备考2021年九年级中考数学专题训练：
《圆的综合》（五）
1．如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点G，E是CD上一点，且BE＝DE，延长
EB至点P，连结CP，使PC＝PE，延长BE与⊙O交于点F，连结BD，FD．
（1）求证：CD＝BF；
（2）求证：PC是⊙O的切线；
（3）若tanF＝，AG﹣BG＝，求ED的值．
2．如图，AB是大半圆O的直径．OA是小半圆O1的直径，点C是大半圆O上的一个动点（不与点A、B重合），AC交小半圆O1于点D，DE⊥OC，垂足为E．
（1）求证：AD＝DC；
（2）求证：DE是半圆O1的切线；
（3）如果OE＝EC，请判断四边形O1OED是什么四边形，并证明你的结论．
3．已知如图，△ABC中AB＝AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．
（1）求证：AE与⊙O相切；
（2）当BC＝6，cosC＝，求⊙O的直径．
4．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠CAB＝120°，⊙O的半径等于5，求线段BC的长．
5．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．
（1）求证：∠BCO＝∠D；
（2）若CD＝，AE＝2，求⊙O的半径．
6．如图，AB是⊙O的直径，BD、CD分别是过⊙O上点B、点C的切线，且∠BDC＝110°，连结AC．
（1）求∠A的度数；
（2）若⊙O的直径为6，求的长．（结果保留π）
7．如图，在Rt△ABC中，AC＜AB，∠BAC＝90°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，
E是AC的中点，连接ED．点F在上，连接BF并延长交AC的延长线于点G．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接AF，求的最大值．
8．已知：AB为⊙O直径，点C为⊙O上一点，弦CD⊥AB，垂足为H，点E为上一点，连接CE、DE、DB，∠CDE＝2∠CDB．
（1）如图1，求证：CE＝CD；
（2）如图2，过点A作AM⊥CE，垂足为M，连接BE交CD于G，连接M，求证：
MH∥EB；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AE，若ED＝，CM＝，求△ABE的面积．
9．如图，AB是⊙O的直径，AC⊥AB，BC交⊙O于点D，点E在劣弧BD上，DE的延长线交AB的延长线于点F，连接AE交BD于点G．
（1）求证：∠AED＝∠CAD；
（2）若点E是劣弧BD的中点，求证：ED2＝EG•EA；
（3）在（2）的条件下，若BO＝BF，DE＝2，求EF的长．
10．如图，点O是△ABC的边AB上一点，⊙O与边AC相切于点E，与边BC、AB分别相交于点D、F，且DE＝EF．
（1）求证：∠C＝90°；
（2）当BC＝3，sinA＝时，求AF的长．
参考答案
1．解：（1）连接BC，
∵BE＝DE，
∴∠BDE＝∠DBE，
在△BCD与△DFB中，
∴△BCD≌△DFB（AAS）
∴CD＝BF
（2）连接OC，
∵∠COB＝2∠CDB，∠CEB＝∠CDB+∠DBE＝2∠CDB
∴∠COB＝∠CEB，
∵PC＝PE，
∴∠COB＝∠CEB＝∠PCE，
∵AB⊥CD，
∴∠COB+∠OCG＝90°，
∴∠PCE+∠OCG＝∠PCO＝90°，
∴OC⊥CP
∵OC是半径，
∴PC是⊙O的切线，
（3）连接AD，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB⊥CD，
∴＝，
∴∠BDG＝∠A＝∠F
∵tan∠F＝
∴tan∠A＝＝，即AG＝GD
同理可得：BG＝GD，
∴AG﹣BG＝GD﹣GD＝，
解得：GD＝2，
∴CD＝2GD＝4，
∴BG＝
∴由勾股定理可知：BD＝
∵∠BCD＝∠EDB，∠BDC＝∠EBD，
∴△BCD∽△EDB
∴＝
∵BC＝BD，
∴ED＝＝＝
2．证明：（1）连接OD，
∵AO为圆O1的直径，
则∠ADO＝90°．
∵AC为⊙O的弦，OD为弦心距，
∴AD＝DC．
（2）证明：∵D为AC的中点，O1为AO的中点，
∴O1D∥OC．
又DE⊥OC，
∴DE⊥O1D
∴DE与⊙O1相切．
（3）如果OE＝EC，又D为AC的中点，
∴DE∥O1O，又O1D∥OE，
∴四边形O1OED为平行四边形．
又∠DEO＝90°，O1O＝O1D，
∴四边形O1OED为正方形．
3．（1）证明：连接OM．
∵OB＝OM，
∴∠1＝∠3，
又BM平分∠ABC交AE于点M，
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∴OM∥BE．
∵AB＝AC，AE是角平分线，
∴AE⊥BC，
∴OM⊥AE，
∴AE与⊙O相切；
（2）解：设圆的半径是r．
∵AB＝AC，AE是角平分线，
∴BE＝CE＝3，∠ABC＝∠C，
又cosC＝，
∴AB＝BE÷cosB＝12，则OA＝12﹣r．
∵OM∥BE，
∴，
即，
解得r＝2.4．
则圆的直径是4.8．
4．解：如右图所示，连接OD、AD．
∵AB是直径，
∴∠BDA＝∠CDA＝90°，
又∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵OA＝OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴∠ODE＝∠CED＝90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵⊙O半径是5，
∴AB＝10，
∵△ABC是等腰三角形，且AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAD＝60°，
在Rt△ADB中，BD＝sin60°•AB＝5，
∴BC＝10．
5．（1）证明：如图．
∵OC＝OB，
∴∠BCO＝∠B．
∵∠B＝∠D，
∴∠BCO＝∠D；
（2）∵AB是⊙O的直径，且CD⊥AB于点E，
∴CE＝CD＝×4＝2，
在Rt△OCE中，OC2＝CE2+OE2，
设⊙O的半径为r，则OC＝r，OE＝OA﹣AE＝r﹣2，
∴r2＝（2）2+（r﹣2）2，
解得：r＝3，
∴⊙O的半径为3．
6．解：（1）连接OC，
∵BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，
∴OC⊥CD，OB⊥BD，
∴∠OCD＝∠OBD＝90°，
∵∠BDC＝110°，
∴∠BOC＝360°﹣∠OCD﹣∠BDC﹣∠OBD＝70°，
∴∠A＝∠BOC＝35°；
（2）∵⊙O的直径为6，
∴OC＝OB＝3，
∵∠BOC＝70°，
∴的长＝＝．
7．（1）证明：连接OD，AD．
∵AB为⊙O直径，点D在⊙O上，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∵E是AC的中点，
∴DE＝AE，
∴∠EAD＝∠EDA，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠OAD+∠EAD＝∠BAC＝90°，
∴∠ODA+∠EDA＝90°，
即∠ODE＝90°，
∴OD⊥DE，
∵D是半径OD的外端点，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：过点F作FH⊥AB于点H，连接OF，
∴∠AHF＝90°．
∵AB为⊙O直径，点F在⊙O上，
∴∠AFB＝90°，
∴∠BAF+∠ABF＝90°．
∵∠BAC＝90°，
∴∠G+∠ABF＝90°，
∴∠G＝∠BAF，
又∠AHF＝∠GAB＝90°，
∴△AFH∽△GBA，
∴，
由垂线段最短可得FH≤OF，
当且仅当点H，O重合时等号成立．
∵AC＜AB，
∴上存在点F使得FO⊥AB，此时点H，O重合，
∴≤，
即的最大值为．
8．解：（1）∵AB为直径，CD⊥AB，
∴，
∴∠CEB＝∠BED＝∠CDB，
∴∠CED＝2∠CDB，
又∵∠CDE＝2∠CDB，
∴∠CED＝∠CDE，
∴CE＝CD；
（2）∵弧AE＝弧AE，
∴∠ACE＝∠ABE，
∵AM⊥CE，CH⊥AB，
∴∠AHC＝∠AMC，
则∠AHM＝∠ACM，
∴∠AHM＝∠ABE，
∴MH∥BE；
（3）连接BC、AD、AE，
过A作AF⊥DE，
则∠AEF＝∠ACD＝∠ADC＝∠AEC，
∴△AEF≌△AEM（AAS），
∴AF＝AM，
同理△AFD≌△AMC（AAS），
∴MC＝FD＝FE+ED
∴MC＝EM+ED
∴CM＝+＝∴CE＝CM+ME＝+＝6
∴CD＝6，CH＝3，
∵MH∥BE，
∴＝，
则HG＝，CG＝，
∵弧BC＝弧BD，
∴∠BCD＝∠CEB，
∴△CGB∽△ECB，
相似比CG：CE＝：6＝4：5，
∴设BG＝16k，BC＝20k，BE＝25k，
过点C作CN⊥BE于N，
∵∠CBE＝∠CDE＝2∠CEB，
作NQ＝NB，
可证QC＝QE＝BC＝25k，
BQ＝5k，BN＝k，EN＝
∵CB2﹣BN2＝CE2﹣EN2，
k，
∴（20k）2﹣（k）2＝62﹣（k）2，
解得k＝，
∴BC＝20k＝4，
BH＝，
BC2＝BH•BA，
42＝
BA，
BA＝＝2R，
∴⊙O半径为，则AB＝，
∵HG＝，BH＝，则tan∠ABE＝＝＝tanα，则sinα＝，cos，
△ABE的面积＝AB2sinαcosα＝．
9．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AC⊥AB，
∴∠CAB＝90°，
∴∠ABD＝∠CAD，
∵＝，
∴∠AED＝∠ABD，
∴∠AED＝∠CAD；
（2）证明：∵点E是劣弧BD的中点，
∴＝，
∴∠EDB＝∠DAE，
∵∠DEG＝∠AED，
∴△EDG∽△EAD，
∴，
∴ED2＝EG•EA；
（3）解：连接OE，
∵点E是劣弧BD的中点，
∴∠DAE＝∠EAB，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠AEO，
∴∠AEO＝∠DAE，
∴OE∥AD，
∴，
∵BO＝BF＝OA，DE＝2，
∴，
∴EF＝4．
10．解：（1）证明：连接OE，BE，
∵DE＝EF，
∴＝，
∴∠OBE＝∠DBE，
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠OBE，
∴∠OEB＝∠DBE，
∴OE∥BC，
∵⊙O与边AC相切于点E，
∴OE⊥AC，
∴BC⊥AC，
∴∠C＝90°；
（2）在△ABC，∠C＝90°，BC＝3，sinA＝，
∴AB＝5，
设⊙O的半径为r，则AO＝5﹣r，
在Rt△AOE中，sinA＝＝＝，
∴r＝，
∴AF＝5﹣2×＝．
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