mm48mm

所以ⅰ）当1，即m2时，fxminf，422

m

ⅱ）当1，即m>2时，fxminf123m；2（2）由fx2x1，可得x2mx2m12x1，2

即xm2x2m0，所以x2xm0

所以ⅰ）当m2时，不等式fx2x1的解集为，ⅱ）当m2时，不等式fx2x1的解集为m,2，ⅲ）当m2时，不等式fx2x1的解集为2,m.x

20．已知函数f(x)log9(91)kx(kR)是偶函数.(1)求k的值；m

(2)若方程f(x)log9x1有解，求实数m的取值范围.3

【正确答案】(1)21

3

(2),4

【分析】（1）利用偶函数的性质f(x)f(x)，得到关于k的方程，由x的任意性可求得k的值；x（2）先将问题转化为方程3

1m

x1有解，再利用换元法将问题转化为ym与x33gtt2t1在0,上有交点，从而得解.x

【详解】（1）因为f(x)log9(91)kx(kR)，9x10在R上恒成立，所以fx的定义域为R，又因为fx是偶函数，所以xR，有f(x)f(x)，即log9(9x1)kxlog9(9x1)kx对xR恒成立，则2kxlog9(9x1)log9(9x1)log9即x(2k1)0对xR恒成立，因为x不恒为0，所以k

1

.2

9x1log99xx对xR恒成立，x919x1log3x1log99log9x9，3x3m

log9x1有解，3

1mx

又因为对数函数ylog9x在(0,)上单调递增，所以方程3xx1有解，331

（2）由（1）得f(x)log991xlog99x1

2mx1

则方程f(x)log9x1有解，即方程log93x33

x

1

x21m

令t3x，则t0，方程化为t1，即方程mt2t1在0,上有解，tt2令gttt1，则ym与gt在0,上有交点，因为gt开口向上，对称轴为x

1，21113

所以gt在0,上单调递减，在,上单调递增，则gtg，224233

所以m，即m,.44

.π

21．已知函数fxAsinxBA0,0,的部分图象如图所示.2

(1)写出函数yfx的解析式；π

个单位长度，再将所得图象上每一个点的横413π1

坐标变为原来的2（纵坐标不变），得到函数ygx的图象.当x0,时，求函数24

(2)将函数yfx图象上所有的点向右平移ygx的单调递增区间.π

【正确答案】(1)fx2sin2x3

3

π5π13π(2)0,和,.61224

【分析】（1）根据fx的图象，依次求得A,B,,的值，从而求得fx.（2）根据三角函数图象变换的知识求得gx，根据三角函数单调区间的求法求得gx的单调递增区间.【详解】（1）由图可知A

5151

2,B3，22T7πππ2π

,Tπ,2，212122则fx2sin2x3，ππ由f2sin126π

由于，所以

2ππππ35，得sin1,2kπ,2kπ，kZ,6236ππ

，则fx2sin2x3.33

（2）yfx图象上所有的点向右平移π

个单位长度，4πππ得到y2sin2x32sin2x3，436将所得图象上点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），π得到gx2sin4x3，6ππ13π4x,2π当x0,时，，62463πππππ

4x以及4x2π时函数单调递增，26662π5π13π

即gx单调递增区间为0,和,.61224

所以当

22．已知函数fx，若在其定义域内存在实数x0和t，使得fx0tfx0ft成立，则称fx是“t跃点”函数，且称x0是函数fx的“t跃点”.x2(1)求证：函数fx3x是“1跃点”函数；32(2)若函数gxxax3在0,上是“1跃点”函数，求实数a的取值范围；(3)是否同时存在实数m和正整数n，使得函数hxcos2xm在0,n上有2023个“点”？若存在，请求出所有符合条件的m和n，若不存在，请说明理由.【正确答案】(1)证明见解析9(2),231

(3)m或，n2023；m1，n1011；22跃6x【分析】（1）根据题意令F(x0)f(x01)f(x0)f(1)232x03，利用零点存在定理即0可证明；13

（2）由题意可得g(x1)g(x)g(1)3x2(32a)x30，可整理得a(3x3)，然2x后用基本不等式求解即可；（3）根据题意可得到m1m1π111

sin2x，然后依据m1或1，m，26222

1111

或m1，分类讨论求解即可.22222【详解】（1）fx013x01x0133x0x022x01，x2

所以fx030x0，f14，x

令Fx0fx01fx0f12302x03，因为F010，F150，所以由零点存在定理可得Fx00在0,1有解，所以存在x00,1，使得fx01fx0f1，x2

即函数fx3x是“1跃点”函数.（2）由题意得gx1gxg1x1ax13x3ax232a

32

3x232ax30，91313x0,a3x323x3，，所以因为2x2x29当且仅当x1取等号，所以a的取值范围为,.2ππππ（3）hxhxhcos2xmcos2xmcosm0，63361ππππsin2x，令2x,2nπ，26666π1π

即msin在,2nπ上关于要有2023个解；626即m①当m②当m

131

1或1时，即m或时，n2023；22211

，即m1时，n1011；22111311

或m1，即m1或1m时，222222③当1m方程m

1

sin关于在每个周期内有两个解，故不可能满足有2023个解，231

或，n2023；m1，n1011.22综上，m

方法点睛：新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.