《圆的综合》（五）
1．如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点G，E是CD上一点，且BE＝DE，延长EB至点P，连结CP，使PC＝PE，延长BE与⊙O交于点F，连结BD，FD． （1）求证：CD＝BF；
（2）求证：PC是⊙O的切线； （3）若tanF＝，AG﹣BG＝
，求ED的值．
2．如图，AB是大半圆O的直径．OA是小半圆O1的直径，点C是大半圆O上的一个动点（不与点A、B重合），AC交小半圆O1于点D，DE⊥OC，垂足为E． （1）求证：AD＝DC；
（2）求证：DE是半圆O1的切线；
（3）如果OE＝EC，请判断四边形O1OED是什么四边形，并证明你的结论．
3．已知如图，△ABC中AB＝AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过
B、M两点的⊙O交BC于G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．
（1）求证：AE与⊙O相切；
（2）当BC＝6，cosC＝，求⊙O的直径．
4．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作
DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠CAB＝120°，⊙O的半径等于5，求线段BC的长．
5．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E． （1）求证：∠BCO＝∠D； （2）若CD＝
，AE＝2，求⊙O的半径．
6．如图，AB是⊙O的直径，BD、CD分别是过⊙O上点B、点C的切线，且∠BDC＝110°，连结AC．
（1）求∠A的度数； （2）若⊙O的直径为6，求
的长．（结果保留π）
7．如图，在Rt△ABC中，AC＜AB，∠BAC＝90°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，
E是AC的中点，连接ED．点F在
（1）求证：DE是⊙O的切线； （2）连接AF，求
的最大值．
上，连接BF并延长交AC的延长线于点G．
8．已知：AB为⊙O直径，点C为⊙O上一点，弦CD⊥AB，垂足为H，点E为
上一点，
连接CE、DE、DB，∠CDE＝2∠CDB． （1）如图1，求证：CE＝CD；
（2）如图2，过点A作AM⊥CE，垂足为M，连接BE交CD于G，连接M，求证：
MH∥EB；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AE，若ED＝，CM＝
，求△ABE的面积．
9．如图，AB是⊙O的直径，AC⊥AB，BC交⊙O于点D，点E在劣弧BD上，DE的延长线交AB的延长线于点F，连接AE交BD于点G． （1）求证：∠AED＝∠CAD；
（2）若点E是劣弧BD的中点，求证：ED2＝EG•EA； （3）在（2）的条件下，若BO＝BF，DE＝2，求EF的长．
10．如图，点O是△ABC的边AB上一点，⊙O与边AC相切于点E，与边BC、AB分别相交于点D、F，且DE＝EF． （1）求证：∠C＝90°；
（2）当BC＝3，sinA＝时，求AF的长．
参考答案
1．解：（1）连接BC， ∵BE＝DE， ∴∠BDE＝∠DBE， 在△BCD与△DFB中，
∴△BCD≌△DFB（AAS） ∴CD＝BF （2）连接OC，
∵∠COB＝2∠CDB，∠CEB＝∠CDB+∠DBE＝2∠CDB ∴∠COB＝∠CEB， ∵PC＝PE，
∴∠COB＝∠CEB＝∠PCE， ∵AB⊥CD，
∴∠COB+∠OCG＝90°， ∴∠PCE+∠OCG＝∠PCO＝90°， ∴OC⊥CP ∵OC是半径， ∴PC是⊙O的切线， （3）连接AD， ∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°， ∵AB⊥CD， ∴
＝
，
∴∠BDG＝∠A＝∠F ∵tan∠F＝
∴tan∠A＝＝，即AG＝GD
同理可得：BG＝GD， ∴AG﹣BG＝GD﹣GD＝解得：GD＝2∴CD＝2GD＝4∴BG＝
， ，
，
∴由勾股定理可知：BD＝
∵∠BCD＝∠EDB，∠BDC＝∠EBD， ∴△BCD∽△EDB ∴
＝
∵BC＝BD， ∴ED＝
＝
＝
2．证明：（1）连接OD，
∵AO为圆O1的直径， 则∠ADO＝90°．
∵AC为⊙O的弦，OD为弦心距， ∴AD＝DC．
（2）证明：∵D为AC的中点，O1为AO的中点，
∴O1D∥OC． 又DE⊥OC， ∴DE⊥O1D ∴DE与⊙O1相切．
（3）如果OE＝EC，又D为AC的中点， ∴DE∥O1O，又O1D∥OE， ∴四边形O1OED为平行四边形． 又∠DEO＝90°，O1O＝O1D， ∴四边形O1OED为正方形． 3．（1）证明：连接OM． ∵OB＝OM， ∴∠1＝∠3，
又BM平分∠ABC交AE于点M， ∴∠1＝∠2， ∴∠2＝∠3， ∴OM∥BE．
∵AB＝AC，AE是角平分线， ∴AE⊥BC， ∴OM⊥AE， ∴AE与⊙O相切；
（2）解：设圆的半径是r． ∵AB＝AC，AE是角平分线， ∴BE＝CE＝3，∠ABC＝∠C， 又cosC＝，
∴AB＝BE÷cosB＝12，则OA＝12﹣r． ∵OM∥BE，
∴即
， ，
解得r＝2.4． 则圆的直径是4.8．
4．解：如右图所示，连接OD、AD． ∵AB是直径，
∴∠BDA＝∠CDA＝90°， 又∵AB＝AC， ∴BD＝CD， ∵OA＝OB，
∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC，
∴∠ODE＝∠CED＝90°， ∴DE是⊙O的切线；
（2）∵⊙O半径是5， ∴AB＝10，
∵△ABC是等腰三角形，且AD⊥BC， ∴∠CAD＝∠BAD＝60°， 在Rt△ADB中，BD＝sin60°•AB＝5∴BC＝10
．
，
5．（1）证明：如图． ∵OC＝OB， ∴∠BCO＝∠B． ∵∠B＝∠D， ∴∠BCO＝∠D；
（2）∵AB是⊙O的直径，且CD⊥AB于点E， ∴CE＝CD＝×4
＝2
，
在Rt△OCE中，OC2＝CE2+OE2，
设⊙O的半径为r，则OC＝r，OE＝OA﹣AE＝r﹣2， ∴r2＝（2
）2+（r﹣2）2，
解得：r＝3， ∴⊙O的半径为3．
6．解：（1）连接OC，
∵BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线， ∴OC⊥CD，OB⊥BD， ∴∠OCD＝∠OBD＝90°， ∵∠BDC＝110°，
∴∠BOC＝360°﹣∠OCD﹣∠BDC﹣∠OBD＝70°， ∴∠A＝∠BOC＝35°； （2）∵⊙O的直径为6，
∴OC＝OB＝3， ∵∠BOC＝70°， ∴
的长＝
＝
．
7．（1）证明：连接OD，AD． ∵AB为⊙O直径，点D在⊙O上， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ADC＝90°， ∵E是AC的中点， ∴DE＝AE， ∴∠EAD＝∠EDA， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠OAD+∠EAD＝∠BAC＝90°， ∴∠ODA+∠EDA＝90°， 即∠ODE＝90°， ∴OD⊥DE，
∵D是半径OD的外端点， ∴DE是⊙O的切线；
（2）解：过点F作FH⊥AB于点H，连接OF， ∴∠AHF＝90°．
∵AB为⊙O直径，点F在⊙O上， ∴∠AFB＝90°， ∴∠BAF+∠ABF＝90°． ∵∠BAC＝90°， ∴∠G+∠ABF＝90°，
∴∠G＝∠BAF，
又∠AHF＝∠GAB＝90°， ∴△AFH∽△GBA， ∴
，
由垂线段最短可得FH≤OF， 当且仅当点H，O重合时等号成立． ∵AC＜AB， ∴∴即
上存在点F使得FO⊥AB，此时点H，O重合，
≤
，
的最大值为．
8．解：（1）∵AB为直径，CD⊥AB， ∴
，
∴∠CEB＝∠BED＝∠CDB， ∴∠CED＝2∠CDB， 又∵∠CDE＝2∠CDB， ∴∠CED＝∠CDE， ∴CE＝CD；
（2）∵弧AE＝弧AE， ∴∠ACE＝∠ABE， ∵AM⊥CE，CH⊥AB， ∴∠AHC＝∠AMC， 则∠AHM＝∠ACM， ∴∠AHM＝∠ABE， ∴MH∥BE；
（3）连接BC、AD、AE，
过A作AF⊥DE，
则∠AEF＝∠ACD＝∠ADC＝∠AEC， ∴△AEF≌△AEM（AAS）， ∴AF＝AM，
同理△AFD≌△AMC（AAS）， ∴MC＝FD＝FE+ED ∴MC＝EM+ED ∴CM＝+＝
∴CE＝CM+ME＝
+＝6
∴CD＝6，CH＝3， ∵MH∥BE， ∴
＝
，
，
则HG＝，CG＝∵弧BC＝弧BD， ∴∠BCD＝∠CEB， ∴△CGB∽△ECB， 相似比CG：CE＝
：6＝4：5，
∴设BG＝16k，BC＝20k，BE＝25k， 过点C作CN⊥BE于N， ∵∠CBE＝∠CDE＝2∠CEB， 作NQ＝NB，
可证QC＝QE＝BC＝25k，
BQ＝5k，BN＝k，EN＝k，
∵CB2﹣BN2＝CE2﹣EN2， ∴（20k）2﹣（k）2＝62﹣（解得k＝， ∴BC＝20k＝4，
k）2，
BH＝，
BC2＝BH•BA，
42＝
BA，
＝2R，
，则AB＝
，
＝．
＝tanα，则sinα＝
，cos
，
BA＝
∴⊙O半径为∵HG＝，BH＝
，则tan∠ABE＝
△ABE的面积＝AB2sinαcosα＝9．（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵AC⊥AB， ∴∠CAB＝90°， ∴∠ABD＝∠CAD， ∵
＝
，
∴∠AED＝∠ABD， ∴∠AED＝∠CAD；
（2）证明：∵点E是劣弧BD的中点， ∴
＝
，
∴∠EDB＝∠DAE， ∵∠DEG＝∠AED， ∴△EDG∽△EAD， ∴
，
∴ED2＝EG•EA；
（3）解：连接OE，
∵点E是劣弧BD的中点， ∴∠DAE＝∠EAB， ∵OA＝OE， ∴∠OAE＝∠AEO， ∴∠AEO＝∠DAE， ∴OE∥AD， ∴
，
∵BO＝BF＝OA，DE＝2， ∴
，
∴EF＝4．
10．解：（1）证明：连接OE，BE， ∵DE＝EF， ∴
＝
，
∴∠OBE＝∠DBE， ∵OE＝OB， ∴∠OEB＝∠OBE， ∴∠OEB＝∠DBE， ∴OE∥BC，
∵⊙O与边AC相切于点E， ∴OE⊥AC， ∴BC⊥AC，
∴∠C＝90°；
（2）在△ABC，∠C＝90°，BC＝3，sinA＝， ∴AB＝5，
设⊙O的半径为r，则AO＝5﹣r， 在Rt△AOE中，sinA＝∴r＝
，
＝．
＝
＝，
∴AF＝5﹣2×
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